Модель распределения напряжения

Самостоятельная работа

Модель распределения напряжения

Магистр группы 202-21

Кудратов Голибжон

План:

1. 
   Введении
   
2. 
   Теоретическая часть.
   
3. 
   Материалы и методы
   
4. 
   Результаты
   
5. 
   Вывод
   

Введение
По данным исследований, системы имплантации с внутренним коническим соединением ассоциируются с более равномерным распределением напряжения и более высокой устойчивостью к действию сгибающей силы. Входящие в них абатменты чаще всего имеют шестигранное или гладкое соединение. На сегодняшний день практически отсутствуют исследования, оценивающих влияние дизайна соединения абатмента на распределение напряжения в системе имплантат-абатмент и устойчивость системы к переломам. Целью настоящей публикации является анализ напряжения при фиксации на имплантате с внутренним коническим соединением абатментов с шестигранным и гладким соединением. В ходе исследования использовали две отличающихся по высоте модели абатментов и коронок. Для оценки статической нагрузки использовали модель коронки с фиксированной к ней балкой со свободным концом, на который действовала сила. При оценке динамической нагрузки имитировали осевые и внеосевые нагрузки. Напряжение рассчитывали по уравнению Мизеса.

Теоретическая часть

Анализируя прочность КМ, армированных параллельными дискретными волокнами, мы отметили, что от матрицы к волокну нагрузка передается за счет касательных напряжений τ, действующих на границе раздела. Эти напряжения, как и нормальные напряжения в волокнах, на концах волокна и в средней его части не одинаковы.

Закономерности распределения напряжений вдоль волокон. Разработано несколько моделей, позволяющих установить распределение напряжений. Приводят эти модели к качественно одинаковым результатам, поэтому мы рассмотрим только одну из них, предложенную Б. Розеном.

Рис. 14. К расчету распределения напряжений по длине волокна при растяжении однонаправленной композиции с дискретными волокнами: а- модель элемента КМ; б- элементарный отрезок волокна; в-элементарный отрезок матрицы в деформированном состоянии.
Модель (рис. 14,а) представляет собой волокно радиусом  и длиной 2 , жестко связанное с тонким цилиндрическим слоем матричного материала радиусом  , который в свою очередь окружен оболочкой радиусом из материала с осредненными свойствами композиции. Пусть ось волокна совпадает с осью z, а ось х проходит перпендикулярно к ней через середину волокна. Предполагается, что волокна несут только нормальные напряжения  , а матричный слой- только касательные напряжения τ , которые в этом слое локализуются, а в оболочке с осредненными свойствами композиции отсутствуют. Нагружена модель внешним напряжением  , параллельным оси волокон, при этом торцы волокна в передаче напряжений участия не принимают.
Выделим элементарный отрезок волокна длиной dz (рис. 14,б) и запишем условия равновесия сил, действующих на него. Этот отрезок нагружен касательными напряжениями τ по периферии и нормальными  по торцам. Суммарная сдвиговая нагрузка, действующая на него, равна  , а суммарная нормальная-  . Условие равновесия запишется так:
+ =0,
или
. (1.64)
Условие равновесия сил, действующих на всю модель в направлении оси z, при условии, что матрица нормальных нагрузок не несет, можно записать в виде
,
или
, (1.65)
где  -нормальное напряжение в «осредненном» КМ.
Под действием касательных напряжений τ матричный слой вместе с ним «осредненный» КМ сдвигаются по отношению к волокну. Для элементарного отрезка матрицы (рис. 14, в) величину тангенса угла сдвига можно выразить как
, (1.66)
где  - осевое перемещение волокна; u – осевое перемещение «осредненного» материала.
Предположим, что волокно, матрица и «осредненный» материал деформируются упруго и, следовательно, подчиняются закону Гука. В силу малости угла γ можно считать, что  , и записать
. (1.67)
Продифференцируем обе части равенства (1.67) по z, учитывая при этом известные из сопротивления материалов соотношения  и  , где ε- относительная деформация, Е и G – модули нормальной упругости и сдвига. Тогда получим
,
или
. (1.68)
Здесь ε и  - относительные линейные деформации «осредненного» материала и волокна, соответственно;   и  - модули Юнга «осредненного» КМ и волокна;  - модуль сдвига матрицы.
Продифференцировав еще раз по z уравнение (1.68), получаем
. (1.69)
Если продифференцируем по z уравнение (1.65), то получим
,
или
. (1.70)
Подставив в уравнение (1.69) вместо  выражение (1.70), а вместо  выражение (1.64), приходим к дифференциальному уравнению относительно касательных напряжений τ :
, (1.71)
где
. (1.72)
Решение уравнения (1.71) имеет вид
. (1.73)
Используя граничные условия: τ =0 при z =0 и =0 при z =l (начало координат находится в середине волокна), приходим к уравнениям, устанавливающим зависимость касательных и нормальных напряжений от координаты z:
; (1.74)
. (1.75)
Нормальные напряжения в волокне увеличиваются от концов волокна к его середине, достигая при z =0 максимального значения
. (1.76)
Касательные напряжения имеют наибольшую величину на конце волокна (при z = l) и уменьшаются до нуля в его середине (при z =0). Эпюры нормальных и касательных напряжений представлены на рис. 15.
Если принять, что  , то безразмерный параметр
(1.77)
и тогда уравнения (1.74) и (1.75) можно привести к виду
(1.78)
и
, (1.79)
где  - максимальное нормальное напряжение в бесконечно длинном волокне.
Если матрица проявляет пластические свойства, то концентрация касательных напряжений у концов волокна уменьшается, однако характер изменения напряжений по длине волокна остается тем же.

Рис.15.Распределение нормальных и касательных напряжений по длине
волокна при растяжении КМ, содержащего 70% волокон.