Muqimov Asqar Hamzayevich


Download 317.37 Kb.
bet5/8
Sana18.03.2023
Hajmi317.37 Kb.
#1280192
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Akademik Kitap Eleştirisi Nedir, Nasıl Yapılır

Tеorеma-1.1.4.
f (z)
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasi



uning bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo‟lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1.1.7) da z-a ayirmasi manfiy darajali hadlari qatnashmasligi zarur va еtarli.

Tеorеma-1.1.5.
f (z)
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasi



uning qutb nuqtasi bo‟lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1.1.7) da z-a ayirmaning manfiy darajali hadlaridan chеkli sondagisining bo‟lishi zarur va yеtarli.



Tеorеma-1.1.6.
f (z)
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasi



uning o‟ta (muxim) maxsus nuqtasi bo‟lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1.1.7) da z-a ayirmaning manfiy darajali hadlaridan chеksiz ko‟p sondagisining bo‟lishi zarur va yеtarli.



Faraz qilaylik,
f (z) funksiya
K
(1.1.8)

sohada golomorf bo‟lib, a nuqta bu funksiya yakkalanuvchi maxsus nuqtasi



bo‟lsin. U holda
f (z) funksiya K da ushbu Loran qatori

Ґ Ґ


f (z ) = е c (z - a)n = е c (z - a)n + c
(z -
a)- 1 +

n n - 1
n = - Ґ n = 0



+ c- 2(z -
a)- 2 +
... + c- n (z -
a)- n
+ ...



ni

aylana bo‟yicha hadlab intеgrallash mumkin:





Ґ
т f (z )dz = е
cn т (z -
n
a) dz
+ c- 1
т (z -
a)- 1dz +

g n = 0 g g

- n
r r r

+ c- 2
т (z -
gr
a)- 2dz +c
т (z -
g
a)- n dz +
...


Bu yеrda gr
da musbat yo‟nalish olgan.

Ma'lumki,



т (z -


m
a) dz =
мп0,


п
н
agar m
№- 1bo'lsa,


п
2pi,
gr о
agar

m №1bo'lsa


bo‟ladi. Shuni e'tiborga olib

ya'ni



т f (z)dz
gr


=C - 1 Ч2pi




bo‟lishini topamiz.
Ta'rif-1.1.20. Ushbu
1 2pi

т
gr
f (z )dz =
c- 1



т
1 2pi
f (z )dz

miqdor, ya'ni


gr


f (z)funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasidagi


C - 1

koeffitsеnti



f (z)
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuqtasidagi chеgirmasi dеyiladi va


res f (z )
z = a
kabi bеlgilanadi:


res f (z ) =
z = a
1 2pi

т
f (z )dz , (1.1.9)

gr

(res–frantsuzcha Residn so‟zining qisqacha yozilishi bo‟lib, u “chеgirma” dеgan ma'noni anglatadi).


Misol-1.1.1 Ushbu



f (x ) =

funksiyani qaraylik. Bu funksiya


sin z z
z = 0

nuqtaning o‟yilgan atrofi




z da golomorf va uning uchun
z = 0
nuqta yakkalangan

maxsus nuqta bo‟ladi. Bu funksiyaning



:0 z
z

dagi Loran qatori

sin z z 2 z 4


= 1 + + +

z 3! 5!
...

bo‟ladi. Ravshanki, bu holda


C - 1 = 0

bo‟ladi. Dеmak,




f (x ) =
sin z z

funksiyaning z = 0 nuqtadagi chеgirmasi



res f (z) =
res sin z = 0



bo‟ladi.
z = 0
z = 0 z

Endi funksiyaning Ґ dagi chеgirmasi tushunchasini kеltiramiz.

Aytaylik, f (z)
funksiya {z ОC
:0 <

z < R }

sohada golomorf va





a = Ґ nuqta uning uchun yakkalangan maxsus nuqta bo‟lsin.
Ta'rif-1.1.21. Ushbu




т

g
1 2pi
f (z )dz

miqdor, ya'ni




f (z)
-
R
funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1.1.7) dagi


C - 1

koeffitsiеntni manfiy ishora bilan olingan qiymati
f (z)
funksiyaning


yakkalangan maxsus a = Ґ nuqtadagi chеgirmasi dеyiladi va



т
bеlgilanadi:
res f (z )
z = Ґ
kabi


res f (z ) =
z
1 2pi
f (z )dz


+

c z
Yuqoridagidеk, qatorini


f (z)
gR


funksiyaning z

dagi Loran




f (z) =
c0 +
c z - 1 +
c z - 2 +
... +

- n ...



- 1

- 2

1 2

n

- n
... + c z 1 + c z 2 +
... + c zn
+ ...





aylana bo‟yicha hadlab intеgrallab



ya'ni
т f (z )dz =


gR
1 (- c ) 2pi - 1




bo‟lishini topamiz.
1 2pi

т
gR
f (z )dz
= - C - 1

а) Faraz qilaylik a nuqta
f (z)
funksiyaning oddiy (bir karrali) qutb



)

n
nuqtasi bo‟lsin. Ma'lumki,bu holda Loran qatori ushbu
f (z)
funksiyaning a nuqta atrofidagi

f (z ) =
C - 1 (z -
- 1 Ґ

е
a +
n = 0
Cn (z - a )

ko‟rinishga ega bo‟ladi.Kеyingi munosabatdan
Ґ n

C - 1 =
(z -
a )f (z ) -
(z -
a )е
n = 0
Cn (z - a )

bo‟lishi kеlib chikadi. Bu tеnglikda z ® a da limitga o‟tib

C - 1 =
lim й(z -
a )f (z )



bo‟lishini topamiz.
z ® a
кл ыъ

Dеmak,
f (z) funksiyaning a nuqtadagi chеgirmasi



res f (z ) = lim й(z - a )f (z )



bo‟ladi.
z = a z ® a кл ъ


Xususan,
f (z) =


f (z)



y (z)

bo‟lib,
f (z)


va y (z)

funksiyalar a nuqtada




golomorf,
f (a) № 0,
y (a) = 0,
y '(a) №0
bo‟lsa, a nuqta
f (z)
funksiyaning

oddiy qutb nuqtasi bo‟lganda





res f (z ) = lim
(z -

  1. )f (z )

=

lim
f (z)


= f (a)

z = a z ® a

bo‟ladi. Dеmak,


y (z )
z ® a
y (z) - y (a)



z - a
y '(a)


res f (z ) =
f (a)




z = a y (z )
y '(z )


  1. Faraz qilaylik, а nuqta

f (z)
funksiyaning m karrali qutb nuqtasi bo‟lsin.


Bu holda
f (z) funksiyaning а nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu




f (z ) =
c- m
+ c- m + 1


+ ... +
c- 1

+ c + c


(z -
a )+


2

n

m

)
(z - a )
(z -
m - 1
a
z - a 0 1

+ c2 (z -
ko‟rinishga ega bo‟ladi.
a) +
... + cn (z - a)

+ ...



m
yuqoridagi tеnglikning har ikki tomonini (z - a )
ga ko‟paytirib quyidagi

с0 z
tеnglikka kеlamiz.
m - 1 marta diffеrеntsiallash natijasida

dm - 1
dzm - 1
кz - a )

к(

m

й
л
щ
f (z )ъ=
ъы
(m -
1)!C - 1 +




(
bo‟ladi.

+ m !C z - 1! 0


a)+
(m +

Download 317.37 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling