Murakkab va oshkormas funksiyalarning hosilalari. Parametrik shaklda berilgan funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi. Giperbolik funksiyalarning hosilalari

Murakkab va oshkormas funksiyalarning hosilalari. Parametrik shaklda berilgan funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi. Giperbolik funksiyalarning hosilalari


Murakkab va oshkormas funksiyalarning hosilalari. Parametrik shaklda berilgan funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi. Giperbolik funksiyalarning hosilalari
Agar: 1) funksiya biror nuqtada hosilaga ega; 2) funksiya esa tegishli nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda murakkab funksiya ham nuqtada hosilaga ega va bu hosila va funksiyalar hosilalarining ko’paytmasiga tengdir: Ya’ni,

yoki qisqacha

ko’rinishda yoziladi.

ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini topish uchun darajali funksiyani yoki ko’rsatkichli funksiyaning hosilasini topish formulasini qo’llab bo’lmaydi. Chunki bu funksiyaning asosi ham, daraja ko’rsatkichi ham x o’zgaruvchininng funksiyasidir. Shuning uchun berilgan funksiyaning hosilasini topish uchun tenglikning har ikkala qismini asosga ko’ra logarifmlaymiz va

ni hosil qilamiz. ni ning murakkab funksiyasi sifatida qarab oxirgi tenglikning har ikkala qismidan hosila olamiz:

. Bu tenglikdan ni topamiz:



Agar: 1) funksiya nuqtada chekli va noldan farqli hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun nuqtada uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda teskari funksiya uchun nuqtada ga teng hosila mavjud bo’ladi, ya’ni .

Buni boshqacha ko’rinishda yozish ham mumkin.

Agar va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish bevosita emas,balki uchinchi bir o’zgaruvchi yordamida biror va , , funksiyalar orqali bevosita berilgan bo’lsa, unda argumentning funksiyasi parametrik ko’rinishda berilgan funksiya, esa parametr deyiladi.

Masalan, , , parametrik ko’rinishda bevosita berilgan funksiya , , ko’rinishdagi bevosita berilgan funksiyani ifodalaydi.

Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyani bo’yicha hosilasini topish uchun dastlab uni ko’rinishda yozib, so’ngra uning hosilasini topish mumkin.Ammo har doim ham bu usul qulay bo’lmaydi, chunki parametrik shaklda berilgan funksiyani ko’rinishda yozish qiyin, yoki funksiya ko’rinishi juda murakkab bo’lib, undan hosila olish noqulay bo’lishi mumkin. Shu sababli parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi to’g’ridan-to’g’ri va funksiyalar orqali

formula yordamida topiladi.

Agar erkli o’zgaruvchi va funksiya orasidagi bog’lanish tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda ni ning oshkormas funksiyasi deyiladi.

tenglama ga nisbatan echilmagan bo’lsa ham, dan bo’yicha hosila olish mumkin. Buning uchun ning har ikkala qismidan ni ning funksiyasi deb qarab, bo’yicha hosila olinadi va hosil qilingan tenglamadan topiladi. Uni quyadagicha yozish mumkin:

.

Matematik analizning ko’plab tadbiqlarida va ko’rsatkichli funnksiyalardan tuzilgan va funksiyalar uchraydi. Bunday funksiyalarga yangi funksiyalar sifatida qaraladi va quyidagicha belgilanadi.

s,

Bulardan birinchisi giperbolik sinus, ikkinchisi esa giperbolik kosinus deb ataladi. Bu funksiyalar yordamida yana ikkita va funksiyalar aniqlanadi. Ular:

- giperbolik tangens va - giperbolik kotangens deb ataladi.

funksiyalar ning har qanday qiymatlarida aniqlangan. funksiya esa nuqtadan farqli har qanday nuqtalarda aniqlangan.

Giperbolik funksiyalar orasida quyidagi munosabatlar o’rinlidir.

;

;

;

.

va larning va lar orqali ifodalaridan hosila olib quyidagilarni hosil qilamiz:

,,

,.