Mundarija Kirish Asosiy qism Iqtisodiy masalalarning optimal yechimini topishning elementar usullari

Mustaqil ishlash uchun topshiriq. Berilgan jadvalga mos masala uchun optimal rejani aniqlang:

	C		D
A		1		3	15
B		2		3	15
	10		20

	C		D
A		1		3	15
B		2		5	15
	20		10

2-masala. Ikkita omborda homashyo bor va uni uchta magazinga etkazish kerak. 1-omborda 10000ta, 2-omborda 5000ta hom ashyo mavjud. 1-magazinga 4000, 2-magazinga 8000 va 3-magazinga 3000 dona hom ashyo etlazish zarur. Bir dona mahsulotni omborlardan magazinlarga etkazish jadvali quyidagicha:

	1-magazin	2-magazin	3-magazin
1-ombor	3 so’m	3 so’m	2 so’m
2-ombor	6 so’m	5 so’m	1 so’m

Omborlardan magazinlarga mahsulot etkazishni shunday rejalashtiringki yo’l harajatlari minimal bo’lsin.

Masalaning yechilishi. 1-ombrdan 1-magazinga ta, 2-magazinga ta mahsulot yetkazilsin. U holda 1-ombordan 3- magazinga dona mahsulot yetkaziladi. 2-ombordan 1-, 2- va 3-magazinlarga mos ravishda va dona mahsulot olib boriladi:

	1-m		2-m		3-m
1-o		3		3			2		10000
2-o		6		5			1		5000
3-o	4000		8000		3000

Yo’l harajatlarini hisoblaymiz:

Yuqoridagi shartlarni hisobga olsak va o’zqaruvchilar uchun

tengsizliklar kelib chiqadi. U holda

Shunday qilib funksiya va bo’lganda eng kichik qiymatga erishar ekan. Bundan optimal reja jadvali quyidagi ko’rinishni oladi:

	1-m		2-m			3-m
1-o	4000	3	6000	3	0		2	10000
2-o	0	6	2000	5	3000		1	5000
3-o	4000		8000			3000

Demak barja mahsulotni yetkazish uchun minimal harajat 43000 so’mni tashkil etadi:

3-masala. Ikki turdagi va mahsulotni tayyorlash jarayonida birinchidan tokar va chilangar stanoklari hizmatidan foydalaniladi, ikkinchidan tarkibida po’lat va rangli metal bo’lgan ikki hil qazilmadan foydalaniladi. Bir donamahsulotni ishlab chiqarish uchun zarur bo’lgan resurslar va resurslarning zavoddagi umumiy zahirasi haqidagi ma’lumot quydagi jadvalda keltirilgan:

Resurs nomi	O’lchov	1ta mahsulot uchun sarf		Resurslar zahirasi
Po’lat	kg	10	70		320
Rangli metal	kg	20	50		420
Tokar stanogi	soat	300	400		6200
Chilangar stanogi	soat	200	100		3400
1ta mahsulot foydasi	so’m	3000	8000

Zavod bir dona mahsulotni sotib 3000 so’m, mahsulotni sotib 8000 so’m foyda oladi. Zavod ishini shunday rejalashtiringki, birinchidan chilangar stanogi hizmatidan to’la foydalanilsin, ikkinchidan zavod maksimal foyda ko’rsin.

Yechish. Msalaning matematik modelini quraylik. Zavod mahsulotdan dona, mahsultdan dona ishlab chiqarsin. U holda po’lat sarfi ga, rangli metal sarfi ga teng. Po’lat va ranglimetal zahirasi mos ravishda 320 va 420kg bo’lgani uchun, sarf miqdori zahiradan ormasligi kerak:


Mahsulotlarni ishlab chiqarish jarayonida tokar stanogi soat ishlatiladi va ishlash vaqti 6200coatdan ortmasligi kerak:

Masala shartiga ko’ra chilangar stanogi hizmatidan to’la foydalanish kerak:

Shunday qilib masalaning chegaralar sistemasi quydagi ko’rinishni oladi:

Mahsulotlarni sotishdan olinadigan foyda miqdorini

funksiya ifodalaydi.
(3) sistemaning tenglamasidan ni orqali ifodalab olaylik va sistemaning qolgan tengsialiklari va funksiyadagi o’rniga qo’yamiz:


Demak qaralayotgan iqtisodiy masalani yechish uchun funksiyaning kesmadagi eng katta qiymatini aniqlashimiz kerak. Sodda mulohazalar yuritib 000 ekanligini aniqlay olamiz.

. Iqtisodiy masalalarning madematik modeli
Bu mavzuda iqtisodiy masalalarni matematik modelini tuzish bilan shug’ullanamiz. Bunda masalalarning modeli chiziqli dasturlash masalasiga aylanadi. Chiziqli dasturlash masalasi haqida tushuncha beriladi.
1-masala. Uchta (I, II, III) omborda mos ravishda 90, 70, 50 tonna un bor. Unlarni to’rtta (1, 2, 3, 4) do’konga mos ravishda 80, 60, 40, 30 tonnadan yetkazish kerak. 1 tonna unni 1, 2, 3, 4 do’konlarga olib borish uchun I ombordan mos ravishda 2, 1, 3, 2 so’m, II ombordan 2, 3, 3, 1 so’m, III ombordan 3, 3, 2, 1 sarflanadi. Un yetkazishni optimal rejasini tuzing.
Keltirilgan masalaning matematik modelini tuzish uchun, masala shartlarini tablitsasini keltiramiz:

	1		2		3		4
I		2		1		3		2	90
II		2		3		3		1	70
III		3		3		2		1	50
	80		60		40		30

-ombordan -do’konga yetkaziladigan un tonnasi miqdorini – orqali belgilaylik, masalan, II-ombordan 3-do’konga tonna un yetkaziladi. U holda I ombordan do’konlarga yetkaziladigan un miqdori (tonnada) quydagicha ifodalanadi:

Bu yig’indi 90 ga teng bo’lishi zarur:

II va III omborlar uchun shunga o’hshash tengliklar hosil qilamiz:


Har bir do’konga yetib kelishi zarur bo’lgan un miqdorini masala shartiga ko’ra ifodalaymiz:




Alabatta o’zgaruchilarni nomanfiy deb hisoblash kerak, aks holda do’kondan omborga un tashish holati yuzaga keladi. Shunday qilib o’zgaruvchilar quidagi tenglamalar va tengsizliklar sistemasini qanoatlantirishi kerak:

(1) sistema berildan masalaning chegaralar sistemasi deb ataladi. Un tashish uchun sarflanadigan barcha harajatlarni orqali belgilaylik:


funksiya berilgan masalaning maqsad funksiyasi deb ataladi.
(1) sistemaning har bir yechimi masalaning biror variantdagi yechimidan iborat va u reja deb ataladi.
Chiziqli dasturlash masalasi. Shunday rejani topingki maqsad funksiyaning bu rejaga mos qiymati minimal bo’lsin. Bunday rejani optimal reja deb ataymiz.
Biz qarab chiqqan masala transport masalasi deb ataladi. Masalada umumiy holda yuk yetkazib beruvchilar va qabul qiluvchilar soni ihtiyoriy bo’ladi. O’rganilagan masalada yuk yetkazib beruvchilardagi jami yuk miqdori (210 tonna) va qabul qiluvchilar talab qilgan jami yuk miqdori (210 tonna) teng. Bunday masala yopiq modelli masala yoki balanslashtirilgan transport masalasi deb ataladi.
Balanslashtirilgan transport masalasining o’ziga hos jihatlari chegaralar sistemasi faqat tenglamalardan iborat va maqsad funksiyani minimallashtirish talab etilishidir.
Agar transport masalasida yuk yetkazib beruvchilardagi jami yuk miqdori va qabul qiluvchilar talab qilgan jami yuk miqdori teng bo’lmasa, bunday masala ochiq modelli masala yoki balanslashtirilmagan transport masalasi deb ataladi.
Balanslashtirilmagan transport masalasiga misol keltiramiz.
2-masala. va punktlarda g’isht zavodlari, va punktlarda tuproq qazib olinadigan kar’erlar joylashgan. Zazodlarning tuproqqa bo’lgan ehtiyoji va kar’erlarda tuproq qazib chiqarish imkoniyati hamda 1 tonna tuproqni kar’erlardan zavodlarga yetkazish narhlari haqidagi ma’lumot quyidagi tablitsada keltirlilgan:

		2		6		70
		5		3		30
	40		50

Zavodlarga tuproq yetkazishni shunday rejalashtiringki, yo’l harajatlari yig’indisi minimal bo’lsin.

Masalaning matematik modeleni tuzamiz. Zavodalarning tuproqqa bo’lgan ehtiyoji (90t) kar’erlarning tuproq yetkazib berish imkoniyatidan (100t) kam. Demak masala balanslashtirilmagan transport masalasidan unga mos tuziladiga matemadik model ochiq modeldan iborat bo’ladi.
kar’erdan zavodga yetkaziladiga tuproq tonnasini , kar’erdan zavodga , kar’erdan zavodga , kar’erdan zavodga orqali belgilaylik. zavodga 40 tonna tuproq yetkazilishi kerak:

zavodga 50 tonna tuproq yetkazilishi kerak:

kar’erdan 30 tonnagacha tuproq jo’natilishi mumkin:

kar’erdan 70 tonnagacha tuproq jo’natilishi mumkin:

Shunday qilib masalaning chegaralar sistemasi quyidagi ko’rinishni oladi:

Tuproq yetkazish harajatlari masalaning maqsad funksiyasini aniqlaydi

Demak 2-masalaning madematik ifodasi (3) sistemanining yechimlari orasidan (4) funksiyaga minimal qiymat beruvchi yechimni topishdan iborat. Boshqacha aytganda (3)-(4) chiziqli dasturlash masalasidan iborat.
Balanslashtirlilmagan transport masalasining o’ziga hos jihatlari chegaralar sistemasi tenglama va tengsizliklardan iborat va maqsad funksiyani minimallashtirish talab etilishidir.
Ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasi har bir zamonda muhim masala bo’lib hisoblangan. Bunda mavjud zahirani ishga solib maksimal foida olish masalasi haqida zo’z boradi. Ishlab chiqarishga oid soda bir misolni ko’rib chiqamiz.
3-masala. Zavod ikki hil (I va II) mahsulotni ishlab chiqarishda to’rtta (1, 2, 3, 4) dastgoh hizmatidan foydalanadi. Har bir mahsulotga dastgohlarda ketma-ket ishlov beriladi (ya’ni bir vaqtda ikkita mahsulotga bitta dasthohda ishlov berlilmaydi). 1- mashina sutkada 18 soat, 2-mashina 12 soat, 3-mashina 12 soat, 4-mashina 9 soat ishlay oladi. Mahsulotlarga mashinalarda qancha vaqt ishlov berilishi va 1dona mahsulotni sotishdan olinadigan foyda haqidagi ma’lumotlar quyidagi jadvalda keltirilgan:

	1-dast	2-dast	3-dast	4-dast	Foyda
I	1	0,5	1	0	4 so’m
II	1	1	0	1	6 so’m
Dastgohlarning ishlash vaqti (soat)	18	12	12	9

Zavodning kunlik ishini shunday rejalashtiringki topilgan foyda maksimal bo’lsin.

Masalaning matematik modelini uzamiz. Zavodda I tur mahsulotni ishlab chiqarish sonini orqali, II tur mahsulotni ishlab chiqarish sonini esa orqali belgilaylik. U holda (1, 2, 3, 4) dastgohlarni ishlatish mumkin bo’lgan vaqtlarni (18, 12, 12, 9) hisobga olib quydagi chegaralar sistemasini hosil qilamiz:

Umumiy foydani orqali belgilasak:

(5)-(6) chiziqli dasturlash masalasi qaralayotgan ishlab chiqarish masalasining matematik modelidan iborat.
Umumiy holda ishlab chiqarish masalasida dastgohlar soni va mahsulotlar soni ihtiyoriy bo’lishi mumkin. Ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasining o’ziga hos jihatlari chegaralar sistemasi faqat tengsizliklardan iborat va maqsad funksiyani maksimallashtirish talab etilishidir.
Chiziqli dasturlash masalasini yechishga keltiriladigan tipik masalalardan yana biri aralashma tarkibini tuzish masalasidir. Shunday masalalardan birini ko’rib chiqamiz.
4-masala. Aralashma tarkibida kimyoviy moddalar bo’lishi zarur. Bunda moddadan kamida 6 birlik, moddadan kamida 8 birlik, moddadan kamida 12 birlik mavjud bo’lishi kerak. kimyoviy moddalar I, II, III mahsulotlar tarkibida bor bo’lib konsentratsiyasi quyidagi jadvalda berilgan:

	Kimyoviy moddalar
Mahsulotlar
I	2	1	3
II	1	2	4
III	3	1,5	2

Bir dona I, II, va III mahsulot narhi mos ravishda 2, 3 va 2,5 so’m turadi. Aralashma tarkibini tuzish kerakki, ishlatiladigan mahsulotlar narhi yigi’indisi minimal bo’lsin.

Masalaning matematik modelini tuzamiz. Aralashmaga qo’shiladigan I tur mahsulot sonini orqali, II tur mahsulot sonini orqali, III tur mahsulot sonini orqali belgilaylik. U holda aralashmadagi modda birligi miqdori quydagicha ifodalanadi:

Masala shartiga ko’ra aralashmada modda kamida 6 birlik mavjud bo’lishi kerak:

va moddalar uchun shunga o’hshash tengsizliklarni hosil qilamiz:


Aralashma tayorlash uchun ishlatilgan pul miqdorini orqali belgilasak:

Hulas masalaning matematik moeli quyidagi ko’rinishni oldi:

(8) sistemani yechimlari orasidan shunday yechimni aniqlangki (7) funksiyaning unga mos qiymati minimal bo’lsin.
Aralashma tarkibini tuzish masalasining o’ziga hos jihatlari chegaralar sistemasi faqat tengsizliklardan iborat va maqsad funksiyani minimallashtirish talab etilishidir.
Chiziqli dasturlash masalasi umumiy holda qo’yilishini keltirishdan avval matematik dasturlash masalasini kiritib olamiz.
Ta’rif. o’zgaruvchili funksiyani to’plamda minimallashtirish masalasi – matematik dasturlash masalasi deyiladi. Bunda maqsad funksiya, – rejalar to’plami deb ataladi.
Matematik dasturlash masalasining codda hususiy holi chiziqli dasturlash masalasidir. Bunda maqsad funksiya

chiziqli ko’rinishda bo’lib, to’plam ham chiziqli chegaralar sistemasi bilan beriladi. Chiziqli dasturlash masalasining aniq ifodalanishini keltiraylik. Ushbu



cheklanishlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar orasidan shunday nuqtani topingki (9) funksiya bu nuqtada minimal qiymatga erishsin va bu qiymatni aniqlang.
Ta’kidlash joizki chiziqli dasturlash masalasining shartlari (11) munosabatda keltirilgan tengsizlikka teskari bo’lishi ham mumkin, lekin bu holda uni -1 ga ko’paytirib yana (11) ko’rinishga keltiramiz. Agar chiziqli dasturlash masalasining barcha shartlari tenglik bilan berilgan bo’lsa, ya’ni bo’lsa – kanonik ko’rinishda berilgan chiziqli dastulash masalasi deyiladi. Ya’ni kanonik korinishdagi chiziqli dasturlash masalasining chegaralar sistemasi


ko’rinishga ega boladi.
Ihtiyoriy chiziqli dasturlash masalasini kanonik ko’rinishga keltirish mumkin. Haqiqatdan ham (11) tengsizliklarda qo’shimcha o’zgaruvchilar kiritib

ko’rinishdai tengliklarga o’tib olishimiz mumkin.
Misol sifatida 3-masalada hosil qilingan chiziqli dasturlash masalasini olaylik:



(13) sistemadagi tengsizliklarni tengliklarga aylantirish uchun yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz. Natijada (13)-(14) chegaralar sistemasi quyidagi ko’rinishni oladi


Qo’shilgan o’zgaruvchilar amaliy jihatdan (1,2,3,4) dastgohlarning mavjud imkoniyatida ishlatilmay qolgan vaqti miqdorinini bildiradi.