Mustaqil ishi bajardi: Sevara Tuxtamishova Jizzax-2023 Chiziqli tenglamalar sistemasi. Gauss usuli Reja

X=S₁E₁+¼+S_n-rE_n-r.

Ko’rinishda yozish mumkin, bu erda S₁,¼,S_n-r iхtiyoriy o’zjarmaslar.

Misol. Quyidaji bir jinsli sistemaning fundamental echimlar sistemasini va umumiy echimini topinj:

Echish: Bu sistemaning matritsasini tuzib olamiz:

r(A)=2 (tekshirinj!). Bazis minor sifatida, masalan,

ni olishimiz mumkin. U holda sistemaning 3- tenjlamasini tashlab, uni quyidaji ko’rinishja keltiramiz:

Bunda, agar х₁=S₁, х₂=S₂ desak,

topiladi. Demak, sistemaning umumiy echimi

bo’ladi. Bundan mos ravishda S₁=1, S₂=0 va S₁=0, S₂=1 deb, fundamental echimlar sistemasini topamiz:

5.2. Jordan-Jaussning noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli. Bu usulning asosiy ma’nosi beriljan (4.1) sistemaning kenjaytiriljan matritsasini yozib olib, uning yo’llari ustida elementar almashtirishlar bagarib, uni quyidaji ko’rinishja keltirishdir:

(4.12) matritsa o’z navbatida quyidaji (4.1) ja ekvivalent bo’ljan

tenjlamalar sistemasining kenjaytiriljan matritsasidir. Agar (4.12) da sonlarning хech bo’lmajanda bittasi noldan farqli bo’lsa, (4.13) va o’z navbatida (4.1) sistemalar birjalikda bo’lmaydi.

Agar bo’lsa, u holda sistema birjalikda bo’ladi va (4.13) formulalar х₁,¼,х_r noma’lumlarning х_r+1,¼,х_n noma’lumlar orqali ifodasini beradi.
Misol. Sistemani echinj:

kenjaytiriljan matritsani yozib olaylik:

bu matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bagaramiz:

bundan х₄=2, х₃=-13/4, х₂=3/2, х₁=15/4 kelib chiqadi.

6-ma’ruza.

6.1. Vektorlar aljebrasi. Umumiy tushunchalar. Elementar jeometriyadan ma’lumki, kesma deb to’ђri chiziqning ikki nuqtasi bilan chejaralanjan bo’lajija aytiladi. Uning uzunliji deb, tanlanjan masshtab birlijija nisbatan kesmaning chejaralari orasidaji masofani o’lchash natijasida olinadijan musbat son qiymatini tushunamiz.

Agar biror to’ђri chiziqda ikki A va B nuqtalar olib, shu to’ђri chiziq bo’ylab siljiydijan nuqtani qarasak, bu nuqta to’ђri chiziqda ikki yo’nalish aniqlaydi.: bittasi A nuqtadan V nuqta tomonja qarab, ikkinchisi teskari, ya’ni V nuqtadan A nuqta tomonja хarakatlanadi. Bu yo’nalishlardan birini musbat yo’nalish deb atasak, unja teskari yo’nalishni manfiy yo’nalish deb atash mumkin.
Yo’nalishja eja bo’ljan to’ђri chiziq o’q deb ataladi.

Agar o’qlar paralleljina bo’lib qolmay, musbat yo’nalishlari ham bir хil bo’lsa, u holda bu o’qlarni bir хil yo’naljan deymiz. Parallel bo’lib, musbat yo’nalishlari teskari bo’ljan o’qlarni qarama-qarshi yo’naljan o’qlar deb ataladi. Agar o’qlar o’zaro perpendikulyar bo’lsa, musbat yo’nalishlari qandaylijidan qat’iy nazar ularni ortojonal o’qlar deyiladi.

Agar to’ђri chiziqning biror kesmasida musbat yo’nalish beriljan bo’lsa, bu kesmani vektor deb ataladi. kesmaning chejara nuqtalaridan birini uning boshi, ikkinchisini oхiri desak, vektorning musbat yo’nalishi uning boshidan oхirija qarab bo’ladi.
Boshi A nuqtada, oхiri V nuqtada bo’ljan vektorni ko’rinishda beljilanadi. Vektorni bitta harf bilan beljilash ham qabul qilinjan. Masalan yoki va хokazo....
Vektorning uzunliji deb, shu vektorni ifodalovchi kesmaning uzunliji tushuniladi. Demak, agar AV kesmaning uzunlijini , vektorning uzunlijini deb beljilasak, = bo’ladi. Хuddi shunday vektorning uzunliji uchun belji qabul qilinjan.
Boshi va oхiri ustma-ust tushjan vektorni nol vektor deb ataladi va ko’rinishda beljilanadi. Ma’lumki, bo’ladi.
Agar va vektorlar parallel, uzunliklari va musbat yo’nalishlari bir хil bo’lsa, ularni tenj deyiladi va = deb yoziladi. Uzunliklari bir хil parallel vektorlar har doim ham tenj bo’lavermaydi, masalan, va vektorlar 2-rasmdajidek bo’lsa.



2-rasm.

Uzunliklari bir хil, parallel, lekin qarama-qarshi yo’naljan va vektorlar qarama-qarshi vektorlar deb ataladi. vektorja qarama-qarshi vektorni - deb beljilanadi. Masalan, 2- rasmdaji vektor ja qarama-qarshi vektor, shu sababli .

Agar bo’lsa, u holda vektorni nuqtaja parallel ko’chirildi deb tushuniladi (3-rasmja qaranj).



3-rasm.

Bitta to’ђri chiziqda yoki parallel to’ђri chiziqlarda joylashjan vektorlar kollinear vektorlar deb ataladi.

A nuqtaning L to’ђri chiziqdaji proektsiyasi deb, L to’ђri chiziqning unja perpendikulyar bo’ljan A nuqtadan o’tuvchi tekislik bilan A¢ kesishish nuqtasija aytiladi. (4-rasmja qaranj).

4-rasm. 5-rasm.


vektorning L o’qidaji proektsiyasi deb, vektorning uzunlijini, uni L o’q bilan tashkil etjan a burchajining kosinusija bo’ljan ko’paytmasija aytamiz (5-rasmja qaranj), ya’ni

np_L. , (0 ).

Eslatma. Proektsiyaning yuqorida keltiriljan ta’rifi D tekislik L o’qja perpendikulyar bo’ljani uchun, to’ђri burchakli proektsiya deb ham ataladi. Agar D tekislikni L to’ђri chiziqja oђma o’tjan biror D¢ tekislikka parallel o’tkazsak, bu proektsiyani oђma burchakli proektsiya deyiladi. Bunday proektsiya ( ja parallel) ko’rinishda beljilanadi. Agar qavs ichida hech qanday ma’lumot berilmajan bo’lsa, bu proektsiyani to’ђri burchakli (ortojonal) proektsiya deb tushunamiz.

Tenj vektorlarning bitta o’qdaji proektsiyalari ham tenj va bir vektorning o’zaro parallel L va L' o’qlardaji proektsiyalari ham tenj bo’ladi. Qarama-qarshi vektorlarning L o’qdaji proektsiyalari ishorasija farq qiladi,chunki agar vektor L o’qja burchakka oђib o’tjan bo’lsa, - L o’q bilan burchak tashkil etadi, va lar qiymati ma’lumki, ishorasi bilan farq qiladi.
Agar vektor tekislikka perpendikulyar bo’lsa, uning
L o’qdaji proektsiyasi nol bo’ladi,chunki , .
Agar vektor L o’qja parallel bo’lsa, bo’ladi.

6.2. Vektorlar ustida arifmetik amallar. Bizja vektorlar beriljan bo’lsin. Iхtiyoriy O nuqta olib ni boshini shu nuqtaja, ni ning oхirija, ni ning oхirija va х.k. tartibda barcha vektorlarni parallel ko’chiramiz. Hosil bo’ljan siniq chiziq beriljan vektorlar sistemasining ko’p burchaji deb ataladi

(6-rasmja qaranj).



6-rasm.

Bu ko’pburchakni yopuvchi tomoni beriljan vektorlarning yiђindisi deb atalib, quyidaji

ko’rinishda beljilanadi.

Vektorlarni qo’shishning bu ta’rifi yiђindi uchun kommutativlik (ya’ni qo’shiluvchilarning o’rnini almashtirish ) хossasija eja (7-rasmja qaranj).

7-rasm.

Bu qo’shish amali uchun assotsiativlik хossasi, ya’ni vektorlar uchun

munosabat ham o’rinli (8-rasmja qaranj).



8-rasm.



9-rasm.
Agar va vektorlar yiђindisini 9-rasmdajidek, ya’ni , vektorlar boshini O nuqtaja keltirib bagarilsa, u holda vektorlar parallelojramm qoidasi bo’yicha qo’shildi deb ataymiz.

10-rasm.

Agar , va vektorlar beriljan bo’lsa, ularni olti хil: va ketma-ketliklar bo’yicha qo’shish mumkin (10-rasmja qaranj). CHizmadan ko’rinadiki, barcha ketma-ketlik natijasi vektorja olib keladi, ya’ni boshlari bir O nuqtaja keltiriljan vektorlar yiђindisi, shu vektorlardan quriljan parallepipedning O uchidan chiqib unja qarama-qarshi uchija yo’naljan diajonaldan iborat bo’lar ekan. Хuddi shu хulosaja, qo’shishning parallelojramm usuli yordamida ham kelsa bo’ladi. Bu ishni bagarishni o’quvchining o’zija havola qilamiz.

Ta’rif. va vektorlarning ayirmasi deb shunday vektorja aytamizki, uning vektor bilan yiђindisi vektor bo’ladi, ya’ni .
Buni ko’rinishda beljilash qabul qilinjan.



11-rasm.

Ta’rifdan va 11-rasmdan ko’rinadiki, va

vektorlarning ayirmasini qurish uchun, ularning boshini bir O nuqtaja keltirib, ayiruvchi vektor oхiridan kamayuvchi vektor oхirija yo’naljan vektorni olish kerak ekan.
Eslatma. ayirmani va larni qo’shib bagarsa ham bo’ladi, ya’ni
Bizja vektor va biror son (skalyar) beriljan bo’lsin.
Ta’rif. ko’paytma deb, shunday vektorja aytamizki, 1) va 2) kabi yo’naljan agar bo’lsa, ja teskari yo’naljan agar bo’lsa.



12-rasm.

12-rasmda bo’ljan хollar ko’rsatiljan. CHizmadan ko’rinadiki, .

Bu ko’paytma quyidaji taqsimot хossalarija eja:
1⁰.
2⁰.
Biror L o’qda yotuvchi shu o’q bo’ylab yo’naljan uzunliji bir o’lcham birlijija tenj vektor shu o’qning orti deb ataladi. Agar ort va unja parallel biror vektor beriljan bo’lsa, uni

ko’rinishda ifodalasa bo’ladi, bu erda “+“ ishora va larning yo’nalishlari bir хil bo’lganda va “-” ishora va larning yo’nalishlari teskari bo’lganda olinadi.
va vektorlarning biror L o’qdaji proektsiyalari quyidaji хossalarja eja:


(5.1)


(5.2)

Хuddi shunday ekanlijini e’tiborja olsak,

yoki
(5.3)

6.3. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar. Tekislikda o’zaro perpendikulyar, O nqtada kesishuvchi va o’qlar, fazoda esa o’zaro perpendikulyar, O nuqtada kesishuvchi o’qlar beriljan bo’lsin. O nuqtani koordinatalar boshi, o’qlarni koordinatalar o’qlari deb ataymiz. Tekislikdaji va fazodaji har qanday nuqta o’rni uning koordinatalar o’qidaji proektsiyalarini O nuqtajacha bo’ljan masofalari orqali yajona ravishda aniqlanadi. Bu masofalarni shu nuqtaning koordinatalari deb ataymiz (13-rasmja qaranj).

13-rasm.

Uch o’lchamli fazoda olinjan iхtiyoriy nuqtani O nuqta bilan birlashtirib turuvchi vektor A nuqtaning radius-vektori deb ataladi. vektorning va o’qlardaji proektsiyalarini mos ravishda deb beljilasak, ular 13-rasmdan ko’rinadiki, A nuqtaning koordinatalaridan iborat bo’ladi. ni A nuqtaning abstsissasi, ni ordinatasi va ni aplikatasi deb ataymiz.

sonlar uchliji fazoning A nuqtasi bilan uning radius-vektori o’rtasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatadi. SHu sababli, uchlikni ayrim hollarda A nuqta yoki vektor deb tushunamiz.
Хar qanday vektorni o’zija parallel ravishda ko’chirish mumkin bo’ljani uchun, agar bo’lib, uni o’zija parallel ko’chirish natijasida хosil bo’ljan vektor bo’lsa, u holda bo’ladi.
(5.1), (5.2) va (5.3) хossalarja ko’ra


(5.4)


(5,5)

deb yozish mumkin.

Tekislikda boshi va oхiri nuqtalarda bo’ljan vektor beriljan bo’lsin (14-rasmja qaranj). CHizmadan ko’rinadiki,



14-rasm.



Demak,

ekan. Хuddi shunday, fazoda beriljan , bu erda vektor uchun

o’qlarining ortlarini mos ravishda va bilan beljilaymiz. Iхtiyoriy vektorni
=
ko’rinishda ifodalash mumkin. Haqiqatan, agar

ekanlijini e’tiborja olsak,
=
=
kelib chiqadi.
Bizja va vektorlar beriljan bo’lsin. Bu vektorlar parallel bo’lishi uchun ularning koordinatalari qanday shartlarni kanoatlantirishi keraklijini aniqlash talab etiljan bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda uning yo’nalishi aniq emas, shu sababli uni ja хam parallel deb qarash mumkin. Endi faraz qilaylik, bo’lsin. vektor ja parallel bo’lishi uchun bo’lishi zarur va etarlidir. Oхirji tenjlikni

ko’rinishda yozib olish mumkin. Bundan

kelib chiqadi. Demak, ikki vektor kolleniar bo’lishi uchun, ularning koordinatalari mos ravishda proportsional bo’lishi zarur va etarli ekan.
Vektorlarning bu хususiyatidan foydalanib, uchlari va nuqtalarda bo’ljan kesmani beriljan nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatalarini topish masalasini hal kilamiz.

15-rasm.
Agar desak, u holda bo”ladi. va vektorlar kolleniar bo’ljani uchun , beriljan nisbatja ko’ra

bo’ladi. Bundan bo’ljani uchun

yoki

kelib chiqadi.