Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan
 .
III xossa: Agar [а, b] kesmada f(x)0 va integrallanuvchi bo‘lsa, unda uning aniq integrali uchun
 (16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξi)≥0, Δxi>0 (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgani uchun va aniq integral ta’rifi hamda limit xossasiga asosan
 ,
ya’ni (16) tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
IV xossa: Agar [а, b] kesmada f(x) va g(x) funksiyalar integrallanuvchi hamda f(x)≤ g(x) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun
 (17)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: II xossaga asosan h(x)=g(x)–f(x) funksiya berilgan [а,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)≤g(x) shartdan h(x)0 ekanligi kelib chiqadi. Unda, IV va II xossalardan foydalanib, (17) tengsizlikka quyidagicha erishamiz:
 .
V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va
 (18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
