Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala. Bir jinsli bo’lmagan quyidagi
₍₁₃₎
chegaraviy masalani qaraymiz, bu yerda kesmada musbat va uzluksiz differensiallanuvchi funksiya, va kesmada uzluksiz funksiyalar.
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi , oraliqda ikkinchi tartibgacha hosilaga ega bo’lgan oraliqda tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga (13) chegaraviy masalaning yechimi deyiladi.
(13) masala chiziqli bo’lgani uchun , agar bu masalaning yechimi mavjud bo’lsa u yagona bo’ladi.
Aytaylik (13) masaladagi tenglamaning o’ng tomoniga nisbatan maxsus shartlar bo’yicha masalaning yechimi mavjud bo’lsin. Biz (13) tenglamaning o’ng tomonidagi funksiya qandaydir maxkavlangan nuqtaning faqatgina atrofida noldan farqli bo’lsin: Ya’ni
(14)
va shu bilan birga bo’lib,
(15) bo’lsin. Bu masalaning yechimini bilan belgilaymiz. (13) tenglamani oraliqda berilgan funksiya bo’yicha integrallaymiz. Natijada
(16) tenglikni hosil qilamiz.
Endi (16) tenglik har qanday uchun o’rinli deb hisoblab (16) tenglikda da limitga o’tamiz. Bu holda
(17)
Biz
(18)
limit funksiya mavjud va kesmada uzluksiz deb faraz qilamiz. U holda (16) tenglikda da limitga o’tib, funksiya nuqtada birinchi tur uzilishga ega ekanligini ko’ramiz va shu bilan birga hosilaning nuqtaning chap va o’ng tomonli limitlari orasida
(19) munosabat o’rinli ekanligini ko’ramiz.
Yuqoridagi kuzatishlar va hisoblashlardan quyidagi xulosaga kelamiz.
Agar funksiya mavjud bo’lsa, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   ning funksiyasi sifatida va oraliqlarda funksiya (13) ning tenglamasini qanoatlantiradi;
   
2. 
   funksiya (13) ning chegaraviy shartlarini qanoatlantiradi;
   
3. 
   funksiya kesmada uzluksiz va uning birinchi tartibli hosilasi nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo’lib limit qiymatlarining sakrash kattaligi
   

(20)
ga teng.
1),2) va 3) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga (13) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deyiladi.
Grin funksiyasining eng katta ahamiyati shundaki, (13) dagi tenglamaning o’ng tomonidagi ning ixtiyoriy qiymatlarida (13) chegaraviy masalaning yechimi Grin funksiyasi yordamida ifodalanishi mumkin.
Haqiqatdan ham (13) chegaraviy masalaning yechimi va bu masalaning Grin funksiyasi mavjud bo’lsin. va funksiyalar va oraliqlarda uzluksiz differensiallanuvchi hamda ikkinchi tartibli hosilalarga ega bo’lgani uchun bu funksiyalarga
(10):
Grin formulasini tadbiq qilamiz. Natijada
(21)
va funksiyalar (13) ning bir jinsli chegaraviy shartlarini qanoatlantirganligi sababli, bu funksiyalar va nuqtalarda nolga teng bo’ladi. (21) tenglikda da limitga o’tib Grin funksiyasining ta’rifiga ko’ra
(22) tenglikni hosil qilamiz. Bu esa yuqoridagi fikrimizni tasdiqlaydi.
Endi (13) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi mavjudligini va bu funksiyani hisoblash algoritmini bayon qilamiz.
(13) ning chap chegaraviy shartini qanoatlantiruvchi bir jinsli tenglamasining yechimini bilan belgilaymiz, ya’ni

Yuqorida koeffisiyentlaga nisbatan qabul qilingan kelishuvlarga asosan funksiyani (13) tenglamaning
(23)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi sifatida qurish mumkin, bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmas son.
Yuqorida qaqbul qilinga kelishuvlarga binoan bir jinsli masalaning faqat trivial yechimidan tashqari boshqa yechimlari qanoatlantirmaganligi uchun funksiya o’ng chegaraviy shartni qanoatlantirmaydi. Shuning uchun
(24)
Xuddi shu kabi bir jinsli tenglamaning yechimi bo’ladigan faqat o’ng chegaraviy shartni
(25)
qanoatlantiruvchi (13) tenglamaning yechimini bilan belgilaymiz.
Bu usul bilan qurilgan va funksiyalar chiziqli erkli ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Haqiqatdan ham va funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda
(26)
bo’lib, funksiya o’ng chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi , bu esa (25) ga zid. Demak, biz (13) bir jinsli tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimlarini qurdik, ularning biri faqat chap chegaraviy shartlarni, ikkinchisi esa faqat o’ng chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Grin funksiyasini
(27)
ko’rinishda izlaymiz.
(27) funksiya chegaraviy shartlarni va bir jinsli (13) tenglamani bo’lganda qanoatlantiradi. Grin funksiyasinining uzluksizlik shartlarini va birinchi tartibli hosilasining sakrashini hisobga olib, o’zgarmas sonlar uchun
(28)
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistemaning determinanti chiziqli erkli va funksiyalarning Vronskiy determinant bo’lib, (12) ga ko’ra noldan farqli va
, (29)
bu yerda va yechimlarni normarlashtirish orqali aniqlanadi. o’zgarmas sonlarning (28) sistemadan qiymatlarini topib, (13) chegaraviy masalaning Grin funksiyasini hosil qilamiz:


(30)
bu yerda .
Biz yuqorida bayon qilinganlardan (13) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lganda (13) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi mavjudligining isbotini beradi.
Eslatma. Grin funksiyasining (30) dagi yaqqol tasviridan uning argumentlari bo’yicha simmetrikligi, ya’ni
(31)
kelib chiqadi.
Endi dastlabki chegaraviy masala yechimi mavjudligi yaqidagi savollarga to’xtalamiz. Quyidagi teorema o’rinli.
1-teorema. Agar bir jinsli (13) chegaraviy masala faqat aynan nolga teng yechimga ega bo;lsa, u holda kesmada uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy funksiya uchun bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalaning yechimi mavjud va u
(32)
formula bilan ifodalanadi.
Bu teoremani isbotlash uchun (32) formula bilan berilgan funksiya (13) chegaraviy masalaning barcha shartlarini qanoatlantirishini tekshirish kifoya.
Endi bir jinsli (13) chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimga ega bo’lgan holni qaraymiz. Keying hisoblashlar murakkab bo’lmasligi uchun faqat birinchi tur chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi chegaraviy masalani qaraymiz:
(33)
Shartga ko’ra mos bir jinsli chegaraviy masalaning yechimi bo’lgan yechimi mavjud:
(34)


funksiyani xos qiymatga mos
(35)
xos qiymatlar masalasining yechimi sifatida qarash mumkin. Kelgusida bir jinsli (34) chegaraviy masala funksiyadan tashqari unga chiqli bog’liq boshqa yechimlarga ega emas deb faraz qilamiz. funksiyani shunday normallashtiramizki
(36)
_tenglik bajarilsin.
Bundan tashqari (33) chegaraviy masalaning yechimi mavjud bo’lsa, u holda tenglamaning o’ng qismidagi funksiya kesmada funksiyaga orthogonal bo’lishi lozimligini qayd qilamiz. Haqiqatdan ham, (10) Grin formulasini va funksiyalarga tadbiq etib
(37) tenglikni hosil qilamiz. Bundan bizning tasdig’imiz o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
Boshqacha aytilganda quyidagi tasdiq o’rinli:
1-lemma. (33) chegaraviy masala yechilishining zaruriy sharti (33) tenglamaning o’ng qismi mos ravishda (34) bir jinsli chegaraviy masalaning ayniy noldan farqli yechimiga orthogonal bo’lishi zarur.
Kelgusida (33) chegaraviy masala yechilishining zaruriy sharti bajariladi deb hisoblaymiz. Bu holda chegaraviy masalaning Grin funksiyasi mavjud va bu funksiya ta’riflanishiga asosan tuzilishi mumkinligini ko’rsatamiz.
Agar (13) chegaraviy masalaning yechimi bo’lsa, u holda
(38) ko’rinishdagi har qaqnday funksiya (13) chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi, bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas son, chunki (13) chegaraviy masala -ga mos bir jinsli masalaning yechimi. Shuning uchun chegaraviy masalaning yagona yechimini aniqlash uchun , uni qo’shimcha shartlarga bo’sundirish lozim. Bunday qo’shimcha shartlardan biri izlanayotgan yechimning xos funksiyaga ortogonalligidir, ya’ni
(39)
(33) va (34) masalalar yagona yechimga ega bo’lishini ko’rsatamiz. Masalaning chiziqli ekanligidan mos bir jinsli masala faqat aynan nolga teng yechimga ega bo’lishini ko’rsatish yetarli.