Muqimov Asqar Hamzayevich
II BOB CHEGIRMALAR NAZARIYASINING EGRI CHIZIQLI
Download 317.37 Kb.
|
Akademik Kitap Eleştirisi Nedir, Nasıl Yapılır
|
II BOB
CHEGIRMALAR NAZARIYASINING EGRI CHIZIQLI INTEGLLARNI HISOBLASHGA TADBIQLARI KASR-RATSIONAL HAMDA TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING KO’PAYTMASIDAN IBORAT BO’LGAN FUNKSIYALARNING INTEGRALINI HISOBLASH. Integrallar nazariyasida xosmas integrallar, ularning yaqinlashishi va ularni hisoblash masalasi muhimdir. Ana shunday integrallardan biri kasr-ratsional hamda trigonometrik funksiyalarning ko‟paytmasidan iborat bo‟lgan funksiyalarning integralini hisoblash talab qilingan bo‟lsin. Bunday integralni hisoblash usulini aniq misolda ko‟raylik. Aytaylik, Laplas integrali Ґ cos xdx J = т 0 x 2 + a2 f (z )= eiz x 2 + a2 funksiyani va CR yarim aylanani olamiz. (2-rasm) Ma‟lumki g (z ) = 1 funksiya C da g (z ) < 1 x 2 + a 2 R R 2 - a2 tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan g (z ) ning R ® Ґ da nolga tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. U holda Jordan lemmasiga ko‟ra R ® Ґ da т f (z )dz = C 2 т g (z )eizdz ® 0 Cn т x 2 + a2 + т x 2 + a2 = 2pi 2ai - R CR ga ega bo‟lamiz, chunki integrallash chizig‟i ichida yotuvchi yagona maxsus nuqta z = ai qaralayotgan f (z ) funksiya uchun 1-tartibli qutb nuqta bo‟lganligi sababli 1-tartibli qutb nuqtadagi chegirmani hisoblash formulasi res f (z ) = j lim (z ) (z - a ) = lim
j (a ) = z = a z ® a y (z ) z ® a y (z )- j (a ) y ' (a ) (z - a ) ga asosan yuqoridagi natijaga kelamiz. Endi R ® Ґ da limitga o‟tsak Ґ eixdx p x + a т 2 2 = - Ґ aea topamiz.
0 т x 2 + a2 = p 2aea TARKIBIDA KO’RSATKICHLI FUNKSIYA BO’LGAN INTEGRALLARNI HISOBLASH. Misol-2.2.1. S. Puasson integrali Ґ
0 bu yerda a,b О R . Yordamchi funksiya f (z ) = e- az2 ni qaraymiz. Bu yordamchi funksional va u
erf Ґ = +Ґ 2 p т e- x2dx = 1 0 Ekanligiga asosan hisoblanadi. Yordamchi funksiyamiz y = h to‟g‟ri chiziqda 2 e- (a(x + ih)) = eah2 Чe- ax2 (cos 2ahx - i sin 2ahx ) ko‟rinishga ega bo‟lib, uning haqiqiy qismi h = b (2 + a )bo‟lganda biz hisoblamoqchi bo‟layotgan integral ostidagi funksiyadan o‟zgarmas ko‟paytuvchiga farq qiladi. Shunga asosan integrallash konturini quyidagicha olamiz (3-rasm). IV - R I R 3-rasm
Koshi integraliga ko‟ra т e- x2dx + т e- x2dx + т e- x2dx + т e- x2dx = 0 (*) R т = т e- ax2dx = 2 2 тe- t2dt (2.2.1) I - R 0 b2 R т =e- 4a т e- ax 2e- ibxdx (2.2.2) II - R bo‟lib, x = ± R bo‟lgan I va II kesmalarda e- az 2 = e- a (R 2 - y 2 )Ј b2 e 4ae- aR 2 bo‟ladi. Shuning uchun agar a > 0bo‟lsa R ® Ґ da (2.2.1) va (2.2.2) integrallar nolga intiladi. Yuqoridagi (*) integralda R ® Ґ da limitga o‟tib, b2 Ґ p -a e 4a тe- ax 2e- bxdx = 0 - Ґ ekanini topamiz. Bu tenglikdan haqiqiy qismlarini tenglab natijani hosil qilamiz: Ґ - b2 2 тe- ax2cosbxdx = 1 0 pe 4a ,a > 0 aMisol-2.2.2. A. Eyler integrallarini qaraylik: Ґ
0 cos x 2dx va J 2 Ґ
Bu integrallarni hisoblashda yordamchi funksiyani f (z )= eiz 2 ko‟rinishda tanlaymiz. Integrallash konturini esa quyidagicha olamiz. (4-rasm). R C konturda z 2 = 4-rasm h almashtirishdan keyin т т f (z)dz = 1 2 eihdhR CR C 2 2 ga ega bo‟lamiz, bu yerdaC R bilan R radiusli aylananing to‟rtdan bir qismini OA ga z = x OB ga x = z desak, Koshi teoremasiga ko‟ra R тeix2dx + 0 т eiz2dz + CR 0 тe- t2dt = 0 R Bu yerda R ® Ґ limitga o‟tib va erf Ґ = 1 ekanidan foydalanib, Ґ 2 тeix2dx = 0 ni topamiz. Bu tenglikda haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib: Ґ Ґ 2 2 Ґ Ґ тeix2dx = т cos x - i sin x dx = т cos x 2dx + i т sin x 2dx = p 2 2 0 0 0 0 ni hosil qilamiz. Ma‟lumki, Ґ т cos x 2dx va 0 Ґ т sin x 2dx 0 bu integrallar quyidagiga teng: Ґ Ґ т cos x 2dx = т sin x 2dx = (**) 0 0 Bu integrallar quyidagi maxsus funksiyalarni aniqlaydi: x S (x ) = т sin t x dt,C (x ) = т cos t dt 0 0 Haqiqatan ham, t = t 2 almashtirish qilsak, natijada S (x ) = sin t 2dt ,C (x ) = cos t 2dt larni hosil qilamiz. Endi (**) tenglamalarni S (Ґ )= C (Ґ )= 1 2 ko‟rinishida ifodalash mumkin. Bu integrallar birinchi bo‟lib 1781-yilda Eyler tomonidan hisoblangan. TARKIBIDA KO’P QIYMATLI FUNKSIYALAR BO’LGAN INTEGRALLARNI HISOBLASH Kompleks argumentli funksiyalar nazariyasida golomorf funksiyaga teskari bo‟lgan funksiyani o‟rganish masalasi ham muhim o‟rin tutadi. Aksariyat hollarda bunday funksiyalar bir qiymatli bo‟lmaydi. Argumentning bitta qiymatiga bir nechta (ba‟zi hollarda cheksiz ko‟p) kompleks son mos qo‟yiladi. Bunday funksiyalarni qat‟iy matematik asosda berish uchun kompleks analizda Riman sirtlari kiritiladi. Ana shunday funksiyalardan biri funksiyasidir. w = ln z Integral ostidagi funksiya tarkibida ko‟p qiymatli funksiyalar qatnashgan integrallarni hisoblashda ham chegirmalar nazariyasidan foydalanish ancha qulaydir. Ґ Download 317.37 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|