Mustahil jumisi

f hám g funksiyalar osuvchi kamayuvchi funksiyalar bolishsa, ol jaǵdayda g f osuwshi kamayuvchi boladi  kompozitsion funksiya da Sonday eken eger f funksiya bir bahalı (ápiwayı ) funksiya bolib onıń teris funksiyası f 1 bolsa, ol jaǵdayda tómendegiler orinli bolıp tabıladı:
f^-1 fx f1fxx, xdomf,
f • f^-1y ff1yy, yimf.
y=f(-x)



funksiya grafigi.
Qanday da bir c  0 sannı alaylıq, onı tómendegishe belgileymiz tc : R  R hám  tcxxc. fx funksiya grafigini ko'chirish natijesinde hosil bo'lgan jan’a grafikdıń funksiyası f tc x  f x  c boladi. Eger c  0 grafik shepke hám kerisinshe c  0 bolsa funksiya grafigi ong’a jıljıydı. Tap sonday tc f x fxc bolsa funksiya grafigi vertikalǵa koefficienttan jıljıydı. Eger c  0 bolsa funksiya grafigi joqarıǵa hám kerisinshe c  0 bolsa funksya grafigi tómenge jıljıydı. Joqarıdaǵı oy-pikirlerdi dawam ettirip, endi taǵı qandayda bir c  0 sannı alaylıq, onı tómendegishe belgileymiz sc : R  R hám sc x  cx bo‟lsin. f x funksiya grafigini kochirish nátiyjesinde ónim bo‟lgan jańa grafikdıń funksiyası 
f sc x f cx boladi. Bul funksiyanıń c1 hám 0c1 hallar ushın, hám tap sonday tc f  x  c f x funksiya grafigi oqig’a “jaqınlasıwı” yamasa koordinatalar oqidan qashıwı baqlawımız múmkin.
Eger qálegen xX ushın -xX bolsa, ol halda X toplam simmetrik jıynaq O noqatqa salıstırǵanda dep ataladı. Aytaylik f (x) funksiya X simmetrik toplamda berilgen bolsin. Eger qálegen xX ushın
f (-x) = f (x) bolsa, ol halda f (x) jup funksiya dep ataladı.
Eger qálegen xX ushın f (-x) = - f (x) bolsa, ol halda f (x) toq funksiya dep ataladı.
Eger l0 hám hár bir xX ushın x-l X hám x+l X bolsa, ol halda X dáwirli jıynaq hám l onıń dáwiri dep ataladı. Dáwirli toplamning. eń kishi dáwiri onıń tiykarǵı dáwiri dep ataladı hám eger f (x+l) = f (x) teńlik orinli bolsa, ol halda u=f (x) funksiya dáwirli funksiya, l onıń dáwiri dep ataladı.
Tarifden korinetug’in, y=f (x) funksiya l davrli dáwirli funksiya boliwi ushın a onıń anıqlanıw tarawı bolgan X dáwirli toplam boliwi,  b qálegen xX ushın f (x+ l) =f (x) teńlik orinli boliwi kerek. Eger sol shártlerden qandayda-birı buzilsa, ol halda f (x) funksiya dáwirli funksiya bolmaydi.



Dárejeli funksiyalar.
Bul túrdegi funksiyalar korinishi y  x sıyaqlı boladi.   0 bolganda funksiya ozgarmas bolib qaladı yag’niy y  x0 1. Keling aldın   0 holni kobrib shıǵayıq. nN\0 lar ushın R de anıqlanǵan yxn birhadga iye bolamiz, n toq bolganda funksiya da toq, n - jup san bolganda bolsa funksiya jup funksiya boladi.
Endi   0 ratsional bolsin. Eger   m1 hám m  N \ 0 bolsa, biz m dárejeli 1 túbir funksiyaǵa y  xm  m x iye bolamiz. Bul funksiyanıń anıqlanıw tarawı oń haqıyqıy sanlar basqasha etip aytqanda 0, oraliq bolıp tabıladı. x3 funksiya haqıyqıy sanlar 4  toplami R de anıqlanǵan. y  x3 funksiya da , 0da hám 0, da  3  anıqlanǵan. y  x2 bolsa tek ǵana 0,  aralıqta anıqlanǵan.

A qir alberde y=x^a funksiya ha’r bir a>0 ler ushin aniqlang’an even. Ha’r qanday a>0 ler ushin mudani y(0)=0, y(1)=1 boladi. Eger a
0ba<1, ha’m x>1 ushin 1a b