N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

§3. RATSIONAL KASRLAR VA ULARNI INTEGRALLASH

• 
  Ratsional funksiyalar.
  
• 
  Eng sodda ratsional funksiyalar va ularni integrallash.
  
• 
  Kompleks sonlar haqida tushunchalar.
  
• 
  Ratsional funksiyalarni integrallash.
  

Oldingi paragrafda har qanday elementar funksiya integrali yana elementar funksiyadan iborat bo‘lishi shart emas ekanligini misollarda ko‘rsatgan edik. Shu sababli qanday elementar funksiyalarning integrallari elementar funksiyalar orqali ifodalanishini, ya’ni elementar funksiyalarda integrallanuvchi funksiyalar sinflarini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. Ushbu paragrafda bunday funksiyalarning muhim bir sinfini qisqacha ko‘rib o‘tamiz.

1. 
   Ratsional funksiyalar. Ma’lumki ,
   

P_n(x)=a_nxⁿ + a_n–1x^n-1 + a _n–2x^n-2 +… a₁x + a₀ (a_n≠0) (1)

ko‘rinishdagi funksiya ko‘phad deyiladi. Bunda a_n, a_n–1, a_n–2, …, a_1, a₀ o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular ko‘phadning koeffitsiyеntlari , n esa ko‘phadning darajasi deb ataladi.

Masalan, P₃(x)=5x³ –x² +2x+4 – III darajali, P₂(x)=3x² –5x+2 – II darajali, P₁(x)=8x+3 – I darajali ko‘phadlardir.

Izoh: Har qanday o‘zgarmas funksiyani P₀(x)=a₀ – 0-darajali ko‘phad deb qarash mumkin.

1-TA’RIF: Ikkita ko‘phad nisbatidan iborat funksiya ratsional kasr yoki ratsional funksiya deyiladi.

Odatda ratsional kasr R(x) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan,

(2)

ko‘rinishda bo‘ladi.

Masalan,

ratsional kasrlardir.

Izoh: Har qanday Q_m(x) ko‘phadni maxraji P₀(x)=1 bo‘lgan ratsional kasr kabi qarash mumkin va shu nuqtai nazardan ko‘phadlar ba’zan butun funksiyalar deb ataladi.

Ma’lumki, m/n oddiy (sonli) kasrda maxraj suratdan katta, ya’ni n>m bo‘lsa, bu kasr to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri kasr deyiladi. Bu tushuncha ratsional kasrlar uchun quyidagicha kiritiladi.

2-TA’RIF: Agar (2) ratsional kasrda maxrajning darajasi n>m bo‘lsa, u to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri ratsional kasr dеb aytiladi.

Masalan,

to‘g‘ri,

noto‘g‘ri ratsional kasrlar bo‘ladi.

Har qanday noto‘g‘ri m/n (m>n) oddiy kasrni

ko‘rinishda, ya’ni butun son va to‘g‘ri kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin. Xuddi shunday tasdiq noto‘g‘ri ratsional kasrlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi, ya’ni ular uchun ushbu tenglikni hosil qilish mumkin:

. (3)

Bunda L_m–n(x) va G_r(x) ko‘rsatilgan tartibli ko‘phadlar bo‘ladi.

Demak, har doim noto‘g‘ri ratsional kasrni ko‘phad (butun funksiya) va to‘g‘ri ratsional kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin.

Masalan,

noto‘g‘ri ratsional kasr suratini maxrajiga ustun usulida bo‘lib, uni

ko‘rinishga keltira olamiz.

Har qanday ko‘phad darajali funksiyalarning algebraik yig‘indisi sifatida oson integrallamadi va uning integrali yana ko‘phaddan iborat, ya’ni elementar funksiya bo‘ladi. Demak, (3) tenglikka asosan, har qanday ratsional kasrni integrallash masalasi to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasiga olib keladi. Shu sababli kelgusida faqat to‘g‘ri ratsional kasrlarni integrallash bilan shug‘ullanamiz.

2.