Muhammad al xorazmiy nomidagi toshkent axborot

Xossa 2. Bu xossada quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema 6.2. sohada garmonik funksiya bu sohada cheksiz differensiallanuvchi bo‘ladi.


Isbot. soha chegarasi bo‘lsa, funksiya uchun quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli.

Agar bo‘lsa, bu formuladan integral ostida differensiallash mumkin, chunki integral ostidagi funksiya va uning xosilalar uzluksiz. Shuning uchun cheksiz differensiallanuvchi bo‘ladi.

Teorema isbot bo‘ldi.
Xossa 3. Bu xossada garomnik funksiyalar uchun quyidagi o‘rta qiymat teoremasi isbotlanadi.


Teorema 6.3. funksiya sharda chegaragacha uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiyaning sferadagi o‘rta qiymati sfera markazidagi qiymatiga teng.

Isbot. sharda, yani da bo‘lgani uchun quyidagi integral tasvir formulasi o‘rinli

. (6.8)

sferada bo‘lgani uchun

dagi tashqi normal nuqta bilan tutashtiruvchi normal , bilan bir xil yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun

(6.8) dagi o‘zgarmaslarni tashqariga siqarib quyidagini yozamiz.

.
Sfera bo‘yicha olingan ning integrali nolga tengligi uchun,

bo’ladi.

Bu tenglamaninng chap tomoni o‘zgarmas bo‘lgani uchun limitga o‘tish mumkin

. (6.9)
(6.9) da bo’ladi.
Teorema isbot bo‘ldi.
Xossa 4. Bu xossada garmonik funksiyalar uchun maksimum qiymat prinsipi isbotlanadi.


Teorema 6.5. Agar funksiya

1. sohada garmonik bo‘lsa,

   
   

2. da uzluksiz,

   
   

3. bo‘lsa,
   

u holda bu funksiya o‘zining engn katta va eng kichik qiymatini sohaning chegarasi bo‘lgan da erishadi.

Isbot. funksiyaning da uzluksiz bo‘lgani uchun maksimumga erishadi. Isbotni teskarisidan olib boramiz. Maksimum qiymat ning ichki nuqtasi bo’lib,ga sohaga qarashli bo‘lsin. O‘rta qiymat teoremasidan

da funksiyani dan kichik qiymat qabul qilmasligini isbotlaymiz. Agar dagi biror nuqtadagi qiymat dan kichik bo‘lsin deb faraz qilsak, ya’ni bo‘lsa, ning uzluksizligidan uchun

deb olsak,

bo’lib, biz

qarama – qarshilikga kelamiz. Demak,

ixtiyoriy bo‘lgani uchun da hosil bo‘ladi.

Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsinva nuqtalarni tutashtiruvchi chiziqni deylik. nuqta ning kesishgan nuqtasi bo‘lsin. Yuqoridagi mulohazalarni davom ettirib, shunday radiusli sharni topamizki sharda bo‘ladi. Shunday qilib chekli qadamda biz ni hosil qilamiz. Demak, ekan. Bu faraz 3) shartga qarshi bo‘ldi. Bu qarama – qarshilik teoremani isbotlaydi.

Natija 1. Agar u(x) funksiya da garmonik, da uzluksiz bo‘lib bo’lsa, u holda bo‘ladi.

Isbot. Natija shartidan bo‘ladi dan bo’ladi.
Natija isbot bo‘ldi.


Natija 2. Agar funksiyalar da garmonik bo‘lib, da uzluksiz va bo‘lsa, u holda da bo‘ladi.

Isbot. desak, da garmonik va da uzluksiz bo‘ladi hamda uning maksimumi da erishadi. Shuning uchun

bo’ladi.
Natija isbot bo‘ldi.


Natija 3. Agar funksiyalar da garmonik, da uzluksiz va bo‘lsa, u holda

bo’ladi.
Natija 3 ning Isboti xuddi natija 2 ga o‘xshash isbotlanadi.