Monoton funksiyalar sinfi

4. Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi


y=f(x) funksiya X to`plamda uzluksiz va X bo`lsin. U holda uzluksizlik ta`rifiga ko`ra har bir >0 uchun shunday >0 son topilib, |x- |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x X lar uchun |f(x)-f( )|< tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bu yerda son ga bog`liq. Ikkinchi tomondan son nuqta o`zgarishi bilan ham o`zgarishi mumkin. Demak, son ham ga, ham nuqtaga bog`liq.
Ba`zi bir funksiyalar mavjudki, topilayotgan son faqat >0 ga bog`liq bo`lib, nuqtaga bog`liq emas.
Ta`rif: Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, |x`-x``|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x`,x`` X nuqtalar uchun |f(x`)-f(x``)|< tengsizlik o`rinli bo`lsa, f(x) funksiya X to`plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Ta`rifdan ko`rinadiki X to`plamda tekis uzluksiz bo`lgan funksiya shu to`plamda uzluksiz bo`ladi, aksinchasi har doim to`g`ri bo`lavermaydi. Ya`ni shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Misol. f(x)= funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya`ni, qanday >0 son olmaylik x`,x`` sonlar topilib, |x`-x``|< bo`lib,
|f(x`)-f(x``)| bo`ladi. nuqtalarni olaylik. |x`-x”|= = . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo`ladi. Lekin |f(x`)-f(x``)|=|n-(n+1)|=1 bo`ladi.
Demak, f(x)= funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo`ladi degan savol tug`iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.