Modellashtirish – modellarni yordamida matematik tasavvurlarni shakllantirish texnologiyalari Reja: Kirish

I Bob. Modellashtirish – modellarni yordamida matematik tasavvurlarni shakllantirish texnologiyalari
Modellashtirish uslubidan fizika, astronomiya, biologiya, iqtisod fanlarida ob‘yektning faqat ma‘lum xususiyat va munosabatlarini aniqlashda ham foydalaniladi. Modellarni tanlash vositalariga qarab ularni uch guruhga ajratish mumkin. Bular abstrakt, fizik va biologik guruhlar. Abstrakt modellar qatoriga matematik, matematik-mantiqiy va shu kabi modellar kiradi. Fizik modellar qatoriga kichiklashtirilgan maketlar, turli asbob va qurilmalar, trenajerlar va shu kabilar kiritiladi. Modellarning mazmuni bilan qisqacha tanishib chiqamiz.
1. Fizik model. Tekshiralayotgan jarayonning tabiati va geometrik tuzilishi asl nusxadagidek, ammo undan miqdor (o‘lchami, tezligi, ko‘lami) jihatidan farq qiladigan modellar, masalan, samolyot, kema, avtomobil, poyezd, GES va boshqalarning modellari fizik modelga misol bo‘ladi.
2. Matematik modellar tirik organizmlarning tuzilishi, o‘zaro aloqasi, vazifasiga oid qonuniyatlarning matematik va mantiqiy-matematik tavsifidan iborat bo‘lib, tajriba ma‘lumotlariga ko‘ra yoki mantiqiy asosda tuziladi, so‘ngra tajriba yo‘li bilan tekshirib ko‘riladi.
3. Biologik modellar Bunda shu holat yoki kasallikning kelib chiqish mexanizmi, kechishi, oqibati kabilar tajriba asosida o‘rganiladi. Biologik modelda har hil usullar genetik apparatga ta‘sir qilish, mikroblar yuqtirish, ba‘zi organlarni olib tashlash yoki ular faoliyati mahsuli bo‘lgan garmonlarni kiritish va boshqa usullar qo‘llaniladi. Bunday modellarda genetika, fiziologiya, farmakologiya sohasidagi bilimlar tadbiq qilinadi.
4. Fizik-kimyoviy modellar biologik tuzilish, funksiya yoki jarayonlarni fizik yoki kimyoviy vositalar bilan qaytadan hosil qilishdir.
5. Iqtisodiy model taxminan XVIII asrdan qo‘llanila boshlandi. F.Kenening “Iqtisodiy jadvallar”ida birinchi marta ijtimoiy takror ishlab chiqarish jarayonini ko‘rsatishga harakat qilingan. Iqtisodiy tizimlarning turli faoliyat yo‘nalishlarini o‘rganish uchun har xil modellaridan foydalaniladi. Iqtisodiy taraqqiyotning eng umumiy qonuniyatlari xalq ho‘jaligi modellari yordamida tekshiriladi. Turli murakkab ko‘rsatkichlar, jumladan, milliy daromad, ish bilan bandlik, iste‘mol, jamg‘armalar, investisiya ko‘rsatkichlarining dinamikasi va nisbatini tahlil qilish, uni oldindan aytib berish uchun katta iqtisodiy modellar qo‘llaniladi. Aniq ho‘jalik vaziyatlarini tekshirishda kichik iqtisodiy tizimlardan, murakkab iqtisodiy tizimlarini tekshirishda, asosan, matematik modellardan foydalaniladi. Matematik modellar tirik organizmlarning tuzilishi, o‘zaro aloqasi, vazifasiga oid qonuniyatlarning matematik va mantiqiy-matematik tavsifidan iborat bo‘lib, tajriba ma‘lumotlariga ko‘ra yoki mantiqiy asosda tuziladi, so‘ngra tajriba yo‘li bilan tekshirib ko‘riladi. Biologik hodisalarning matematik modellarini kompyutyerda o‘rganish tekshirilayotgan biologik jarayonning o‘zgarish xarakterini oldindan bilish imkonini beradi. Shuni ta‘kidlash kerakki, bunday jarayonlarni tajriba yo‘li bilan tashkil qilish va o‘tkazish ba‘zan juda qiyin kechadi. Matematik va matematikmantiqiy modelning yaratilishi, takomillashishi va ulardan foydalanish matematik hamda nazariy biologiyaning rivojlanishiga qulay sharoit tug‘diradi. Matematik modellashtirish aniq fanlardagi turli amaliy masalalarni yechishda muvaffaqiyat bilan qo‘llanib kelinmoqda. Matematik modellashtirish uslubi masalani xarakterlaydigan u yoki bu kattalikni miqdor jihatdan ifodalash, so‘ngra bog‘liqligini o‘rganish imkoniyatini beradi. Uslub asosida matematik model tushunchasi yotadi. Matematik model deb o‘rganilayotgan ob‘yektni matematik formula yoki algoritm ko‘rinishida ifodalangan xarakteristikalari orasidagi funksional bog‘lanishga aytiladi. Kompyuter ixtiro etilgandan so‘ng matematik modellashning ahamiyati keskin oshdi. Murakkab texnik, iqtisodiy va ijtimoiy tizimlarni yaratish, so‘ngra ularni kompyuterlar yordamida tatbiq etishning haqiqiy imkoniyati paydo bo‘ldi. Endilikda ob‘ekt, ya‘ni haqiqiy tizim ustida emas, balki uni almashtiruvchi matematik model ustida tajriba o‘tkazila boshlandi. Kosmik kemalarning harakat trayektoriyasi, murakkab muhandislik inshootlarini yaratish, transport magistrallarini loyihalash, iqtisodni rivojlantirish va boshqalar bilan bog‘liq bo‘lgan ulkan hisoblashlarning kompyutyerda bajarilishi matematik modellash uslubining samaradorligini tasdiqlaydi. Odatda, matematik model ustida hisoblash tajribasini o‘tkazish haqiqiy ob‘yektni tajribada tadqiq etish mumkin bo‘lmagan yoki iqtisodiy jihatdan maqsadga muvofiq bo‘lmagan hollarda o‘tkaziladi. Bunday hisoblash tajribasining natijalari haqiqiy ob‘yekt ustida olib boriladigan tajribaga qaraganda juda aniq emasligini ham hisobga olish kerak. Lekin shunday misollarni keltirish mumkinki, kompyutyerda o‘tkazilgan hisoblash tajribasi o‘rganilayotgan jarayon yoki hodisa haqidagi ishonchli axborotning yagona manbai bo‘lib xizmat qiladi. Masalan, faqat matematik modellashtirish va kompyutyerda hisoblash tajribasini o‘tkazish yo‘li bilan yadroviy urushning iqlimga ta‘siri oqibatlarini oldindan aytib berish mumkin. Kompyuter yadro quroli urushida mutlaq g‘olib bo‘lmasligini ko‘rsatadi. Kompyuterli tajriba Yer yuzida bunday urush oqibatida ekologik o‘zgarishlar, ya‘ni haroratning keskin o‘zgarishi, atmosferaning changlanishi, qutblardagi muzliklar erishining ro‘y berishi, xatto, Yer o‘z o‘qidan chiqib ketishi mumkinligini ko‘rsatadi. Matematik modellashda berilgan fizik jarayonlarning matematik ifodalari modelashtiriladi. Matematik model tashqi dunyoning matematik belgilar bilan ifodalangan qandaydir hodisalar sinfining taqribiy tavsifidir. Matematik model tashqi dunyoni bilish, shuningdek, oldindan aytib berish va boshqarishning kuchli uslubi hisoblanadi. Matematik modelni tahlil qilish o‘rganilayotgan hodisaning mohiyatiga singish imkoniyatini beradi. Hodisalarni matematik model yordamida o‘rganish to‘rt bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqich - modelning asosiy ob‘yektlarini bog‘lovchi qonunlarni ifodalash. Ikkinchi bosqich - modeldagi matematik masalalarni tekshirish. Uchinchi bosqich - modelning qabul qilingan amaliyot mezonlarini qanoatlantirishni aniqlash. Boshqacha aytganda, modeldan olingan nazariy natijalar bilan olingan ob‘yektni kuzatish natijalari mos kelishi masalasini aniqlash. To‘rtinchi bosqich - o‘rganilayotgan hodisa haqidagi ma‘lumotlarni jamlash orqali modelning navbatdagi tahlilini o‘tkazish va uni rivojlantirish, aniqlashtirish. Shunday qilib, modellashtirishning asosiy mazmunini ob‘yektni dastlabki o‘rganish asosida modelni tajriba orqali va nazariy tahlil qilish, natijalarni ob‘yekt haqidagi ma‘lumotlar bilan taqqoslash, modelni tuzatish (takomillashtirish) va shu kabilar tashkil etadi. Matematik model tuzish uchun dastlab masala rasmiylashtiriladi. Masala mazmuniga mos holda zarur belgilar kiritiladi. So‘ngra kattaliklar orasida formula yoki algoritm ko‘rinishida yozilgan funksional bog‘lanish hosil qilinadi. Aytib o‘tilganlarni aniq misolda ko‘rib chiqamiz. O‘ylagan sonni topish masalasi (matematik fokus). Talabalarga ixtiyoriy sonni o‘ylash va u bilan quyidagi amallarni bajarish talab etiladi:
1. O‘ylangan son beshga ko‘paytirilsin.
2. Ko‘paytmaga bugungi sanaga mos son(yoki ixtiyoriy boshqa son) qo‘shilsin.
3. Hosil bo‘lgan yig‘indi ikkilantirilsin.
4. Natijaga joriy yil soni qo‘shilsin. Olib boruvchi biroz vaqtdan so‘ng talaba o‘ylagan sonni topishi mumkinligini ta‘kidlaydi. Ravshanki, talaba o‘ylagan son matematik fokusga mos model yordamida aniqlanadi. Masalani rasmiylashtiramiz: X-o‘quvchi o‘ylagan son, U-hisoblash natijasi, N-sana, M-joriy yil. Demak, olib boruvchining ko‘rsatmalari: U=(X5+N)2+M formula orqali ifodalanadi. Ushbu formula masalaning (matematik fokusning) matematik modeli bo‘lib xizmat qiladi va X o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli tenglamani ifodalaydi. Tenglamani yechamiz: X=((U-M)/2-N)/5 Ushbu formula o‘ylangan sonni topish algoritmini ko‘rsatadi.
Kompyuterli modellashtirish va uning dasturiy vositalari Ma‘lumotlar omborini loyihalash va yaratishdan oldin shu ma‘lumotlar omboriga joylashtiriladigan axborotlarning umumiy tuzilishi haqida tasavvurga ega bo‘lishi lozim. Ma‘lumotlar omboridan kerakli savollarga javob olish va ma‘lumotlarga turli o‘zgartirishlar kiritish uchun ham uning umumiy tuzilishini bilish maqsadga muvofiq. Chunki ma‘lumotlar omborida qanday ma‘lumotlar borligini bilsangizgina, ularga mos savollarni qo‘ya olasiz. Bir axborotni turli xil vositalar orqali va turli shaklarda ifodalash mumkin. Axborotlarni ifodalovchi vositalar majmuini ma‘lumotlar modeli deb ataladi. Albatta, turli odamlar tashqi dunyoni turlicha talqin qiladilar va ular haqida turlicha bilimga ega bo‘ladi. Shuning uchun ham haqiqiy dunyo va undagi hodisalarni anglashda turlicha modellardan foydalaniladi. Modellashtirish yoki modellashning rasmiy muammolarini o‘rganadigan va tadqiq etadigan yaxlit nazariya mavjud. Hozirgi kunda kompyutyerda modellashtirish texnologiyasi mavjud bo‘lib, uning maqsadi atrofimizni o‘rab turgan tabiat, unda ro‘y beradigan hodisa, voqealarni va jamiyatdagi o‘zgarishlarni anglash, tushunib yetish jarayonini zamonaviy usullar vositasida tezlashtirishdir. Kompyutyerda modellashtirish texnologiyasini o‘zlashtirish kompyuter tizimlarini (vositachi qurilma sifatida) yaxshi bilishni va unda modellash texnologiyalarini ishlata olishni talab qiladi. Kompyutyerda dasturlash tillaridan foydalanish matematik modellashtirish usulida jiddiy burilish yasadi. XX asr oxirlarida yaratilgan yuqori quvvatli Pentium prosessorli kompyuterlarda o‘rganilayotgan jarayonlar modellarining turli ko‘rinishlarini (grafik, diagramma, animatsiya, multiplikatsiya va h.k.) kompyuter ekranida hosil qilish mumkin. Ekrandagi modelni (masalan, rasm eskizini) turli xil darajada (tekislik, fazo o‘yicha) harakatga keltirish imkoniyatlari mavjud. Ekranda hosil qilingan modelni kompyuter xotirasida fayl ko‘rinishida saqlash va undan bir necha marta foydalanish mumkin. Umuman olganda, kompyuterli modellashtirishning metodologiyasida quyidagi yo‘nalishlarni ajratish mumkin:
1. Geometrik yo‘nalishdagi tajribalarni tashkillashtirish koordinatalar tekisligida amalga oshiriladi. Kompyuter geometrik ob‘yektlarning hossalarini o‘rganish va 12 matematik farazlarni tekshirishda modellarni qurish va ularni tadqiq etish vositasi sifatida ishlatiladi.
2. Ikkinchi yo‘nalish turli xil harakatlarni modellashtirish bilan bog‘liq. Kompyuter modellari orqali turli xil harakatli masalalarni yechish mumkin. Bu ro‘y beradigan jarayonlarning mohiyatini chuqurroq va kengroq his qilishga, olingan natijalarni haqiqiy baholash va kompyutyerda modellashtirish imkoniyatlari haqidagi tasavvurlarning kengayishiga olib keladi.
3. Uchinchi yo‘nalish - kompyuter ekranida funksiya grafiklarini modellashtirishkasbiy kompyuter tizimlarida keng qo‘llaniladi. Masalan, Logo dasturi funksiya grafiklari, tenglama va tenglamalar tizimini yechish va ularning natijalarini olish imkoniyatlarini beradi.
Eng muhimi shundaki, kompyutyerda modellashtirish texnologiyasidan foydalanish haqiqiy anglashda, bilish jarayonini amalga oshirishda yangi bosqich rolini o‘ynaydi. Ma‘lumotlar modellari shakli qanday bo‘lishidan qat‘iy nazar quyidagi talablarni bajarishi kerak:
1. Soddalik. Ma‘lumotlar modeli kam sondagi bog‘lanishli tuzilish turlariga ega bo‘lishi lozim.
2. Yaqqollik. Ma‘lumotlar modeli vizual (ko‘zga ko‘rinadigan, tasvirlanadigan) bo‘lishi kerak.
3. Qismlarga bo‘linishi. Ma‘lumotlar modeli ma‘lumotlar omborida oddiy o‘rin almashtirish imkoniyatiga ega bo‘lishi lozim.
4. O‘rin almashtirish. Ma‘lumotlar modeli o‘ziga o‘xshash modellar bilan almashtirilish imkoniyatiga ega bo‘lishi kerak.
5. Erkinlik. Ma‘lumotlar modeli aniq bo‘lakchalarnigina o‘z ichiga olmasligi lozim. Yuqorida ko‘rsatilgan talablar ham yaratiladigan modellarning idealligini ta‘minlay olmaydi. Chunki modellashtirishda haqiqiy ob‘yektning ba‘zi bir muhim xususiyatlarigina ishtirok etadi holos.
Aytilganlardan ko'rinib turibdiki, fizikaviy va matematik modellashtirish (yoki bir xil, fizik va matematik tadqiqotlar) fizik kimyoviy jarayonlar bir-biridan mustaqil ravishda amalga oshirilmaydi. Natijada matematik tavsif va matematik model paydo bo'ladi jismoniy tadqiqotlar(modellashtirish) jarayonlari. Matematik modellashtirish o'z-o'zidan maqsad emas, balki jarayonni optimal amalga oshirish uchun vosita bo'lib xizmat qilganligi sababli, uning natijalari optimal jismoniy ob'ektni yaratish uchun ishlatiladi. Ushbu ob'ekt bo'yicha tadqiqotlar (yangi fizik modellashtirish) matematik modellashtirish natijalarini tekshirish va yangi muammolarni hal qilish uchun matematik modelni takomillashtirish imkonini beradi.
Kitobda neftni qayta ishlashda kimyoviy jarayonlarni ishlab chiqish, masshtablash va boshqarishda muhandislik amaliyotida yuzaga keladigan bir qator texnik muammolarni hal qilish uchun fizik-matematik modellashtirish usullarini qo‘llash ko‘rib chiqilgan.
Tadqiqotda fizik-matematik modellashtirish usullarining nisbiy roli va munosabatlari rivojlanish darajasiga qarab ma'lum darajada opportunistik savoldir. hisoblash texnologiyasi, amaliy matematika va eksperimental tadqiqot usullari. Nisbatan yaqin vaqtlargacha (kompyuterlar paydo bo'lishi va amaliyotga joriy etilishidan oldin) fizik modellashtirish probirkadan zavodga o'tishning asosiy usuli edi.
Ustun apparatlarini fizik va matematik modellashtirishning qiyinchiliklariga to'xtalib o'tish kerak, chunki bu holda interfaza o'tishlarining kuchli modellashtirilgan va hisoblangan momentlari bo'lgan ikki fazali tizim mavjud. Jet in'ektsiyasi va gaz pufakchalari ustunli apparatlarda murakkab gidrodinamik tasvirni yaratadi. Hatto ustunli transport vositalarining eng soddalashtirilgan (kvazi-bir hil) modeli ham qisman differentsial tenglamalarning chiziqli bo'lmagan tizimlariga olib keladi, ularning tahlili hozirda kompyuter texnologiyalaridan foydalanishda ham ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.
Konning gaz va gaz kondensatlarida filtragdai jarayonlarni fizik-matematik modellashtirish ishlarining qisqacha tadqiqi berilgan. Modellashtirishning har bir turi bo'yicha kelajakdagi tadqiqotlarning asosiy yo'nalishlari belgilanadi.
Mavjud usullardan eng keng tarqalgani fizik va matematik modellashtirishdir. Bu bo'linish o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi, chunki ikkala usul ham fizik miqdorlarning o'zlari yordamida fizik miqdorlarni modellashtiradi. Farqi shundaki, birinchi holda, modellashtirish bir xil tabiatdagi fizik miqdorlar yordamida amalga oshiriladi, ikkinchidan, bir tabiatdagi fizik jarayon boshqa tabiatdagi fizik jarayon bilan almashtiriladi, lekin shunday yo'l bilan amalga oshiriladi: ikkala jismoniy hodisa ham bir xil qonunlarga bo'ysunadi. Ular o'xshash deb tan olinadi va bir xil tuzilishga ega tenglamalar bilan matematik tasvirlangan. Demak, induktivlik, sig'im va qarshilikka ega bo'lgan elektr tizimi prujinada tebranuvchi yukning matematik modeli bo'lishi mumkin. Bu erda kondansatkichni zaryad qilish va undan keyin qisqa tutashuv tufayli qarshilik va sig'im orqali zaryadsizlanishi yukning muvozanat holatidan og'ishi va undan keyingi damping tebranishiga o'xshaydi.
Zamonaviy eksperimental amaliyotda fizik-matematik modellashtirish keng qo'llaniladi, bu hisoblash usullari bilan mashinalarning parametrlarini aniqlash va ularning prototiplarini qurish uchun imkonsiz bo'lgan hollarda ajralmas hisoblanadi. eksperimental tadqiqot katta talab qiladi moddiy xarajatlar va vaqt.
Gaz kondensati konlarini o'zlashtirishni loyihalashda qatlam aralashmalarining differensial kondensatsiyasi jarayonini kompleks fizik-matematik modellashtirish amalga oshiriladi. Ushbu tadqiqotlar natijasida kondensatsiya boshlanishi bosimining qiymati, yog'ingarchilik dinamikasi va bosimning pasayishi bilan suyuqlik fazasining keyingi bug'lanishi bo'yicha bashoratli ma'lumotlar, hosil bo'lgan aralashmaning, kondensat va komponentning tarkibi va xususiyatlari. tiklanish koeffitsientlari olinadi.
Ko'pgina hollarda, fizik va matematik modellashtirishni o'rnatishni birlashtirish tavsiya etiladi yagona tizim, ikkala usulning afzalliklarini birlashtirishga imkon beradi.
Fizik va matematik modellashtirishning kombinatsiyasiga asoslangan bu nazariya yuqorida qayd etilgan masshtab effekti, asosan, apparat hajmining oshishi bilan oqim strukturasining yomonlashishi va birinchi navbatda, apparatning ko'ndalang kesimi bo'ylab tezliklarni taqsimlashning notekisligi oshishiga.
Fizik-geologik modelni shakllantirish fizik-matematik modellashtirish natijalariga asoslanadi. Shunday qilib, jismoniy modellashtirishda sun'iy modellar yaqin bilan yaratiladi qoyalar fizik xususiyatlar va o'xshashlik shartlariga rioya qilgan holda, matematik modellashtirishda fizik maydonlar berilganlar uchun hisoblanadi jismoniy xususiyatlar potentsial maydonlar nazariyasi yoki differentsial to'lqin tenglamalarining tegishli tenglamalaridan foydalanish.
Eng muhim vazifa loyihalanayotgan obyektning hisoblash modelini tushunib etish va to‘g‘ri tanlashdan iborat. «Model» tushunchasi haqida so‘z borganda quyida keltirilgan ierarxiya tushunilsa uslubiy jihatdan to‘g‘ri bo‘ladi: fizik model, hisoblash modeli, matematik model. Fizik model deganda, qaralayotgan obyektning fizikaviy atamalar asosida har tomonlama to‘liq ifodalanishi tushuniladi. Fizik modelni qaralayotgan sinfdagi obyektlarni empirik kuzatishlar orqali yoki eksperimental ma’lumotlarning analitik mantiqni tushunmasdan va umumlashtirmasdan tuzish mumkin emas. Fizik modelni tuzish ma’lumotlar to‘plamini sintez qilish, ba’zida xaotik hamda qarama-qarshi empirik va intuitiv fikrlar yuritish orqali yangicha zamonaviy tasavvurlar asosida bajarilishi kerak. Fizik modelga hech qanday soddalashtirishlarsiz barcha funksional va boshqa munosabatlar hamda jarayon ko‘rsatkichlari orasidagi bog‘lanishlar kiritilishi lozim. Ammo aniqlanishning etarli darajada to‘liq bo‘lmasligi, faktorlar orasidagi bog‘la-nishlarning murakkabligi xuddi shunday mantiqiy va matematik talqinning qiyinligi tadqiqotlarning keyingi darajasida hisoblash modeliga o‘tish zarurligini izohlaydi. Hisoblash modeli ikkinchi darajali va muhim bo‘lmagan faktorlardan xalos bo‘lib, boshlang‘ich ma’lumotlarning kamchiligini gipoteza va invariantlar orqali to‘ldirib yoki o‘zgartirib va aynan shu tariqa fizik modelni soddalashtirib, uni birinchidan, muhandisning ko‘zi bilan ko‘rsa bo‘ladigan, ikkinchidan, zamonaviy vositalar yordamida yechsa bo‘ladigan ko‘rinishga keltiradi. Lekin fizik modeldan hisoblash modeliga o‘tishni, masalan linearizasiya yoki vaqtinchalik jarayonlarni o‘rtacha qiymatga keltirish asosida, modellashtirishda nihoyatda ehtiyot bo‘lish talab qilinadi. Chunki echimlarning turg‘unligini saqlab qolish, ifodalanadigan jarayonning sifatini buzib qo‘ymaslik va olina-digan echimlarning qoniqarli bo‘lishini ta’minlash zarur. Hisoblash modellari odatda kutilayotgan echimlarning ko‘rinishi va strukturasini aniqlash imkoniyatini yaratadi, bunda tanlangan modelning o‘rganilayotgan obyektlar bilan mantiqiy aynan bir xil bo‘lishiga ishonch hosil qilish kerak. 5 Shu bilan birga, hisoblash modelidan foydalanish, muhandisning nigohi va natijalarning muhimligi matematik apparatga bog‘liq bo‘ladi. Shuning uchun hisoblashlarning natijasi tenglamalar to‘plamidan, boshqa munosabatlardan, algoritm va ularning hisoblashdagi programmalaridan iborat bo‘lgan matematik modelga bog‘liq. Qurilish obyektlarini loyihalashda zamonaviy kompyuter texnologiyalardan foydalanish bu sohaning revolyusiyasiga olib keldi. Barcha chizmalar faqat kompyuterda bajariladigan, loyihalash jarayonning turli bo‘limlarini avtomatlashtiruvchi programma komplekslarining integrasiyalashuvi amalga oshirildi. O‘quv qo‘llanmasining hajmi «Кompyuter dasturlari asosida qurilish konstruksiyalarini hisoblash va loyihalash» fani o‘quv rejasiga mos keladi. Ushbu kitob, o‘quv qo‘llanmasi sifatida programma kompleksining matematik modeli – chekli elementlar usuli va loyihalash jarayonini avtomatlashtirishga tegishli bo‘lgan ta’riflarni, atama va tushunchalarni o‘z ichiga olgan.