Muqimov Asqar Hamzayevich


II BOB CHEGIRMALAR NAZARIYASINING EGRI CHIZIQLI


Download 317.37 Kb.
bet7/8
Sana18.03.2023
Hajmi317.37 Kb.
#1280192
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Akademik Kitap Eleştirisi Nedir, Nasıl Yapılır

II BOB


CHEGIRMALAR NAZARIYASINING EGRI CHIZIQLI INTEGLLARNI HISOBLASHGA TADBIQLARI

    1. KASR-RATSIONAL HAMDA TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING KO’PAYTMASIDAN IBORAT BO’LGAN

FUNKSIYALARNING INTEGRALINI HISOBLASH.

Integrallar nazariyasida xosmas integrallar, ularning yaqinlashishi va ularni hisoblash masalasi muhimdir. Ana shunday integrallardan biri kasr-ratsional hamda trigonometrik funksiyalarning ko‟paytmasidan iborat bo‟lgan funksiyalarning integralini hisoblash talab qilingan bo‟lsin. Bunday integralni hisoblash usulini aniq misolda ko‟raylik.


Aytaylik, Laplas integrali


Ґ cos xdx

J = т
0


x 2 + a2

ni hisoblash talab qilingan bo‟lsin. Bu integralni hisoblash uchun yordamchi





f (z )=
eiz
x 2 + a2
funksiyani va CR

yarim aylanani olamiz. (2-rasm)



Ma‟lumki
g (z ) = 1
funksiya
C da
g (z ) < 1

x 2 + a 2 R R 2 - a2

tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan
g (z )
ning R ® Ґ da nolga tekis

yaqinlashishi kelib chiqadi. U holda Jordan lemmasiga ko‟ra R ® Ґ da





т f (z )dz =
C 2
т g (z )eizdz ® 0
Cn

Har qanday R > 0 uchun chegirmalar haqidagi teoremaga asosan




R eixdx eixdx e- a

т x 2 + a2 + т x 2 + a2
= 2pi
2ai

- R CR

ga ega bo‟lamiz, chunki integrallash chizig‟i ichida yotuvchi yagona maxsus



nuqta z = ai
qaralayotgan
f (z )
funksiya uchun 1-tartibli qutb nuqta

bo‟lganligi sababli 1-tartibli qutb nuqtadagi chegirmani hisoblash formulasi





res f (z ) =
j
lim
(z )
(z -
a ) =

lim
j (z )


j (a )
=


z = a z ® a
y (z )
z ® a
y (z )-
j (a )
y ' (a )

(z - a )

ga asosan yuqoridagi natijaga kelamiz. Endi R ® Ґ da limitga o‟tsak


Ґ eixdx p


x +

a
т 2 2 =
- Ґ


aea

ni hosil qilamiz. Haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib qidirilayotgan integralni





topamiz.
Ґ cos xdx



0
т x 2 + a2 =
p



2aea

    1. TARKIBIDA KO’RSATKICHLI FUNKSIYA BO’LGAN INTEGRALLARNI HISOBLASH.

Misol-2.2.1. S. Puasson integrali

Ґ
J = тe- ax2 cosbxdx


0

bu yerda a,b О R .





Yordamchi funksiya


f (z ) =
e- az2 ni qaraymiz. Bu yordamchi funksional

haqiqiy o‟q bo‟yicha olingan integral analiz kursida Puasson integrali deyiladi





va u



erf Ґ =


2

p
т e- x2dx = 1
0

Ekanligiga asosan hisoblanadi. Yordamchi funksiyamiz y = h to‟g‟ri chiziqda






2
e- (a(x + ih))
= eah2 Чe- ax2 (cos 2ahx -
i sin 2ahx )


ko‟rinishga ega bo‟lib, uning haqiqiy qismi
h = b (2 +
a )bo‟lganda biz

hisoblamoqchi bo‟layotgan integral ostidagi funksiyadan o‟zgarmas ko‟paytuvchiga farq qiladi. Shunga asosan integrallash konturini quyidagicha olamiz (3-rasm).




IV

- R I R


3-rasm


Koshi integraliga ko‟ra


т e- x2dx

+ т e- x2dx


+ т e- x2dx


+ т e- x2dx = 0


(*)

I II III IV
Bu yerda

R
т = т e- ax2dx =
2 2

т


e- t2dt
(2.2.1)

I - R 0
b2 R

т =e- 4a т e- ax 2e- ibxdx
(2.2.2)

II - R

bo‟lib, x = ± R
bo‟lgan I va II kesmalarda

e- az 2
= e- a (R 2 -
y 2 )Ј
b2
e 4ae- aR 2

bo‟ladi. Shuning uchun agar a > 0bo‟lsa R ® Ґ da (2.2.1) va (2.2.2)
integrallar nolga intiladi. Yuqoridagi (*) integralda R ® Ґ da limitga o‟tib,

hamda
erf Ґ =
1 ekanidan foydalanib

b2 Ґ
p -

a
e 4a тe- ax 2e- bxdx = 0
- Ґ

ekanini topamiz.
Bu tenglikdan haqiqiy qismlarini tenglab natijani hosil qilamiz:
Ґ - b2


2
тe- ax2cosbxdx = 1
0
pe 4a ,a > 0
a

Misol-2.2.2. A. Eyler integrallarini qaraylik:

Ґ
J 1 = т


0


cos x 2dx


va J 2

Ґ
= т sin x 2dx 0



Bu integrallarni hisoblashda yordamchi funksiyani
f (z )=
eiz 2
ko‟rinishda

tanlaymiz. Integrallash konturini esa quyidagicha olamiz. (4-rasm).







R
C konturda z 2 =
4-rasm


h almashtirishdan keyin



т

т
f (z)dz = 1
2
eihdh


R
CR C 2




2
ga ega bo‟lamiz, bu yerdaC
R

bilan R radiusli aylananing to‟rtdan bir qismini



belgiladik. Jordan lemmasiga ko‟ra bu integral R ® Ґ da nolga intiladi. Agar



OA ga z = x
OB ga x = z
desak, Koshi teoremasiga ko‟ra


R
тeix2dx +
0
т eiz2dz +
CR
0
тe- t2dt = 0
R


Bu yerda R ® Ґ limitga o‟tib va
erf Ґ = 1
ekanidan foydalanib,



Ґ

2
тeix2dx =
0

ni topamiz.



Bu tenglikda haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib:

Ґ Ґ 2 2 Ґ Ґ



тeix2dx =
т cos x - i sin x dx =
т cos x 2dx + i т
sin x 2dx = p


2 2
0 0 0 0

ni hosil qilamiz.


Ma‟lumki,





Ґ
т cos x 2dx va
0
Ґ
т sin x 2dx 0

bu integrallar quyidagiga teng:




Ґ Ґ

т cos x 2dx =
т sin x 2dx =
(**)

0 0

Bu integrallar quyidagi maxsus funksiyalarni aniqlaydi:





x
S (x ) = т
sin t
x
dt,C (x ) = т
cos t dt

0 0


Haqiqatan ham, t = t 2 almashtirish qilsak, natijada

S (x ) =
sin t 2dt ,C (x ) =
cos t 2dt

larni hosil qilamiz. Endi (**) tenglamalarni



S (Ґ
)= C (Ґ
)= 1
2

ko‟rinishida ifodalash mumkin.


Bu integrallar birinchi bo‟lib 1781-yilda Eyler tomonidan hisoblangan.



    1. TARKIBIDA KO’P QIYMATLI FUNKSIYALAR BO’LGAN INTEGRALLARNI HISOBLASH

Kompleks argumentli funksiyalar nazariyasida golomorf funksiyaga teskari bo‟lgan funksiyani o‟rganish masalasi ham muhim o‟rin tutadi. Aksariyat hollarda bunday funksiyalar bir qiymatli bo‟lmaydi. Argumentning bitta qiymatiga bir nechta (ba‟zi hollarda cheksiz ko‟p) kompleks son mos qo‟yiladi. Bunday funksiyalarni qat‟iy matematik asosda berish uchun kompleks analizda

Riman sirtlari kiritiladi. Ana shunday funksiyalardan biri funksiyasidir.
w = ln z

Integral ostidagi funksiya tarkibida ko‟p qiymatli funksiyalar qatnashgan integrallarni hisoblashda ham chegirmalar nazariyasidan foydalanish ancha qulaydir.





Ґ

Download 317.37 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling