Muammolarni yechimlari, 1974 yil uchun №3 ga o'rlangan

MUAMMOLARNI YECHIMLARI,
1974 YIL UCHUN № 3 GA O'RLANGAN
1356. Muayyan sonning kvadrati raqamlardan iborat
l, 2, 5, 5, 6. Bu raqamni toping.
Yechim. Raqamning kvadrati tugamaydi
2 ga va shuning uchun bu holda \, 5 bilan tugaydi
yoki 6. Sonning kvadrati a bo‘lsin. Agar a 1 ga teng bo'lsa, oxirgidan oldingi raqam bo'lishi kerak
shunday bo'lsa ham
a E {55621, 56521, 65521, 25561, 52561, 55261}.
Agar a 6 bilan tugasa, u oxirgidan oldingi hisoblanadi
raqam g'alati, ya'ni.
a E {12556. 15256, 21556, 25156, 51256, 52156}.
Nihoyat, agar a 5 bilan tugasa, uning oxirgidan oldingi raqami 2 ga teng
aE {15625, 16525, 51625, 56125, 61525, 65125}.
Qaysi biri to'g'ridan-to'g'ri tekshirilishi aniq
Yozilgan 18 ta raqam kvadrat bo'lib, ulangan
katta hisob-kitoblar bilan 0ammo, ularning bir nechtasi bo'lishi mumkin
agar siz ushbu raqamlarni kengaytirishga harakat qilsangiz, kamaytiring
omillar.
Va aytaylik:
12556=4. 3139, 15256= 8 . 1907, 21556=4. 5389,
25156=4 - 6289, 51256=8. 6407, 52156=4. 13039,
va 3139, 5389, 6289, 13039 raqamlari emasligi sababli
kvadratlar, keyin a soni 6 bilan tugamaydi.
bu shunchaki uchinchi to'plamda faqat 15625 raqami kvadrat ekanligini ko'rsatadi.
Birinchi to'plamga kelsak, uning parchalanishi
elementlarni omillarga kiritish to'g'ridan-to'g'ri tekshirishdan ko'ra oson emas. Bunday holda, to'g'ridan-to'g'ri tekshirish qo'shimcha fikrlar bilan qisqartirilishi mumkin. Shunday qilib, taxminiy baho ko'rsatadi
kvadrati 55621 bo'lgan son 230 dan katta
va 240 dan kam, 1 yoki 9 bilan tugaydi,
bundan tashqari, u 3 ga bo'linmaydi - aks holda uning kvadrati raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linib, 239 ga bo'linadi.
oxirigacha hisob-kitoblar, biz uning ikkinchi raqami ekanligini ko'ramiz
kvadrat 9. Shuning uchun 55621 emas
kvadrat, va bundan tashqari, biz buni haqiqatda isbotladik
va 56521 va 55261 raqamlari ham kvadrat emas.
Boshqa raqamlar ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi.
Shunday qilib, kerakli raqamning kvadrati 15625,
va bu raqamning o'zi 125 ga teng.
1357. Sonda bir nechta raqamlarni kesib tashlash mumkinmi
412 384 026, shunda qolgan son butun sonning kvadrati bo'ladimi?
Yechish: Raqamli kvadratlar bilan tugashi mumkin
faqat O, 1. 4, 5, 6. 9 raqamlari sonning kvadrati bo'lsa
O. bilan tugaydi, keyin r.
shuningdek O. Agar kvadrat juft son bilan tugasa, u holda
uning oxirgi ikki raqamidan tashkil topgan raqam 4 ga bo'linishi kerak, chunki juft sonning kvadrati
4 ga bo'linadi.
Berilgan sonning u11 frazemalarini o‘ngdan chapga takrorlaymiz. Agar ba'zi raqamlarni kesib o'tgandan so'ng, natijada olingan raqam 6 raqami bilan tugasa, u kerak
3 yoki 1 raqamidan oldin. Mumkin orqali o'tish
variantlar, biz bu erda faqat ikkitasini olishingiz mumkinligini ko'ramiz
kvadrat - 36 va 16. Kvadrat tugamaydi
nifra 2 va O. Agar natijada olingan raqam tugasa
4, undan oldin quyidagi raqamlardan biri bo'lishi kerak:
8, 2, 4. Bu yerdan biz yana ikkita kvadrat olamiz - 4 va 484.
Kvadrat 8 va 3 raqamlari bilan tugamaydi. From
qolgan raqamni boshqa kvadrat olishingiz mumkin - 1.
Shunday qilib, u raqamini kesib tashlash orqali berilgan raqamdan
quyidagi kvadratlarni olishingiz mumkin: 1, 4 (4
yo'llar), 1 6, 36, 484.
1 358. Bitta raqamni kesib tashlagandan so'ng ma'lum son 10 marta kamaydi. Qaysi raqamda va nimada
joyida chizilganmi?
Yechish.X sonida bitta raqam chizilsin
va y raqamini oling. X = IOy shartiga ko'ra, shuning uchun x sonining oxirida nollar bo'lishi kerak va
chizilgan, aniqki, ulardan biri.
1359. Bittasini kesib tashlagandan keyin qandaydir son
ko‘rsatkichlari 71 barobarga kamaydi. Qaysi raqamda va nimada
joyida chizilganmi?
Yechim. Raqam bering!' x ba'zilarini chizib tashladi
raqam va y raqamini oling. Agar birinchi raqam chizilmagan bo'lsa, u holda x va lOy raqamlari bir xil qiymatga ega,
va birinchi raqamlar bir xil, shuning uchun soni 71y
x dan katta bo'ladi. Shuning uchun birinchi raqam kesib tashlanadi. Uni a bilan belgilaymiz. Shart bo'yicha
a 10n + y \u003d 71y,
qayerda
a !Op = 70v. .
shuning uchun a=7 va lOn = lOy. Shunday qilib, kesib tashlang
7 raqami 710 ... 0 raqamining birinchi raqamidir.
1360. Kvadrati yozilgan barcha sonlarni toping
faqat toq raqamlar.
Yechim. Kerakli raqam toq bo'lishi kerak.
Bu raqamning oxirgi raqamlari b va a bo'lsin. Keling, ko'paytiraylik
o'zida kerakli raqam:
x - b a
- b a
. y x
• z
- t x
Uifra a faqat toq bo'lishi mumkin, keyin x -
ham toq son, lekin biz har doim juft sonni "eslab qolamiz"
raqam. Agar b toq tt>ifpa bo'lsa, u holda y va z toq,
a, shuning uchun, t juft bo'lsa, b juft raqam bo'lsa,
u holda y va z juft, demak, t juft.
Demak, toq sonlarning kvadratlari oxirgidan oldingi songa ega
raqam har doim juft bo'ladi. Shuning uchun faqat 1 va 3 raqamlari masala shartini qanoatlantiradi
1361. a > b sonidan b soni ayiriladi, b dan hisob.1u
olingan farq, ikkinchi farq birinchi farqdan ayirildi,
ikkinchi uchdan va hokazo. Barcha mumkin bo'lgan juftlarni toping
ikki xonali a va b sonlar, ular uchun hosil boʻlgan sonlar ketma-ketligi O ni oʻz ichiga oladi. O ni olish uchun eng koʻp qancha amallar bajarilishi kerak?
Yechim. Ko'rsatilgan a - b raqamlar ketma-ketligini yozish. -a + 2b, 2a - 3b, -3a + .)b.
5a - 8b ....• bildirishnoma. Bu koeffitsientlar aniqlik bilan
belgisiga. ketma-ket Fnbonachchi raqamlari bilan mos: 1, J, 2, 3, 5, 8. 13, ... . Shu payt F k - k-e o‘tirdi
Fnbonachchi soni, u holda ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikning k hadi (-1)�+ 1 F ka+ (-1)" F k +•b ko'rinishga ega bo'ladi.
va agar_ 0 ga teng
va Fk+1
t \u003d f "" k
Endi muammoning barcha savollariga javob berish oson.
Biz Fibonachchi raqamlarini oxirigacha yozamiz
ikki raqamli: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
Kerakli ikki qiymatli juftliklar quyidagi shaklga ega: (n, n), bu erda
n = 1 0, 11,. . . .99; (2n, n), bu erda n = lO, 11, . . . .49;
(3n, 2n), bu erda n = 5, . _., 33; (5p, 3p), bu erda n = 4, 5, . . . , 19;
(8p, 5p), bu erda n=2, 3, . . . , 12; (13p, 8p), bu erda n=2, 3" ..,7;
(21p, 1 3p), bu erda n = 1, 2, 3, 4; (34n, 2ln), bu erda n = 1, 2;
(55, 34); (89, 55).
Eng ko'p operatsiyalar - o'nta - juftlik uchun bajarilishi kerak (89, 55) . olish uchun O.
1362. Agar a, b sonlari ekanligini isbotlang. c musbat5 1 1 1 haqiqiy va a2 + b2 + c2 = h. keyin a + m- -c <
bitta
< abc •
Yechim. Bizda ... bor:
(a + b - c) 2 ? - 0.
a
2 + b2 + c2 + 2 (ab-ac-bc) ::;;.. O,
bc + ac - ab <_. 2 (a2 + b
2+s
2"
o'n besh
bc + ac - ab <.. 2 3,
bc + ac - ab < 1,
bc + a c - a b 1
abs
<
abs •
1 1 1 1
--a + t-c-
<
abc •
--+
1363. To‘rtta koplanar vektor OA berilgan,
-+ --+
nv, OS, bir xil uzunlikdagi OD. Buni isbotlang
-+ ---r --+ --+ -+
agar OA + OB + OS + OD = O bo'lsa, u holda to'rtlik
ABCD - to'rtburchak.
-+ -+ -+ -� -.+
Yechim 1. OA + OB = OM, OC + OD bo'lsin
--+ -+ + --+ -4
\u003d ON, keyin OM + ON \u003d O va OM va ON qarama-qarshidir
.janubiy: e vektorlar, ya'ni O nuqta MN segmentining o'rta nuqtasidir
(1-rasm). Bundan tashqari, 1 OA 1 \u003d 1 OB 1 \u003d /OCI \u003d dan beri
= 1 OD /, keyin OAMB va OCND to'rtburchaklar kongruent romblar, keyin [AB] va [CD] bu romblarning ikkinchi diagonallari va A va D nuqtalari MN chizig'iga nisbatan mos ravishda B va C nuqtalarga simmetrikdir. .
Shuning uchun ABCD to'rtburchakdir.