N-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglama

2. Karrali ildizlar holi. Avvalo ga nisbatan, (1) tenglamaning chap tomonidagi L[y] ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Bu yerda - butun son.


1-teorema. Agar soni (5) xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bo‘lsa, u holda
(10)
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
Isbot. Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi
(11)
xususiy hol uchun L[ ] ifodani hisoblaymiz. Buning uchun quyidagi

sodda tengliklardan foydalanib, ushbu

ya’ni
(12)
formulani topamiz.
1. Aytaylik soni, ushbu

xarakteristik ko‘phadning k=2 ikki karrali ildizi, ya’ni
, ,
bo‘lsin. Bu holda (12) tenglikdan

munosabatga ega bo‘lamiz. Demak, ikki karrali ildizga (11) tenglamaning
,
xususiy yechimlari mos keladi.
2. Aytaylik, soni xarakteristik tenglamaning uch karrali ildizi, ya’ni
, ,
bo‘lsin. Qaralayotgan holda (12) formuladan foydalanib,

tenglikni olamiz. Demak, uch karrali ildiz holiga (11) differensial tenglamaning
, ,
ko‘rinishdagi xususiy yechimlariga ega bo‘lamiz.

1-Lemma. Ushbu
(13)
ayniyat o‘rinli. Bu yerda .

Isbot. Ayniyatni isbotlash uchun Leybnisning ushbu

formulasidan foydalanamiz:



Bu tengliklarni mos ravishda larga ko‘paytirib, quyidagi


munosabatlarni hosil qilamiz. Oxirgi tengliklarni hadlab qo‘shish natijasida ushbu



formulani olamiz.■


1-natija. Agar ko‘rinishda bo‘lsa, u holda (13) ayniyat quyidagi ko‘rinishga keladi:
(14)
Agar bo‘lsa u holda
(15)
tenglikka ega bo‘lamiz.
1-natijadan teoremaning isboti kelib chiqadi. Aytaylik, soni (5) xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi, ya’ni
, , …,
bo‘lsin. U holda (14) formuladan
(16)
munosabat kelib chiqadi.
Demak (5) xarakteristik tenglamaning k karrali ildiziga (1) differensial tenglamaning
, , ,…,
ko‘rinishdagi xususiy yechimlar mos kelar ekan.
Faraz qilaylik,

xarakteristik tenglama har xil ildizlarga ega bo‘lib, ular mos ravishda karrali bo‘lsin.