Мусбат ҳадли қаторлар ва уларнинг яқинлашув-чилиги

Мусбат ҳадли қаторлар ва уларнинг яқинлашув-чилиги.

Фараз қилайлик,

(1)
қатор берилган бўлсин.
Агар бу қаторда бўлса, (1) мусбат ҳадли қатор дейилади.
Мусбат ҳадли қаторларда, уларнинг қисмий йиғиндиларидан иборат кетма-кетлик ўсувчи кетма-кетлик бўлади. Ҳақиқатан ҳам,
.
1-теорема. Мусбат ҳадли

қаторнинг яқинлашувчи бўлиши учун

кетма-кетликнинг юқоридан чегараланган бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. (1) қатор яқинлашувчи бўлсин. Унда да кетма-кетлик чекли лимитга эга бўлади. Яқинлашувчи кетма-кетликнинг хоссасига кўра чегараланган, жумладан юқоридан чегараланган бўлади.
Етарлилиги. кетма-кетлик юқоридан чегараланган бўлсин. Унда монотон кетма-кетликнинг лимити ҳақидаги теоремага кўра кетма-кетлик да чекли лимитга эга бўлади. Демак, (1) қатор яқинлашувчи. ►
Эслатма. Агар

мусбат ҳадли қаторда, унинг қисмий йиғиндиларидан иборат кетма-кетлик юқоридан чегараланмаган бўлса, у ҳолда қатор узоқлашувчи бўлади.


2⁰.Мусбат ҳадли қаторларда таққослаш теоремалари.
Иккита


мусбат ҳадли қаторлар берилган бўлсин.


2-теорема. Фараз қилайлик ва қаторлар учун да
(2)
тенгсизлик бажарилсин.
У ҳолда:
1) қатор яқинлашувчи бўлса, қатор ҳам яқинлашувчи бўлади,
2) қатор узоқлашувчи бўлса, қатор ҳам узоқлашувчи бўлади.
◄ ва қаторларнинг қисмий йиғиндилари мос равишда
,

бўлсин. У ҳолда (2) муносабатга кўра
(3)
бўлади.
Айтайлик, қатор яқинлашувчи бўлсин. Унда 1-теоремага биноан кетма-кетлик юқоридан чегараланган бўлади. Айни пайтда, (3) муносабатни эътиборга олиб, кетма-кетликнинг ҳам юқоридан чегараланган бўлишини топамиз. Яна 1-теоремага кўра қатор яқинлашувчи бўлади.
Айтайлик, қатор узоқлашувчи бўлсин. Унда (3) муносабат ва эслатмадан фойдаланиб, қаторнинг узоқлашувчи бўлишини топамиз. ►
1-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Равшанки, бу қатор ҳадлари учун

тенгсизлик ўринли бўлади.
Натижада берилган қаторнинг ҳар бир ҳади яқинлашувчи қаторнинг (геометрик қаторнинг) мос ҳадидан кичик. 2-теоремага мувофиқ берилган қатор яқинлашувчи бўлади. ►
3-теорема. Фараз қилайлик, мусбат ҳадли ва қаторларнинг умумий ҳадлари учун

бўлсин. У ҳолда:
1) бўлиб, қатор яқинлашувчи бўлса, қатор ҳам яқинлашувчи бўлади.
2) бўлиб, қатор узоқлашувчи бўлса, қатор ҳам узоқлашувчи бўлади.
◄ Айтайлик, бўлиб, қатор яқинлашувчи бўлсин.
Равшанки,
:

Бундан эса, қатор яқинлашувчи бўлгани учун 2-теоремага кўра қаторнинг яқинлашувчилиги келиб чиқишини топмаиз.
Айтайлик, бўлиб, қатор узоқлашувчи бўлсин.
Равшанки, ва бўлишидан учун яъни бўлиши келиб чиқади. 2-теоремадан фойдаланиб қаторнинг узоқлашувчи бўли-шини топамиз. ►
Натижа. Мусбат ҳадли ва қаторлар учун

бўлса, у ҳолда ва қаторлар бир вақтда ёки яқинлашувчи бўлади ёки узоқлашувчи бўлади.
2-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Берилган қатор билан бирга узоқлашувчилиги маълум бўлган гармоник қаторни қараймиз. Бу қаторларниг умумий ҳадлари учун

бўлади. Демак, берилган қатор узоқлашувчи. ►
4-теорема. Айтайлик, мусбат ҳадли ва қатор-лар учун

бўлсин
У ҳолда:
1) қатор яқинлашувчи бўлса, қатор ҳам яқинлашувчи бўлади,
2) қатор узоқлашувчи бўлса, қатор ҳам узоқлашувчи бўлади.
◄ Фараз қилайлик, қаторлар учун

тенгсизликлар бажарилсин. Бу шартдан қуйидаги муносабат келиб чиқади:
.
Кейинги тенгсизликдан топамиз:

Айтайлик, қатор яқинлашувчи бўлсин. Равшанки, қатор ҳам яқинлашувчи бўлади. 2-теоремадан фойдаланиб, қаторнинг яқинлашувчи бўлишини топамиз. Худди шунга ўхшаш қаторнинг узоқлашувчи бўлишидан қаторнинг узоқлашувчи бўлиши келиб чиқиши кўрса-тилади. ►
Юқорида келтирилган теорема ва мисоллардан кўринадики, мусбат ҳадли қаторнинг яқинлашувчилиги ёки узоқлашувчилигини билган ҳолда, ҳадлари бу қатор ҳадлари билан маълум муносабатда бўлган (таққосланган) иккинчи мусбат ҳадли қаторнинг яқинлашувчилиги ёки узоқлашувчилигини аниқлаш мумкин бўлар экан.
Изоҳ. Юқорида келтирилган теоремалар нинг бирор қийматидан бошлаб бажарилганда ҳам ўринли бўлади.