N, doimo ardoqlagan maʼrifatparvar xalqning vakillarimiz. Men ham oʻqituvchi, muallim deganda oʻzim uchun eng aziz va hurmatli boʻlgan, ziyoli va zamonaviy, samimiy va mehribon insonlarni tasavvur qilaman

2.2. y = arctgx, y=arcctgx funksiyalar va uning asosiy xossalari
4- ta`rif. y = arc tg x funksiya deb intervalda o`zgaradigan tangensi x ga teng y o`zgaruvchi miqdorga aytiladi.
Demak, ta`rifga ko`ra istalgan haqiqiy x son uchun kelib chiqadi.
Sonning arktangensi xossalaridan foydalanib, y=arctgx funksiyaning quyidagi asosiy xossalarini hosil qilamiz:
1-xossa. y = arctgx funksiya x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlangan, ya`ni .
2-xossa. y = arctgx funksiya intervalda o`zgaradi, ya`ni
.
3-xossa. y = arctgx funksiya uzluksiz hamda yuqoridan va quyidan chegaralangan.
4-xossa. y = arctgx funksiya toq funksiyadir, ya`ni . Shuning uchun uning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
5-xossa. y = arctgx funksiya davriy funksiya emas.
6-xossa. y = arctgx funksiya aniqlanish sohasida manoton o`suvchi.
7-xossa. y = arctgx funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari yo`q.
8-xossa. x = 0 da funksiya nolga aylanadi, ya`ni arctg0 = 0. Shunday qilib, u = arctgx funksiya koordinatalar o`qlarini faqat (0; 0) nuqtada kesadi.
9-xossa.y=arctgx funksiya 00) va - < x< 0 da esa manfiy (arctg x < 0) qiymatlarni qabul qiladi.
10-xossa. y=arctgx funksiya grafigini y=tgx funktsiya grafigining intervalga mos qismini I va III koordinatalar burchaklari bissektrisalariga nisbatan ko`zguli akslantirish natijasida hosil qilish mumkin (3- rasm).

3- rasm.
y = arcctg x funksiya va uning asosiy xossalari
5-ta`rif. y = arcctg x funksiya deb (0; l) intervalda o`zgaradigan kotangensi x ga teng y o`zgaruvchi miqdorga aytiladi.
Demak, ta`rifga ko`ra, istalgan haqiqiy son uchun
ctg(arcctgx) = x
kelib chiqadi. Sonning arkkotangensi xossalaridan foydalanib, y=arcctgx funksiyaning quyidagi asosiy xossalarini hosil qilamiz:
1-xossa. y=arcctgx funksiya x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlangan, ya`ni -  < x<+ (D(y) = R).
2-xossa. y = arcctgx funksiya (0; l) intervalda o`zgaradi, ya`ni
0 < arcctg x < π (E (y) = (0; π)).
3-xossa. y=arcctgx funksiya uzluksiz hamda yuqoridan va quyidan chegaralangan.
4-xossa. y=arcctgx funksiya toq ham emas, juft ham emas, ammo uning uchun
arcctg(-x) = π- arcctgx tenglik o`rinli.
5-xossa. y= arcctgx funksiya aniqlanish sohasida monoton kamayuvchi.
6- xossa. y= arcctgx funksiya davriy funksiya emas.
7-xossa. y= arcctg x funksiya eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas.
8-xossa. y=arcctgx funksiya nolga teng qiymatlarni qabul qilmaydi, ya`ni funksiya nolga teng bo`la olmaydi.
Bu funksiya koordinatalar o`qlarini faqat ( 0; ) nuqtada kesadi.
9-xossa. y=arcctgx funksiya x ning barcha qiymatlarida musbat.


4-rasm
10-xossa. y = arcctgx funksiya grafigi oraliqda qavariq hamda
[0; ) oraliqda esa botiqdir.
y = arcctg x funksiya grafigi 4-rasmda tasvirlangan.