Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar
Download 226.73 Kb.
|
Musbat hadli qatorlar Tayanch so’z va iboralar
5. Koshining integral alomati.
5-teorema. Agar funksiya [1;) oraliqda nomanfiy, integrallanuvchi, monoton kamayuvchi hamda qator hadlari uchun tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda qator va xosmas integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo‘ladi; yaqinlashuvchi bo‘lgan holda +a1 (9) munosabat o‘rinli bo‘ladi. Isboti. funksiya monoton kamayuvchi, demak kxk+1 tengsizliklardan f(k) f(x) f(k+1) kelib chiqadi. Bu qo‘sh tengsizlikni k dan k+1 gacha integrallab, , yoki f(k)=ak bo‘lganligi uchun ak ak+1 qo‘sh tengsizliklarga erishamiz. So‘ngi tengsizliklarni k=1, 2, , n uchun yozamiz: a1 a2, a2 a3, . . . . . . . . . . . . . . . an an+1. Bularni hadma-had qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz: Sn Sn+1-a1 (10) Quyidagi hollarni qaraymiz. 1) integral yaqinlashuvchi va I ga teng. U holda I va Sn+1 I+a1=C, yoki barcha natural n larda Sn I. Demak, {Sn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, bundan musbat qator yaqinlashuvchi. Va aksincha, agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda {Sn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, demak umumiy hadi In+1= bo‘lgan monoton o‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. 2) integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda Sn tengsizlikdan {Sn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, bundan qator uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Agar da qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda uning xususiy yig‘indilaridan iborat {Sn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, demak, umumiy hadi In+1= bo‘lgan ketma-ketlik ham chegaralanmagan. Bundan integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. Qator yaqinlashuvchi bo‘lgan holda (10) qo‘shtengsizlikda n limitga o‘tib, S S-a1 munosabatga, bundan (9) ga ega bo‘lamiz. 6-misol. Umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi
qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. va ekanligi ravshan, bu yerda r-haqiqiy son. Ushbu
xosmas integralni hisoblaymiz. Agar r>1 bo‘lsa, u holda va yaqinlashuvchi; Agar r<1 bo‘lsa, u holda va uzoqlashuvchi; Agar r=1 bo‘lsa, u holda uzoqlashuvchi. Shu sababli umumlashgan garmonik qator r>1 bo‘lsa yaqinlashuvchi, r1 bo‘lsa uzoqlashuvchi bo‘ladi. 6. Raabe alomati. 6-teorema. (1) qatorning hadlari musbat va bo‘lsin. U holda agar r > 1 bo‘lsa, (1) qator yaqinlashuvchi; agar r < 1 bo‘lsa, (1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Misol. 1+ qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Bu qator uchun Dalamber alomati natija bermaydi, chunki . Raabe alomatini tatbiq etamiz: r = . Demak, r=1,5 > 1 bo‘lganligi uchun qator yaqinlashuvchi. 7. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar. 1-ta’rif. Ushbu (1) bu yerda musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o‘rinli: 1-teorema (Leybnis teoremasi). Agar ishoralari navbatlashuvchi
qatorda 1) qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni (2) bo‘lsa, 2) qatorning umumiy hadi da nolga intilsa: (3) u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Isboti. , ya’ni juft bo‘lsin. U holda S2m ni quyidagicha yozib olamiz: . (2) shartga ko‘ra u2m-1-u2m>0 (m=1,2,…), demak va xususiy yig‘indilar ketma-ketligi {} o‘suvchi bo‘ladi. Endi xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozamiz: . Yana (2) shartga ko‘ra tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak, , shu bilan birgalikda Endi toq indeksli {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, =+ bo‘lgani uchun da =+== ga ega bo‘lamiz, bunda (3) shartga ko‘ra
Demak, , qator yaqinlashuvchi. 1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. va . Demak, yuqoridagi teoremaga asosan qator yaqinlashuvchi. Endi ixtiyoriy hadli qatorlarni qaraylik. 2-teorema. Agar ixtiyoriy hadli (4) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Isboti. va mos ravishda (4) va (5) qatorlarning n-xususiy yig‘indilari bo‘lsin. bilan barcha musbat va bilan xususiy yig‘indidagi barcha manfiy ishorali hadlar qiymatlari yig‘indisini belgilaymiz. U holda = -, =+ bo‘ladi. Shartga ko‘ra, (5) qator yaqinlashuvchi, shu sababli {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi limitga ega. {} va {} lar esa musbat va o‘suvchi, shu bilan birgalikda < va < (chegaralangan), demak, ular ham limitga ega:
= - munosabatdan {} ham limitga egaligi kelib chiqadi: = -. 2-ta’rif. Ixtiyoriy hadli (4) qator hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (4) qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi. 3-ta’rif. Agar ixtiyoriy hadli (4) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda (4) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi. 1> Download 226.73 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling