Molekulyar fizika

3-MODUL: MOLEKULYAR FIZIKA
3 - MA’RUZA:GAZLARNING MOLEKULYAR-KINETIK NAZARIYASI. IDEAL GAZ MODELI. BOLSMAN TAQSIMOTI. MAKSVELLNING TAQSIMOT QONUNI. O‘RTACHA KATTALIKLAR.
Reja:

1. 
   Ideal gaz
   
2. 
   Gazlar molekulyar kinetik nazariyasining asosiy tenglamasi.
   
3. 
   Fizikada modellardan foydalanish.
   
4. 
   Fizikada dinamik va statistik usul.
   
5. 
   Ideal ganing holat tenglamasi.
   
6. 
   Gazlar universal doimiysi.
   
7. 
   Ideal gaz qonunlari.
   
8. 
   Molekulalarning o’rtacha kvadratik tezliklari.
   
9. 
   Molekulalar tezliklarining Maksvell taqsimoti.
   
10. 
    Maksvell-Bol’tsman taqsimoti.
    
11. 
    Gazlardagi diffuziya
    

Tayanch iboralar: Moddalarning agregat holatlari, gazlar, ideal gaz, holat tenglamalari, eng katta ehtimolli tezlik, tezliklar bo’yicha taqsimot , energiya bo’yicha taqsimot. ideal gaz, holat tenglama, holat parametrlari, gaz universal doimiysi, partsial bosim.
Moddalarning asosiy uch holatidan eng soddasi gaz bo’lganligi sababli, gazlarning xossalarini o’rganamiz .
Gazlar xossalarini o’rganishda dastavval biz ularning molekulalari orasidagi ta’sir kuchlarini va molekulalarning o’lchamlarini hisobga olmaymiz, ya’ni ularni moddiy nuqtalar sifatida qaraymiz. Real gazlarni bunday ideallashtirish har bir molekula o’zini idishda o’zidan boshqa molekula yo’qdek tutadi, uni to’g’ri chiziqli va tekis harakatlanadi deb qarashga asos bo’ladi.
O’zaro ta’sirlashmaydigan moddiy nuqtalar to’plami singari xususiyatlarga ega bo’lgan gaz ideal gaz deyiladi.
Ideal gaz tushunchasini kiritish bilan biz gazlar xossalarini katta xatolarga yo’l qo’ymasdan tekshirishga imkon yaratamiz.
Gaz molekulalari tartibsiz harakatlanib, vaqti-vaqti bilan idish devoriga yoki boshqa jismlar sirtiga, yoki o’zaro juda yaqin kelishlari mumkin. Bu vaqtda molekulalar orasida yoki gaz molekulalari bilan idish devori orasida o’zaro ta’sir kuchlari paydo bo’ladi va bu kuchlar masofaning oshishi bilan tezda kamayadi. Bu kuchlar ta’sirida molekulalar o’z yo’nalishini o’zgartiradiki, bu jarayonga “to’qnashuv ” jarayoni deyiladi.
Ana shu to’qnashuvlar natijasida gazning bosimi vujudga keladi. Gaz molekulalarining idish devoriga beradigan bosimi formula yordamida aniqlanadi.
“Gazning bosimi gaz molekulalarining idish devori bilan bo’ladigan cheksiz to’qnashuvlari natijasidir”,-degan xulosani D.Bernulli (1700-1782) bergan edi.
Gaz molekulalarining idish devoriga beradigan bosimini aniqlaylik.
Qirralarining uzunligi l ga teng bo’lgan kubni tasavvur qilaylik. Uning ichida n dona molekula tartibsiz harakatlanadi. Harakat tartibsiz bo’lganligi sababli bu molekulalarning 1/3 qismi kubning oldingi va orqa devori orasida, 1/3 qismi ikkala yon devor orasida va yana 1/3 qismi yuqori va pastki devorlar orasida harakatlanmoqda deb qarash mumkin. Faraz qilaylik, 1 dona molekula oldingi va keyingi devorlar orasida harakatlanmoqda. Bu molekula idish devori- ga  tezlik bilan kelib uriladi, uning impulsi kelib urilgunicha m ga teng. Urilgandan keyin teskari yo’nalish bo’ylab - tezlik oladi va impulsi m(-) ga teng bo’ladi. Urilish vaqtida impulsining o’zgarishi:
m - m(-)=2m()
Bu esa urilish vaqtidagi kuch impulsining o’zgarishiga teng , ya’ni:
(1)
Bu yerda t molekulaning ikki devor orasida bir borib kelishi uchun ketgan vaqt bo’lib u quyidagicha topiladi:
(2)
(1) ni (2)- formulaga qo’yib, quyidagi natijaga ega bo’lamiz
bundan (3)
Har bir molekula ₁ ,₂, ₃,… tezliklar bilan devorga uriladi. Shuning uchun umumiy urilish kuchi :

n¹ –oldingi va keyingi devorlar orasida harakatlanuvchi
molekulalar soni, (3) ni hisobga olsak,

(4)
(4) ni n¹ ga ham ko’paytirib, ham bo’lamiz
(5)

bu yerda - o’rtacha kvadratik tezlikning kvadratidir.
Demak , (6)
Agar n¹= ekanligini hisobga olsak,
(7)
bo’ladi. (7) ning har ikkala tomonini l² ga bo’lamiz :
(8)
(8 ) dan va (bu yerda n₀-ya’ni hajm birligidagi molekulalar soni) ekanini hisobga olsak
(9)
Demak, gazning idish devorlariga beradigan bosimi, gaz molekulalarining soni, ularning massalari, tezliklari kvadratlarining o’rtacha qiymati bilan aniqlanar ekan. (9) ni 2 ga ham ko’paytirib, ham bo’lamiz.
₍₁₀₎
Bundan, gaz molekulalarining ilgarilanma harakat o’rtacha kinetik energiyasi. (9) va (10) ni birlashtirib:
(11)
ni olamiz, ya’ni gazning bosimi gazlar ilgarilanma harakati vaqtidagi kinetik energiyasi orqali ham ifodalanar ekan. Bu tenglamaga gazlar kinetik nazariyasi- ning asosiy tenglamasi deyiladi.
Ideal gaz holatini xarakterlovchi asosiy parametrlar bo’lib bosim (P), temperatura (T) va hajm (V) hisoblanadi. Bu parametrlar bir-biriga bog’liqdir va ularning har biri qolgan ikkitasining funksiyasidir. Uchala kattaliklar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tenglama holat tenglamasi deyiladi va quyidagicha yoziladi:
P = f (V _, T) (12)
Gazlar kinetik nazariyasining asosiy tenglamasi
(13)
edi. Agar
(14)
ekanligini hisobga olsak:
P = n₀ kT (15)
Bu yerda n₀=
Demak,
PV= NkT (16)
bo’ladi. Bu tenglama gazning holat tenglamasi hisoblanadi, lekin bu yerda N ni hisoblash qiyinroqdir. N o’rniga oson o’lchash mumkin bo’lgan gaz massasini kiritamiz. Buning uchun gram-molekula tushunchasini kiritamiz.
1 gramm-molekula(mol) deb moddaning nisbiy molekulyar massasiga teng bo’lgan, grammlarda ifodalangan massa miqdoriga aytiladi. Har qanday modda- ning bir molida bir xil sondagi molekulalar mavjud bo’ladi. Bu molekulalar soniga italiyalik olim A.Avogadro (1776-1856) sharafiga Avogadro soni deyiladi. Uning qiymati:
N₀=6,0220943 10²³ 1/mol
Bir molni modda miqdori sifatida quyidagicha ta’riflashimiz mumkin:
Bir mol Avogadro soniga teng bo’lgan molekulalardan iborat bo’lgan modda miqdoridir. Gaz massasining uning molekulyar massasiga nisbati gazning berilgan massasidagi molekulalar sonini Avogadro soniga nisbatiga teng bo’ladi .
bundan (17)
(15) va (16) dan :
PV = N₀kT (18)
Bu yerda k- Bolsman doimiysi, N₀- Avogadro soni ikkalasining ko’paytmasi
N₀ k= R = 8,31 j/mol K
bo’lib, bunga gazlar universal doimiysi deyiladi. Gaz universal doimiysi ma’nosi jihatidan bir mol gazni 1 Kga qizitishda bajarilgan kengayish ishiga teng fizikaviy kattalikdir. R ni hisobga olsak
PV = RT (19)
Bunga Klapeyron–Mendeleyev tenglamasi ham deyiladi. (1834-yilda B.Klapey- ron ushbu tenglamani chiqargan, 1974-yilda D.I.Mendeleyev bu formulaga massani kiritdi)
1 mol gaz uchun m= bo’ladi, shuning uchun:
PV = RT (20)
Shunday tasodifiy kattaliklar borki, ular biror sohadagi har qanday qiymatlarni qabul qila olishi mumkin. Bunday kattaliklar uzluksiz o’zgaruvchi kattaliklar deyiladi. Tasodifiy kattaliklarning qabul qila olishi mumkin bo’lgan qiymatlari cheksiz ko’p bo’lganligi uchun, uning aniq bir qiymatni qabul qilish ehtimolligini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda masala tasodifiy kattalikni ma’lum bir intervaldagi qiymatlarni qabul qilish ehtimolligini aniqlashga olib kelinadi. Masalan, o’lchanayotgan kattalikning o’lchash natijasida olingan son qiymatining a dan aqda gacha chegarada bo’lish ehtimolligi dP ni kiritish mumkin. Bu ehtimollikning qiymatida interval kengligiga proporsional, ya’ni

dP=f(a) da (21)

bundagi f(a)–proporsionallik koeffisienti, umuman olganda a kattalikka bog’liqdir. f(a) funksiya taqsimot zichligi deyiladi. Statistik fizikada u ko’pincha taqsimot funksiyasi deb ham ataladi. Taqsimot funksiyasi son jihatdan o’lchanayotgan tasodifiy kattalikning a dan aq1 gacha bo’lgan chegaradagi qiymatlarni qabul qilish ehtimolligiga teng.
Taqsimot funksiyasini bilish orqali tasodifiy a kattalikning biror intervaldagi qiymatlarni qabul qilish ehtimolligini topish mumkin. Bu funksiya quyidagi xossalarga ega: u musbat kattalik; agar a kattalik chekli b bilan c oraliqda o’zgarsa, a ning o’zgarish sohasidan tashqarida taqsimot funksiyasi nolga teng va
(22)
bo’ladi; asosiy masala, ya’ni a kattalik qiymatining biror (,) intervalda bo’lish ehtimolligi quyidagi ifoda yordamida hal qilinadi:
(23)
Bundan tashqari, taqsimot funksiyasini bilish orqali a tasodifiy kattalikning o’lchangan qiymatlaridan nechtasi kichik (a,aqda) intervalda yoki chekli (,) intervalda yotishini topish mumkin. Ehtimollik ta’rifidan
(24)
bo’lganligi uchun
(25)

va
(26)

bo’ladi. Bundagi N – a kattalikning barcha qiymatlari soni.
O’rtacha qiymat ta’rifiga binoan a kattalikning o’rtacha arifmetik qiymati esa quyidagiga teng bo’ladi:
(27)
Odatda a ning o’zgarish sohasidan tashqarida f(a) nolga teng bo’lsada, barcha hollarda integrallash chegarasi sifatida -  va q olinadi.
Quyida taqsimot funksiyasiga misol tariqasida Gauss taqsimoti bilan qisqacha tanishib o’tamiz.
Turli – tuman o’lchashlarda uchraydigan tasodifiy xatoliklar Gauss taqsimotiga bo’ysunadi va bu taqsimotdan ko’pgina fizik masalalarni ko’rib chiqishda tez-tez foydalanib turiladi. Gauss taqsimotining matematik ifodasi quyidagi ko’rinishda:
(28)
Bundagi a-tasodifiy kattalik, x ning o’rtacha arifmetik qiymati. ² – esa bu taqsimotning dispersiyasi bo’lib, u quyidagicha topiladi:
(29)
 - parametr o’rtacha kvadratik chetlashish deyiladi. Agar a o’rtacha qiymat nolga teng bo’lsa, (1) ifoda standart normal taqsimot ko’rinishini oladi (=1):
(30)
Uning qiymatlarini turli x lar uchun jadvaldan olsa bo’ladi. Umuman (30) formulada P(x)=y va Z=(x-a)/ o’zgartirish kiritib, uni standart taqsimotga keltirish mumkin.
Faraz qilaylik gazning hajmi V ikkita –V₁ va V₂ yacheykadan iborat bo’lsin. Agar barcha molekulalar soni n ta b o’lsa, u holda yacheykalardan birida k ta va ikkichisida (n-k) ta molekula bo’ladigan holatning ehtimolligi
(31)
bo’ladi. p – biror molekulaning V₁ yacheykada bo’lish ehtimolligi, q esa uning bu yacheykada paydo bo’lmaslik, yoki V₂ yacheykada bo’lish ehtimolligi. Ravshanki,
p+q=1 (32)
Binomal taqsimotning qo’llanish sohasi biz yuqorida ko’rib o’tgan misol bilangina cheklanmaydi. Bu taqsimot sinashlar soni n ta bo’lganda ulardan k tasida kutilgan tasodifiy voqeaning ro’y berish ehtimolligini hisoblab topishga imkon beradi. (1) ifodaga faktoriallar kirgan bo’lib, undan amalda foydalana olish noqulaylik tug’diradi. Shuning uchun faktoriallarni hisoblashda Stirling formulasi
M = 2 m m^me^-m (33)
dan foydalanib, (31) ifodani foydalanishga qulay bo’lgan ko’rinishga keltirish mumkin. Bunday almashtirish p ning 0 ga va 1 ga yaqin bo’lmagan qiymatlari uchun quyidagini beradi:
(34) bu Gauss taqsimotidir. k o’rniga tasodifiy Z kattalikni kiritib :
(35)
(5) ni soddaroq ko’rinishga keltirish va jadval ma’lumotlaridan
(36)
ning qiymatlarini olib, uni osonroq hisoblash mumkin.

P_k ning ifodasini p juda kichik va 1 ga yaqin bo’lgan hollar uchun ham ishlatishga qulayroq bo’lgan ko’rinishga keltirish mumkin. Bunday hollar uchun (31) ifoda quyidagi ko’rinishni oladi.