N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

5.3. Aniq integralning xossalari. Avvalo yuqorida ko‘rib o‘tilgan aniq integral ta’rifiga ikkita qo‘shimcha kiritamiz.

• 
  Aqar aniq integralda quyi a va yuqori b chegaralar (a<b) o‘rni almashsa, unda
  

(12)

tenglik o‘rinli deb qabul etamiz. Bunday qarorni quyidagicha tushuntirish mumkin. (12) tenglikning chap tomonidagi integralda x integrallash o‘zgaruvchisi OX o‘qda x=a nuqtadan x=b nuqtaga qarab o‘sadi va shu sababli х_i=х_i–х_i–1>0 bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralda esa aksincha bo‘lib, x integrallash o‘zgaruvchisi x=b nuqtadan x=a nuqtaga qarab kamayib boradi va unda δx_i= х_i–1–х_i= –х_i<0 bo‘ladi. Demak, (12) tenglikdagi integrallar uchun ularning integral yig‘indilari faqat ishoralari bilan farq qiladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan, (12) tenglikni qabul etish mumkinligini ko‘ramiz.

• 
  (12) tenglikdan
  

(13)

deb qabul qilishimiz mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham bu holda

.

Izoh: Aniq integral ta’rifini ifodalovchi (11) tenglikdan ko‘rinadiki, uning qiymati biror sondan iborat bo‘ladi. Bu son faqat integral ostidagi f(x) funksiya va [a,b] integrallash kesmasiga bog‘liq bo‘lib, integrallash o‘zgaruvchisiga bog‘liq emas. Shu sababli aniq integralda integrallash o‘zgaruvchisini har xil belgilash mumkin, ya’ni

.

I xossa: Aniq integralda o‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni k o‘zgarmas son bo‘lsa,unda

(14)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan

.

II xossa: Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni

(15)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud deb hisoblanadi.