N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Aniq integral yordamida jismlar hajmini hisoblash. Maktab geometriyasidan biz faqat eng sodda jismlar bo‘lmish prizma, piramida, konus, silindr va shar hajmlarini hisoblash formulalarini bilamiz. Aniq integral yordamida bir qator murakkabroq jismlarning hajmini hisoblash imkoniyatiga ega bo‘lamiz.

• 
  Jism hajmini uning ko‘ndalang kеsimi yuzasi bo‘yicha hisoblash. Bizga biror J jism berilgan bo‘lib, uni OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar bilan kesganimizda hosil bo‘ladigan kеsimlarning yuzasi ma’lum va bu yuza biror uzluksiz S(x), x[a,b], funksiya orqali ifodalansin. Bu holda J jismning V hajmini topish masalasini qaraymiz. Buning uchun [а,b] kesmani
  

а=х₀ <х₁<х₂< ∙∙∙<х_i-1<х_i< ∙∙∙<x_n=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz va bu nuqtalar orqali OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar o‘tkazamiz. Bu tеkisliklar jismni J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarga ajratadi. Bu qatlamlarning hajmlarini V_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) deb belgilasak, unda izlangan V hajmni V=V₁+V₂+∙∙∙+V_n yig‘indi ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqorida ko‘rsatilgan x_i bo‘linish nuqtalari orqali hosil qilingan har bir [x_i–1, x_i] kesmachalardan (i=1, 2, ∙∙∙, n) ixtiyoriy bir ξ_i nuqtalarni tanlab olamiz. Endi J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarning har birini balandligi x_i =x_i–x_i–1, asosining yuzasi esa S(_i) bo‘lgan silindrik jismlar bilan almashtiramiz. Bu holda V_i S(_i)x_i taqribiy tenglik o‘rinli ekanligini nazarga olsak, yuqoridagi yig‘indidan

taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikda bo‘laklar soni n qanchalik katta va qanchalik kichik bo‘lsa, V_n yig‘indi izlanayotgan V hajm qiymatiga shunchalik yaqin bo‘ladi deb olish mumkin. Shu sababli J jismning hajmi V yuqoridagi V_n yig‘indilar ketma-ketligining n→∞, Δ_n→0 bo‘lgandagi limiti deb olinadi. Unda V_n yig‘indi S(x) funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi ekanligini hisobga olib va aniq integral ta’rifidan foydalanib, berilgan J jismning V hajmini uning ko‘ndalang kesimi yuzasi S(x) bo‘yicha hisoblash uchun quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:

. (8)

Misol sifatida asosining radiusi R, balandligi esa h bo‘lgan doiraviy konusning (79-rasmga qarang) V hajmini (8) formula yordamida topamiz.

Bunda ko‘ndalang kesimlar doiralardan iborat bo‘lib, ularning radiuslari r=Rx/h, x[0,h], funksiya bilan aniqlanadi. Demak, ko‘ndalang kesim yuzasi

S(x)=πr²=π(Rx/h)²

funksiya bilan ifodalanadi. Unda bu konus hajmi uchun, (8) tenglikka asosan,

formulaga , ya’ni bizga maktabdan tanish bo‘lgan natijaga kelamiz.

• 
  Aylanma jismlarining hajmini hisoblash. Endi у=f(x), x[a,b], funksiya grafigi orqali hosil qilingan egri chiziqli trapetsiyaning OX koordinata o‘qi atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan J aylanma jismning (80-rasmga qarang) V hajmini topish masalasini ko‘ramiz.
  

Bunda aylanma jismning ko‘ndalang kesimlari doiralardan iborat bo‘lib, ularning yuzasi S(х)=f ²(x) funksiya bilan ifodalanadi. Demak, (8) formulaga asosan, aylanma jism hajmi V uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:

. (9)

Misol sifatida oldin ko‘rib o‘tilgan doiraviy konusning hajmini yana bir marta hisoblaymiz. Bu konusni uning y=Rx/h tenglamali yasovchisini OX koordinata o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan aylanma jism deb qarash mumkin ya shu sababli, (9) formulaga asosan,

natijaga, ya’ni oldin hosil qilingan formula o‘rinli ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.

Yana bir misol sifatida yarim o‘qlari a va b bo‘lgan ellipsni OX o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladigan ellipsoidning hajmini topamiz. Ellipsning kanonik tenglamasidan (V bob,§3, (7))

ekanligini topamiz. Bu natijani (7) formulaga qo‘yib, ellipsoidning V hajmini hisoblaymiz:

.

Agar bunda a=b=R deb olsak, unda ellipsoid radiusi R bo‘lgan sharga aylanadi va bu holda sharning halmi uchun yuqoridagi natijadan bizga maktabdan tanish bo‘lgan V=4πR³/3 formula kelib chiqadi.

4.