Muhammad al xorazmiy nomidagi toshkent axborot

Garmonik funksiyalar va ularning xossalari.

Grin formulalari va integral tasvir
Garmonik funksiyalarining xossalarini aniqlash uchun Grinning formulalaridan foydalanamiz. Bu formulalarda garmonik funksiyalarning soha integrali bilan chegaraviy integrallarining bog‘liqligi o‘rganiladi.

tekis soha, esa ning chegarasi bo‘lsin. Matematik analizda Grinning quyidagi formulasi isbotlanadi

.
Bu Grin formulasining davomini keltiramiz.


Agar bo‘lsa, bunday funksiyalar uchun

ayniyat o‘rinli bo‘ladi. Bu ayniyatni soha bo‘yicha integrallaymiz

. (6.1)
Gauss va Ostrogradskiyning


formulasida tashqi normal ekanligi uchun (6.1) formulaning birinchi integralida desak Gauss – Ostragradskiy formulasidan

bo‘lgani uchun quyidagini hosil qilamiz

(6.2)

bo‘lgani uchun (6.2) ni

(6.3)
ko‘rinishda yozamiz. (6.3) formulaga Grinning birinchi formulasi deymiz. (6.3) formulada funksiyalarning o‘rinlarini almashtiramiz, ya’ni


bo‘lsin, natijada

oxirgi tenglikdan (6.3) ni ayiramiz

. (6.4)
(6.4) formulaga Grinning ikkinchi formulasi deymiz.


Grinning ikkinchi formulasidan foydalanib, quyidagi integral tasvir formulasini isbotlaymiz.

Teorema 6.1. Agar chegaralangan sohaning chegarasi bo‘lakli silliq bo‘lib, va - Laplas tenglamasining fundamental echimi bo‘lsa - parametrik nuqta bo’lsa u holda quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli

Isbot. Grinning formulalarini funksiyaning maxsuslikka ega ekanligi uchun qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun sohadan x nuqtaning atrofini (sharni) olib tashlaymiz va sohani hosil qilamiz.

bo‘lgani uchun Grin formulasini sohaga qo‘llaymiz. ning chegarasi va ning chegarasi dan iborat. Shuning uchun

(6.5)

bunda ning nuqtasidagi normal hosiladan iborat. Bunda differensiallash nuqta koordinatalari bo‘yicha olib borilayapti. - fundamental echim bo‘lganligi uchun da

(6.2)
Integral tasvir formulasini bo‘lgandagi limit orqali aniqlaymiz. (6.1) dagi quyidagi hadni qaraymiz


.
Bunda integral ostidagi funksiya da uzluksiz bo‘lganligi uchun o‘rta qiymat formulasidan


(6.3)
tenlikni hosil qilamiz.


Bunda bo‘lganda radiusli sfera sirtining yuzi, bo‘lganda radiusli aylana uzunligidan iborat. Agar radiusi birga teng sfera sirtini bilan belgilasak

sirtda bo‘ladi va

dagi tashqi normal uchun

bo’ladi.

(6.3) tenglikga larning qiymatini qo‘yamiz

Demak bo‘ladi. bo‘lganda sfera x nuqtaga tortiladi va da uzluksiz bo‘lgani uchun bo‘ladi. Shuning uchun

Endi (6.1) tenglikda ga limitga o‘tib, (6.2) ni hisobga olganda

,
yoki

(6.4)
tenglikni hosil qilamiz.


Agar da garmonik bo‘lsa, bo‘ladi. Natijada (6.4) dan

(6.5)
kelib chiqadi.
(6.5) formulaga garmonik funksiyalar uchun integral tasvir formulasi deb aytiladi.
Integral tasvir formulasidan va Grin formulalaridan foydalanib, garmonik funksiyalarning xossalarini keltiramiz.
Xossa 1. Bu xossada quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema 6.2. Agar sohada garmonik funksiya bo‘lsa, u holda bu funksiyadan sirt bo‘yicha olingan normal hosila nolga teng bo‘ladi


(6.6)
Isbot. funksiya da garmonik va da uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lgani uchun Grin formulalarini qo‘llash mumkin. Grinning birinchi formulasida desak,

bo‘ladi. Bu formuladan foydalanib Neyman ichki masalasi echimga ega bo‘lishi uchun funksiya

(6.7)
shartini qanoatlantirishi kerak. (6.7) shartga Neyman masalasini yechimga ega bo’lishi sharti deymiz.