Molekulyar fizika

(37)

Bu taqsimot Puasson taqsimoti deyiladi. Puasson taqsimoti ko’pincha kamdan-kam uchraydigan voqealar uchun qo’llaniladi va u o’z ma’nosiga ko’ra biror hajmda yoki vaqt oralig’ida o’rtacha np marta ro’y beradigan voqeaning k marta uchrash ehtimolligini ifodalaydi.

Sistema holatini xarakterlovchi makroskopik parametrlarning, shuningdek, har qanday fizik kattaliklarning o’zlarining o’rtacha qiymatlaridan chetlashishlari fluktuatsiyalar deyiladi. Gazlarda ro’y beradigan fluktuatsiyalarning asosiy sababi issiqlik harakatidir.
Issiqlik harakati tufayli gazning ixtiyoriy bir hajmida ajratib olingan molekulalar vaqt o’tishi bilan bu hajmni tark eta boshlaydi. Shu bilan birga bu hajm qurshab olgan sohadan bu hajmga boshqa molekulalar kirib keladi. Lekin kichik Δt vaqt ichida bu hajmni tark etayotgan va kirib kelayotgan molekulalar soni bir-biriga teng bo’lmaydi. Shu sababli bu hajmdagi molekulalar soni o’zining o’rtacha qiymati N atrofida o’zgarib turadi.
Nisbatan katta fluktuatsiyalar kam sondagi molekulalardan tashkil topgan sistemalarda uchraydi. Agar muvozanat holatida bo’lgan sistemada molekulalar soni juda ko’p bo’lsa, fluktuatsiyalar ham kichik bo’ladi va katta fluktuatsiyalar amalda uchramaydi.
Fluktuatsiyaning miqdoriy o’lchovi sifatida o’rtacha kvadratik chetlashishni yoki nisbiy fluktuatsiyani olish mumkin. Nisbiy fluktuatsiya son jihatdan berilgan hajmdagi gaz molekulalari soni o’rtacha kvadratik chetlashishini shu hajmdagi molekulalarning o’rtacha soniga nisbatiga teng:
(38)
N ning katta qiymatlari uchun nisbiy fluktuatsiya quyidagi ifoda yordamida hisoblab topilishi mumkin:
(39)
Bu formulani sifat jihatidan analiz qilish katta hajmlarda (N katta) fluktuatsiya juda kichik bo’lishini va kuzatilayotgan hajm kichiklashib borgan sari (N kamayadi) molekulalarning fluktuatsiyalari ortib borishini ko’rsatadi. Masalan, normal sharoitlarda 10^-16 sm³ tartibdagi hajmda 1 % atrofidagi fluktuatsiya 10^-18 sm³ tartibdagi hajmlarda esa 10% atrofidagi fluktuatsiyalar ro’y beradi.
Ma’lumki, molekulalar ilgarilanma harakati kinetik energiyasi
(40)
edi. Bu tenglikdan molekulalar o’rtacha kvadratik tezligini topish mumkin
(41)
Bundan ko’rinadiki, o’rtacha kvadratik tezlik absolyut temperaturaning kvadrat ildiziga to’g’ri proporsionaldir. Uning qiymatini aniqlash uchun molekulalar massasi m va Avogadro soni N₀ ni bilish kerak. Lekin ma’lumki N ₀m = 
Shu sababli (42)
ifoda orqali topilishi mumkin.Uy temperaturasida (T=293K) kislorod molekulasi O₂ ning o’rtacha kvadratik tezligi
/s
Vodorod gazi molekulalari uchun :
/s
Bundan ko’rinadiki, bizni o’rab turgan havo molekulalari taxminan o’qning uchish tezligida harakatlanar ekan. Shuning uchun ham molekulalar tezliklarini o’rganishda o’qning harakat tezligini aniqlashdagi usullardan foydalanish mumkin. O’qning tezligini aniqlashning bir yo’li quyidagicha: Ikkita qog’oz disk olinib, ular o’zaro L masofada bitta aylanish o’qiga o’rnatiladi. (1-rasm) Miltiqdan otilgan o’q qurilma o’qiga parallel uchib borib birinchi qog’ozni teshib o’tadi. O’q ikkinchi diskaga borganicha L masofani bosib o’tishi kerak. Bu vaqt mobaynida ikkinchi disk qandaydir  burchakka buriladi. Bizga oldindan disklarning burchakli tezligi ma’lum bo’lsa, o’q tezligini quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:
(43)
Masalan, diskni aylantiruvchi dvigatelning burchak tezligi 3000 ayl/min (=100/rad), o’q ikki disk orasida harakatlanganda diskning buralish burchagi
 = 30⁰ ( = ), L=1m bo’lga
nida, o’qning tezligi : /s
Bu chiziq f() funksiyani berib unga molekulalarning tezliklari bo’yicha taqsimot funksiyasi deyiladi. f() chiziq bilan absissa o’qi orasidagi yuzaga mos keluvchi barcha molekulalar soni N dona bo’ladi. Ideal gaz molekulalari uchun issiqlik muvozanati paytida molekulalarning tezliklari bo’yicha taqsimot funksiyasining qiymatini nazariy yo’l bilan birinchi marta 1860 yil Maksvell hisobladi. U buning uchun ehtimollik nazariyasidan foydalandi. Maksvell xulosalariga Boltsman aniqlik kiritdi va taqsimot funktsiyasi uchun quyidagi formulani chiqardi:
dN_ = f ()d = N 4( (44)
f() funksiya 0 va  da nolga intiladi, ya’ni  tezlikka nisbatan juda kichik va juda katta tezlikli molekulalar soni hisobga olmaslik darajasida kam ekan. f() funksiya tezlikning
(45)
qiymatida eng maksimum qiymatga erishadi. Shuning uchun ham bu tezlikka ehtimolligi eng katta bo’lgan tezlik deyiladi. Bunday tezlikli molekulalar gazda ko’p uchraydi. (8) tenglama bilan chiziluvchi grafik egriligi _e ga nisbatan simmetrik emas va gazda eng katta tezlikli molekulalar ham uchraydi. Shuning uchun ham o’rtacha arifmetik tezlik  va o’rtacha kvadratik tezlik _e ga nisbatan o’ngroqqa siljigan.
Tajribalar ko’rsatadiki
(46)
(47)
_e    = 1  1,13  1,22
Temperaturaning oshishi bilan _e va  lar ga proporsional ravishda ortadi, shuning uchun ham egrilikning maksimumi o’ngga qarab siljib boradi. Tezliklari kichik molekulalar soni kamayib, tezliklari kattalari ortib boradi. Lekin egrilik bilan absissa o’qi orasidagi yuza o’zgarmaydi, chunki tezlikari o’zgarsada molekulalar soni bir xil qolaveradi (rasmla ko’rsatilgan). Demak ko’pchilik molekulalar ehtimolligi eng katta tezliklarga yaqin tezliklarda harakatlanadilar.
Kvant mexanikasiga muvofiq barcha zarralar ikki sinfga bo’linadi: Birinchi sinfga elektronlar, protonlar, neytronlar, ya’ni spinli deb ataluvchi barcha zarralar kiradi. Bu zarralar fermionlar deb ataladi va bu zarralar Fermi-Dirak statistikasiga bo’ysunadi. Ikkinchi sinfga fotonlar,  va  mezonlar va butun spinli barcha zarralar kiradi. Bu zarralar Bozonlar deb ataladi va ular Boze-Eynshteyn statistikasiga bo’ysunadi. Biz avval ko’rib o’tgan Boltsman yoki Maksvell-Boltsman statistikasi deb ataluvchi statistika taxminiy bo’lib, ma’lum shart-sharoitlarda Fermi –Dirak va Boze-Eynshteyn statistikasi bilan mos tushadi. Biz bu yerda faqatgina bu uchala statistikada kvant nuqtai nazaridan yuritiladigan mulohazalarda ularning umumiy va farqlanadigan tomonlari ustida to’xtalib o’tamiz.
Kvant mexanikasi zarralarni ularning holatlarining koordinatalari va impulslari orqali tavsiflashdan voz kechadi. Kvant mexanikasi, diskret energiyali holatlar bor deb hisoblaydi. Sistema yoki zarra bir holatdan ikkinchi holatga uzluksiz o’ta olmaydi, chunki oraliq holatlar yo’q. O’tish, sakrash yo’li bilan amalga oshadi. Bu holatlar molekula energiyasining muayyan qiymatlari yoki energiya sathlari ₁ , ₂ , ₃ ... lar bilan xarakterlanadi.
Har uchala statistikada ham yo’l qo’yiladigan mikroholatlar teng ehtimolli deb qaraladi. Ammo bu statistikalar bir-biridan mikroholatlarning va makroholatlarning statistik vaznlarini qanday aniqlashi bilan farq qiladi. Boltsman statistikasida, zarralar mutlaq ayniy bo’lsa ham ular prinsipial farqlidir deb faraz qilinadi. Masalan: A zarra bir kvant holatda, B zarra ikkinchi kvant holatda turgan bo’lsa, bu zarralar o’rin almashganlarida yangi mikroholat yuzaga keladi. Fermi-Dirak va Boze-Eynshteynning statistikalari aksincha, bunday o’rin almashtirishda hech qanday o’zgarishlar bo’lmaydi, ya’ni avvalgi mikroholat yuzaga keladi deb hisoblaydi. Ular orasidagi farq shundan iboratki, Fermi-Dirak statistikasida har bir kvant holatida bittadan ortiq zarra bo’la olmaydi deb hisoblansa, Boze-Eynshteyn statistikasida bunday cheklanishlar qo’yilmaydi. Fermionlar va bozonlarning bunday tabiati kvant mexanikasida asoslab beriladi.
Biror hajmni egallagan gazga biror boshqa gazni qo’shaylik. Gaz hajmining barcha joyida bosim va temperaturalar bir xil bo’lgani holda, gazning turli qismlarida konsentratsiya turlicha bo’lgani sababli, gazning konsentratsiyasi kattaroq qismdan kamroq qismga zarrachalar ko’chishini kuzatamiz. Ma’lum vaqtdan keyin gazning barcha hajmida zichlik bir xil bo’lib qoladi. Bu jarayon vaqtida gazning bir qismidan boshqa qismiga massa ko’chadiki, biz bu hodisani diffuziya deb ataymiz.
Tekshirishlar ko’rsatadiki, diffuziya ro’y berayotgan yuza S ning o’lchamlari va diffuziya ro’y berayotgan t vaqt oralig’i qancha katta bo’lsa hamda gazning portsial zichligi  olingan yuzaga tik yo’nalishda qancha tez o’zgarsa, shu yuzadan o’tadigan M-gaz massasi ham shuncha ko’p bo’ladi.
₁ - ₂ = 
OX o’qini S yuzaga tik o’tkazamiz, bir-birovidan X masofada joylashgan nuqtalardagi zichliklar farqi  ga teng. U vaqtda kattalik OX o’qining yo’nalishida olingan uzunlik birligida zichlikning qanday o’zgarayotganligini ko’rsatadi, uni biz zichlik gradiyenti deb ataymiz.
Tajribalar ko’rsatadiki OX o’qi bo’ylab ko’chadigan massa M -zichlik gradiyentiga, S yuzaning kattaligiga va t vaqtga to’gri proporsionaldir.
M = -D( )St (48)
Bu diffuziyani makrosopik nuqtai nazardan xarakterlovchi tenglamadir.
Bu yerda D-diffuziya koeffisenti bo’lib , u gazning turiga va qanday sharoitda joylashganligiga bog’liq. Tenglamadagi (-) ishorasi massaning zichlik kamayadigan tomonga ko’chishini bildiradi.