Mulohazalar algebrasi. Mulohazalar ustida amallar

5§. IKKILIK QONUNI. AMALLARNING TO’LIQ SISTEMASI.
mulohazalar algebrasining ixtiyoriy keltirilgan formulasi bo’lsin, ya’ni bu formulada faqatgina amallari qatnashgan bo’lsin. Oldingi paragrafda mulohazalar algebrasining ixtiyoriy formulasini keltirilgan formula ko’rinishiga teng kuchli shakl almashtirishlar yordamida keltirish mumkinligini isbotlangan edi. Shuning uchun yuqoridagi formula mulohazalar algebrasining ixtiyoriy formulasi deb qaralishi mumkin.
5.1-ta’rif. Agar va formulalar bir-biridan ga almashtirish yordamida hosil qilinsa, u holda bunday formulalar o’zaro qo’shma formulalar deyiladi.
5.1-misol. formula formulaga qo’shma formuladir.
5.2-ta’rif. formulaga kirgan barcha mantiqiy amallar soni uning rangi deyiladi va bilan belgilanadi; bunda propozitsional o’zgaruvchining rangi 0 ga teng deb hisoblanadi.
5.2-misol. , chunki bu formulaga 5 ta mantiqiy amal kirgan.
5.1-teorema. va formulalar o’zaro qo’shma bo’lib, ular tarkibiga kirgan barcha propozitsional o’zgaruvchilar bo’lsa, u holda
(1)
Isbot. Agar bo’lsa, u holda yoki ni bilan almashtirsak, hosil bo’ladi.
Faraz qilaylik, rangi bo’lgan formulalar uchun (1) o’rinli bo’lsin. U holda rangi bo’lgan formula uchun ham (1) munosabat o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. keltirilgan formula bo’lganligi uchun u quyidagi ko’rinishlarga ega bo’lishi mumkin:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   , va bo’lganidan, farazga asosan
   

(2)
(3)
Ravshanki, va formulalarga qo’shma bo’lgan formulalar mos ravishda va bo’ladi. va bo’lganligidan
va hosil bo’ladi. (2) va (3) ni e’tiborga olsak, 4.1-teorema natijalariga asosan


munosabatlarni hosil qilamiz, ya’ni 2) va 3) hollar uchun
hosil bo’ladi.
Endi bo’lsin. U holda

bo’lgani uchun, farazga asosan Demak, yoki bo’ladi. bo’lgani uchun (5.4) ga asosan kelib chiqadi.
5.1-teoremaga asoslangan holda ikkilik qonuni deb ataluvchi quyidagi teoremani isbotlash mumkin.