Модель множественной регрессии

Разделим обе части ( ) на известное :
( )
Сделаем замены переменных:
( )
получим уравнение регрессии без свободного члена, но с двумя факторами и с преобразованным отклонением:
( )
Можно показать, что для v_i выполняется условие гомоскедастичности. Поэтому для модели ( ) выполняются все предпосылки МНК, и оценки, полученные по МНК, будут наилучшими линейными несмещенными оценками.
Таким образом, наблюдения с наименьшими дисперсиями получают наибольшие «веса», а наблюдения с наибольшими дисперсиями – наименьшие «веса». Поэтому наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми при оценке параметров регрессии, чем наблюдения с большими дисперсиями. При этом повышается вероятность получения более точных оценок.
Полученные по МНК оценки параметров модели ( ) можно использовать в первоначальной модели ( ).
Для применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий отклонений . На практике такие значения известны крайне редко. Поэтому, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях . Чаще всего предполагается, что дисперсии отклонений пропорциональны или значениям x_i, или значениям .
Если предположить, что дисперсии пропорциональны значениям фактора x_j, т.е.
( )
тогда уравнение () преобразуется делением его левой и правой частей на :

или
( )
Здесь для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии ( ) применим обычный МНК. Следует отметить, что регрессия ( ) не имеет свободного члена, но зависит от двух факторов. Оценив для ( ) по МНК коэффициенты а и b, возвращаемся к исходному уравнению регрессии.
Если в уравнении регрессии присутствует несколько объясняющих переменных, вместо конкретной переменной x_j используется исходное уравнение множественной регрессии

т.е. фактически линейная комбинация факторов. В этом случае получают следующую регрессию:
( )
Если предположить, что дисперсии пропорциональны , то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии ( ) на x_i:

или, если переобозначить остатки как :
( )
Здесь для отклонений v_i также выполняется условие гомоскедастичности. Применяя обычный МНК к регрессии ( ) в преобразованных переменных
,
получим оценки параметров, после чего возвращаемся к исходному уравнению ( ). Отметим, что в регрессии ( ) по сравнению с исходным уравнением параметры поменялись ролями: свободный член а стал коэффициентом, а коэффициент b – свободным членом.