Muqimov Asqar Hamzayevich

2!

1₎!
C_{1 (}z -
a₎ +

2
...

^{Kеyingi tеnglikda} z ® a ^{da limitga o‟tib topamiz:}

й
lim
_dm - 1
m - 1
_к(z - a ₎
щ

m
f (z )_ъ=
₍m -
1₎!C _{- 1}

Bundan esa

z ® a ^dz
к_{л ы}ъ

_{1 d}m - 1 _{й m}

C _{- 1} =
lim (z - a)
m - 1 ^к
f (z )_ъ

bo‟lishi kelib chiqadi.

₍m -
_1)! z ® a _dz ^{л ы}

Dеmak, bu holda
^{f (z) funksiyaning}z = a
nuqtadagi chеgirmasi

bo‟ladi.


res f (z ) =
z = a
1
₍m -
_dm - 1
1₎! dz^{m - 1}
_кz - a <sub>)

к</sub>(

m

й
л
f (z )_ъ
ъ

Xususan, f (z ) =
f (z )
m


bo‟lib,
f (z)

funksiya a nuqtada golomorf va

₍z - a ₎


^{f (a) №0} bo‟lsa, unda yuqoridagi munosabatdan

res f (z) =
res
f (z) ₌

¹ _f (^{m - 1})_(a)

m
z = a z = a _{(z - a )}
bo‟lishi kеlib chiqadi.
Misol-1.1.2. Ushbu
₍m -
_z 2
1₎!

f (z ) =


z + 2

funksiyani qaraylik. Ravshanki, ^z nuqta bu funksiyaning oddiy qutb nuqtasi
bo‟ladi. Bеrilgan funksiyaningz = - 2 qutb nuqtasidagi chеgirmasini topamiz.

2
res ^z

= lim

й ²

z
^к₍z + 2₎
щ
^ъ= lim z ² = 4

z = - 2 _{z + 2}
z ® - 2 ^к
z + 2^ъ
z ® - 2

к_{л ы}ъ

2. 
   KOMPLEKS O’ZGARUVCHILI FUNKSIYANING CHEGIRMASI
   

HAQIDAGI KOSHI TEOREMASI

Aytaylik
^{f (z)} funksiya bir bog‟lamli D sohada bеrilgan bo‟lsin.

Tеorеma 1.2.1. (Koshi) Faraz qilaylik
f (z)
funksiya bir bog‟lamli D

sohada bеrilgan bo‟lib, shu sohaga tеgishli chеkli sondagi maxsus
z₁, z₂,..., z_n

nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo‟lsin. Bu yakkalangan

maxsus
z₁, z₂,..., z_n
nuqtalar D sohada yotuvchi silliq yopiq ^g chiziq ichida

joylashsin. U holda

_т f (z)dz =
n
2pi _е
resf (z)

_{g k = 1} z = z_k
bo‟ladi. Bunda ^g yopiq chiziq musbat yo‟nalishda olingan.

Isbot. Markazlari
z_{k (}k =
1, 2, ..., n ₎
nuqtalarda, yеtarlicha kichik

^{radiusli shunday} z_k
(k =
1, 2, ..., n ₎ ^{aylanalarni olamizki, bu aylanalar g yopiq}

chiziq ichida yotsin va
g_k

З g_i =

q,(k

№i, k, i =

1, 2,..., n)

bo‟lsin.
U holda Koshining ko‟p bog‟lamli sohalar haqidagi tеorеmasiga ko‟ra

_т f (z )dz
g
n
= _{е т}
k = 1 _g


f (z )dz

^{bo‟ladi, bunda} g_k
olingan.
Agar
k

aylanalarda soat strеlkasi yo‟nalishiga qarshi yo‟nalish

_т f (z )dz =
c_k
2pi res f (z )
z = z_k

ekanligini e'tiborga olsak, unda

_т f (z)dz =
n
2pi _е
resf (z)

_{g k = 1} z = z_k

bo‟lishi kеlib chiqadi. Bu esa tеorеmani isbotlaydi.

Bu tеorеmadan funksiyalarning intеgrallarini hisoblashda foydalaniladi.

Tеorеma 1.2.2. Faraz qilaylik,
f (z)
funksiya kеngaytirilgan komplеks

tеkislikning chеkli sondagi maxsus
z₁, z₂,..., z_n
nuqtalaridan boshqa barcha

nuqtalarda golomorf bo‟lsin. U holda bu funksiyaning
z₁, z₂,..., z_n
nuqtalardagi

^hamda z = Ґ ^{nuqtadagi chеgirmalari yig‟indisi nolga tеng bo‟ladi:}

n
_е res f (z ) +


res f (z ) = 0

_{k = 1} z = z_k
z = Ґ

Isbot. Tеkislikda R radiusli shunday

aylanani olamizki,
z₁, z₂,..., z_n
yakkalangan maxsus nuqtalar shu aylana ichida

joylashsin. Bu aylanada yo‟nalishni musbat qilib olamiz. Yuqorida isbot etilgan 1.2.1-tеorеmaga ko‟ra

_т f (z )dz =
n
2pi _е
resf (z )

bo‟ladi.
Ikkinchi tomondan

g<sub>R


т</sub> f (z )dz = -
g_{R
k = 1} z = z_k
2pi res f (z )
z =Ґ

bo‟ladi. Yuqoridagi tеngliklarnini hadlab ayirib quyidagini topamiz.

n
0 = 2pi _е
resf (z ) +
2pi res f (z )

_{k = 1} z = z_k
z = Ґ

Dеmak,
n

_е resf (z ) +


res f (z ) = 0

Tеorеma isbot bo‟ldi.

_{k = 1} z = z_k
z = Ґ

3. 
   JORDAN LEMMASI
   

Haqiqiyo‟zgaruvchili
f ₍x ₎
funksiyadan OX o‟qining biror chekli yoki

^cheksiz ₍a,b₎
oralig‟ bo‟yicha integralni hisoblash talab qilingan bo‟lsin. Bu

^{integralni hisoblash uchun} ₍a,b₎
oraliqni u bilan birga D sohani chegarasi

bo‟lgan biror C egri chiziq bilan to‟ldirib ettiramiz.
f ₍x ₎ ^funksiyani D ^{sohaga davom}

Hosil bo‟lgan
f ₍x ₎ ^{funksiyaga esa} D ^{sohada chegirmalar haqidagi Koshi}

teoremasini qo‟llaymiz va

b _n
т f ₍x ₎dx + _т f ₍z ₎dz = _е res f (z )
_{a C n= 1} z = z_n

ni hosil qilamiz.

Agar C bo‟yicha integralni hisoblashga erishilsa yoki uni
b
_т f ₍x ₎dx
a

orqali ifodalash mumkin bo‟lsa, u holda

masalasi yechiladi.

b
_т f ₍x ₎dx
a

integralni hisoblash

Ayrim hollarda yordamchi
f ₍z ₎
^funksiya ₍a,b₎
oraliqda shunday

^tanlanadiki, ₍a,b₎
da berilgan
f ₍x ₎
funksiya uning haqiqiy yoki mavhum

qismi bo‟ladi. Unda qidirilayotgan integralni haqiqiy va mavhum qismlari ajratilib hisoblanadi.

Cheksiz
f ₍x ₎
oraliqlar bo‟yicha integrallarni hisoblash talab etilganda,

^{ko‟pincha cheksiz kengayuvchi} C_R
konturlar bo‟yicha integrallar qaraladi. Bu

^{konturlar shunday quriladiki, R ® Ґ da limitga o‟tish natijasida} ₍a,b₎
bo‟yicha integral hisoblanadi.

^{Hisoblash talab etiladigan ko‟p misollarda} C_R
kontur bo‟yicha integralni

hisoblamasdan, faqat uning limitini hisoblash yetarli. Ko‟p hollarda bu limit nolga teng.

^{Ko‟pgina misollarda esa} C_R
yordamida baholash mumkin.
kontur bo‟yicha integralni quyidagi lemma

Bizga
f (z )
^{funksiya yuqori yarim tekislik} _{Imz і
0_} ^{da berilgan bo‟lib,}

^{unda chekli sondagi maxsus nuqtalar:} a_n ;n =
1, 2,ј
, n ^{ga ega bo‟lsin.}

^{Lemma-1. Farazqilaylik} f (z ) ^funksiya

_{Imz і
0_}‚
n
_U(^a_n )
n = 1

da golomorf bo‟lsin, ^M ₍^R ₎ ⁼
max
f ₍z ₎
yuqori yarim aylana

g_R = _{z
= R, Im і
⁰_} da R ® Ґ nolga intilsin. U holda ixtiyoriy l > 0

uchun

т
lim
R ® 0


f ₍z ₎e^{il z}dz = 0

g_R

bo‟ladi.

^{Isbot: Yuqori yarim aylana} g_R ^{ning o‟ng qismini} D_{R ў} ^{orqali belgilaymiz:}


_пм _{ij p п}ь

D_{R ў} =
_нz О Re :0 Ј j Ј _э

2
о^п ю^п

Sinusning j

й

О ^к0;

^{p ъ} da qavariqligidan



sin j і

2. 
   _j ga ega bo‟lamiz.
   

к ₂ ъ _p

Demak,
л ы
g_{R ў} ^da

_eil z
_{= e}- l R sin j
_- 2l
Ј e ^p Rdj
= M ₍R ₎ ^p 1 -

(
2l
_e- l R ₎

^{Bu bahodan kelib chiqadiki, R ® Ґ da} g_R
bo‟yicha integral nolga intiladi.

Qolgan yarim aylana
g _'' =
g_R ‚
^g_{R ў} uchun ham baho xuddi shunday olinadi.

R
Jordan lemmasining ma‟nosi quyidagidan iborat.
M ₍R ₎
miqdor R ® Ґ da

har qancha sekin nolga yaqinlashishi mumkin, shunga ko‟ra
f ₍z ₎
^dan g_R

bo‟yicha olingan integralni nolga intilishi shart emas. Bu yerda integralni nolga

^{intilishini ko‟paytirilgan eksponenta} e^{il z , l > 0 tezlashtiradi.}