Natural son tushunchasi. Sonlarning ekub I va ekuk I. Sonlarning bo’linish belgilari

Teorema. Ikkita va natural sonlar berilgan bo`lsin, bunda p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, …, p<sub>s</sub> — turli tub sonlar, k<sub>i</sub> va l<sub>i</sub> — daraja ko`rsatkichlar esa nomanfiy butub sonlar. M soni n soniga bo`linidhi uchun barcha i =1, 2, … , s uchun k_i  l_i tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.

Isboti:

 Agar m=nx, bunda xN, bo`lsa, x ning istalgan tub bo`luvchisi p₁, p₂, … , p_s sonlardan biriga teng bo`ladi. Shuning uchun kabi yozish mumkin,bu yerda t_i0.

Bundan .

Natural sonning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasining yagonaligidan k_i=l_i+t_i, bundan esa barcha i=1, 2, 3, … , s uchun k_il_i ekani kelib chiqadi.

 Agar barcha i=1, 2, 3, … , s uchun k_il_i bo`lsa, u holda bo`ladi. Bundan m=nx ekani kelib chiqadi.

Bu teoremadan berilgan sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisini va eng kichik umumiy karralisini topishning yangi uslini beradi.

1. EKUB(m₁,m₂,…,m_r) = , bu yerda barcha i=1,2,…,s lar uchun u_i=min{k_1i,k_2i,…,k_ri}.

Ya’ni, berilgan sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisini topish uchun ularning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasidagi bir xil tub ko`paytuvchilarni eng kichik darajalari bilan olib, ularni o`zaro ko`paytirish kerak.

2. EKUK(m₁,m₂,…,m_r) = , bu yerda barcha i=1,2,…,s lar uchun v_i=max{k_1i,k_2i,…,k_ri}.

Ya’ni, berilgan sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish uchun ularning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasidagi bir xil tub ko`paytuvchilarni eng katta darajalari bilan olib, ularni o`zaro ko`paytirish kerak.

Misol. 91476, 3960 va 3360 sonlarining eng katta umumiy bo`luvchisini toping.

91476	2	3960		2	3360	2
45738	2	1980		2	1680	2
22869	3	990		2	840	2
7623	3	495		3	420	2
2541	3	165		3	210	2
847	7	55		5	105	3
121	11	11		11	35	5
11	11	1		7	7
1	1
91476=2^23^3711^2			3960=2^33^2511		3360=2^5357

Bulardan, EKUB(1476, 3960, 3360)=2²3²5⁰7⁰11⁰=12

Javob: 12

Misol: 462, 252, 90 sonlarining eng kichik umumiy karralisini toping.

462	2	252	2	91	7
231	3	126	2	13	13
77	7	63	3	1
11	11	21	3
1	7	7
1
462=23711		252=2^23^27		91=713

Bulardan, EKUK(462, 252, 91)=2²3²7¹11¹13¹=36036

Javob: 36036.

Berilgan sonning bo`luvchilari sonini aniqlash.

Teorema. sonining barcha natural bo`luvchilari soni (₁+1) (₂+1)… (_k+1) ga teng.

Isbot. n sonining har bir natural bo`luvchisini yagona usulda ko`rinishda yozish mumkin, bunda barcha i=1,2,3, …, k lar uchun _i≤_i. shuning uchun n sonining barcha bo`luvchilari soni (<sub>1</sub>,<sub>2</sub>,<sub>3</sub>, …,<sub>k</sub>) majmuaning mumkin bo`lgan barcha holatlari soniga teng. _i son 0 dan _i gacha _i+1 xil qiymat qabul qiladi, shu sababli mumkin bo`lgan holatlar soni (₁+1) (₂+1)… (_k+1) ga teng.

Misol. 180 sonining barcha natural bo`luvchilari sonini toping.

Yechilishi. 180=2²3²5. (180)=(2+1)(2+1)(1+1)=18

Javob: 18 ta.

Ba’zi ajoyib sonlar

Mukammal sonlar.

Evklid o`zining “Negizlar”ida mukammal sonlar bilan shug`ullangan. U mukammal son deb o`zining xos bo`luvchilari (shu sonning o`zidan boshqa bo`luvchilari) yig`indisiga teng bo`lgan sonlarni atagan. Agar n sonining xos bo`luvchilari yig`indisi (n) bilan belgilansa, mukammal son uchun (n)=n bo`ladi.

Masalan, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14.

Qadimiy greklarga (ikki ming yil oldin) faqat 4 ta mukammal son ma’lum bo`lgan: 6, 28, 496, 8128.

Mukammal sonlarni hosil qilish usuli quyidagi Yevklid-Eyler teoremasida bayon etilgan.

Teorema(Yevklid-Eyler teoremasi). Agar n=2^k-1(2^k-1) (k>1 natural son) bo`lib, 2<sup>k</sup>-1 tub son bo`lsa, n mukammal son bo`ladi.

Baxtli sonlar.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, ... (1)

toq sonlar ketma- ketligidan quyidagicha yangi ketma-ketlik tuzamiz.

u₁=1 va u₁ dan katta bo`lgan eng kichik toq son 3 ni u<sub>2</sub> deb olamiz. Endi (1) ketma-ketlikning har bir uchinchi elementini o`chiramiz. Natijada undagi 5, 11, 17, ... raqamlar o`chirilib,

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, 31, 37, ... (2)

ketma-ketlik hosil bo`ladi. (2) ketma-ketlikning u<sub>2</sub>=3 dan keyingi o`chirilmasdan qolgan elementa 7 ni u₃ deb olamiz: u₃=7. Endi (2) ketma-ketlikning har bir yettinchi elementini o`chiramiz. Natijada

1, 3, 7, 9, 13, 15, 25, 27, 31, 37, ... (3)

ketma-ketlik dosil bo`ladi. (3) da u<sub>3</sub>=7 dan keyin o`chirilmagan hadni u₄=9 deb olamiz. Endi (3) ketma-ketlik­ning har bir 9-hadini o`chiramiz va hokazo. Shu yo`l bilan shunday ketma-ketlikni hosil qilamizki, uning 100 dan kichik bo`lgan hadlari quyidagilardan iborat bo`ladi:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 53, 63,

67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99 (4)

Shu yo`l bilan tuzilgan cheksiz ketma-ketlikning hadlari baxtli sonlar deb ataladi. Baxtli son deb nom be­rilishiga sabab, ularning o`chirilmasdan qrlganligi bo`lsa kerak. (4) ketma-ketlikda cheksiz ko`p tub sonlar bor, degan gipoteza mavjud bo`lsa-da, lekin bu masala hozirgacha isbot qilinmagan. 98600 gacha bo`lgan baxtli sonlar orasida 715 ta tub baxtli son mavjudligi hisoblangan.

Qulay sonlar.

Quyidagi teorema o`rinlidir:

Agar natural son uchun (*) munosabatlar o`rinli bo`lsa, (bunda A, B—natural, , ₁, , ₁ — noldan farqli butun sonlar), u holda n murakkab son bo`ladi (A=B bo`lganda yoyilma  va  larning ishoralari bilan farq qilsalar, ular bir xil yoyilmalar deb qabul qilinadi).

Agar natural n soni uchun (*) ning birinchisi o`rinli bo`lsa, u holda n tub son bo`lmasligi mumkin.

Bu teorema katta ahamiyatga ega, chunki uning yordamida berilgan sonning (*) ko`rinishdagi ikkita yoyilmasini topish natijasida, u sonning murakkabligini aniqlash mumkin bo`ladi. AB ko`paytmaning ayrim qiymatlari uchun yuqorida kel­tirilgan teoremaning teskarisi o`rinli bo`ladi, ya`ni u ko`paytma uchun har qanday murakkab son A<sup>2</sup>+B<sup>2</sup> shaklida ikki xil ajralishga ega bo`ladi.

Eyler quyidagi savolni qo`ygan edi: AB ko`paytmaning qanday qiymatlarida tub son A²+B² shaklda ifodalanadi?

Bu savolga Eyler to`la javob bera olmagan bo`lsa-da, lekin 1 dan 10000 gacha bo`lgan natural sonlar ichida bunday ko`paytmalarning faqat 65 tasi mavjudligini ko`rsatdi va ularni qulay sonlar deb atadi.

14k-1, 14k+9, 14k+11 ko`rinishdagi toq sonlarning tub son bo`lishi uchun. ularning x²+7y² shaklida faqat bir xil yo`l bilan ifodalanishlari isbotlangan, bunda (x,y)=1, 7 esa qulay son.

Misollar.

1) 29=142+1=1²+72²,

37=142+9=3²+72²,

67=144+11=2²+73²;

2) 11=x²+7y² (bunda AB=7), bu hol faqat x=2, y=1 bo`lganda bo`ladi.

41=x²+37y². AB=37, x=2, y=1;

18518809=197²+1848100² tub son. AB= 11848=1848.

Eyler topg`an qulay sonlar quyidagilardir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848. Eyler chidam bilan hisoblashni 100000 gacha davom ettirgan bo`lsa-da, ko`rsatilgan 65 ta qulay sondan boshqa qulay sonlar topilgani yo`q. Bugungi kunda ham faqat shu 65 ta qulay son mavjud.

Qulay sonlar sonining chekliligini matematik Choula isbot qilgan. Lekin ularning qancha ekanligiga aniq ja­vob bera olmaymiz.

Do`st sonlar.

Pifagordan do`st nima deb so`raganlarida, «do`stim — mening o`zim. Bu 220 va 284 larning do`stligi» deb javob bergan ekan.

Bu sonlarning «do`st» ligi nimadan iborat, degan savol­ga javob beraylik.

Arab matematigi Sobit ibn Korra (826-901 yillar) do`st sonlarni hosil qilish qoidasini bergan edi. Keyin­chalik bu qoidani Ferma qaytadan takrorlab, Dekart 1638 yilda nashr etgan edi.

Agar m va n sonlar uchun birining barcha xos bo`luvchilari yig`indisi ikkinchisiga teng bo`lsa, ya’ni (m)= (n) bo`lsa, ular do`st sonlar deb ataladi. Bunda sonning o`zi bo`luvchi sifatida qabul qilinmaydi.

Masalan,

220=1+2+4+71+142 (1, 2, 4, 71 va 142 lar 284 ning xos bo`luvchilari).

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+100, o`ng tomondagi qo`shiluvchi-lar 220 ning xos bo`luvchilaridir.

Demak, 220 va 284 lar — do`st sonlar.

Agar m va n do`st sonlar bo`lsa, u holda m=2^p; n=2^ql bo`lishi kerakligi isbotlangan. Bunda  — natural son, p, q, l — tub sonlar bo`lib, p=(2k+1)²2^2-k-1; q=2^-1+2^+k larga teng bo`lishi kerakligi ham isbotlangan.Bu formulani Sobit ibn Korra ishlab chiqqan.

Agar k=1 deb olinsa, p, q, l tub sonlar uchun p=3²2^2-1-1, q=32^-1-1, l=32^-1 larni hosil qilamiz.  ga har xil qiymatlar berib, k=1 uchun quyidagi jadvalni tuzish mumkin:

	p	q	l	m	n
2	71	5	11	284	220
4	1151	23	47	18416	17296
7	73727	191	383	4437056	9363584

Albatta har qanday  uchun p, q, l lar tub son bo`lavermaydi. Shuning uchun  ni shunday tanlash kerakki, hosil bo`lgan p, q, l lar tub sonlar bo`lsin.  ning qiymati o`sishi bilan p, q, l ning qiymatlari, xususan p tez o`sadi va shuning uchun p tub yoki murakkab ekanligini aniqlash ayrim hollarda qiyin bo`lib qoladi.

Ayrim k=5, 7, 9, ... lar uchun yuqorida keltirilgan jadvalni tuzish juda qiyin.

K`orib o`tilganlardan tashqari do`st sonlarning yana bir necha juftini keltiramiz:

2620 va 2924;

5020 va 5564;

6232 va 6368;

10744 va 10856;

17296 va 18416;

66928 va 66992.

63020 va 76084;

Do`st sonlarni hosil qilishda asosiy qiyinchilik  ning qanday qiymatlarida p, q, l lar tub son bo`lishligini aniqlashdadir. Shuning uchun ham barcha do`st sonlar to`plamini tasavvur qila olmaymiz.

Hozirgi kunda 900 taga yaqin do`st sonlar jufti ma`lumdir. Ular orasida o`zaro tub bo`lgan do`st sonlar mav­jud emas.

Eyler do`st sonlarning 60 juftini topgan edi. Ular orasida har ikkalasi ham juft son bo`lganlari 34 ta va har ikkalasi toq sonlardan iborat bo`lganlari 26 ta. Biri juft, ikkinchisi toq bo`lgan do`st sonlar jufti mav-judmi?

Bu savolga javob topilgani yo`q. Agar bunday do`st sonlar mavjud bo`lsa, ularning har biri 10<sup>23</sup> dan katta bo`lib, mn soni 20 tadan ortiq tub bo`luvchiga ega bo`lishi ;kerakligi isbotlangan.

Tug`ma sonlar

Tug`ma sonlar deb quyidagi yo`l bilan hosil qilinadigan ketma- ketlikning chapdan eng birinchi elementiga aytiladi.

Misol: 13 natural sonni olib unga o`zining raqamlari yig`indisini qo`shamiz: 13+(1+3)=17. Bu songa ham o`zining raqamlari yig`indisini qo`shamiz: 17+(1+7)=25 va hokazo, 13 va hosil bo`lgan sonlardan ketma-ketlik tuzamiz.

Natijada 13, 17, 25, 32, 39, ... (1) ketma-ketlik hosil bo`ladi. Bu ketma-ketlikni o`ng tomonga istagancha davom ettirish mumkin. (1) ketma-ketlikning chap tomoniga ham sonlar yozish mumkinmi, degan savol qo`yamiz.

Buning uchun shunday son topish kerakki, u o`zining raqamlar yig`indisi bilan 13 ni bersin. Bunday son 11 dir. Endi shunday son topish kerakki, u o`zining raqamlari yig`indisi bilan 11 ni bersin. Bunday son 10 dir. Endi 10 ham o`z navbatida 5 va 5 ning raqamlari yig`indisidan ibo­rat. Lekin hech qanday son o`z raqamlari yig`indisi bilan 5 ni bera olmaydi. Demak, (1) ketma-ketlikni chap tomon­ga 5 gacha davom ettirish mumkin.

Shunday qilib, 5, 10, 11, 13, 17, 25, 32, 39, .;. (2) ketma-ketlikni hosil qilamiz va berilgan ta`rifga asosan 5 tug`ma son bo`ladi. (2) ketma- ketlikning hamma elementlari 5 dan tashqari ma`lum qoidaga asosan hosil bo`ladi. 5 soni esa «o`zi paydo bo`lganicha» qolib, undan oldin son paydo bo`lmaydi. Shuniig uchun ham uni tug`ma son deyilgan bo`lsa kerak.

Bir xonali tug`ma sonlar 1, 3, 5, 7 va 9 lar ekanligini osonlik bilan ko`rsatish mumkin. Shunday qilib, quyidagi ketma-ketliklarning birinchi hadlari tug`ma sonlardan iborat:

1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49, ...

3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, ...

5, 10, 11, 13, 17, 25, 32, ...

7, 14, 19, 29, 40, 48, …

10 dan 19 gacha bo`lgan ikki xonali sonlarning birortasi ham tug`ma son bo`la olmaydi (o`ylab ko`ring).

Birinchi ikki xonali tug`ma son 20 dir, chunki raqamlarining yig`indisini qo`shganda 20 hosil bo`ldigan natural son mavjud emas. Natijada 20 tug`ma sondan boshlab quyidagi ketma-ketlik hosil bo`ladi: 20, 22, 26, 34, ...; endi 21 dan 30 gacha bo`lgan ikki xonali sonlarning birortasi ham tug`ma son bo`la olmaydi. Ikki xonali tug`ma sonlar quyidagilardir: 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97. Bularning tug`ma sonlar ekan-ligini hisoblash bilan aniqlash oson.

Ko`p xonali tug`ma sonlar ham mavjud: 132, 143, 233, 929, 1952, 874531 va hokazo.

Egizak tub sonlar

Ma`lumki, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ... (1)

tub sonlar ketma-ketligi cheksizdir.

Bu ketma-ketlikda ketma-ket joylashgan bir juft tub sonlar mavjud: 2 va 3. Boshqa bunday ketma-ket joylash­gan tub sonlar mavjud emas. Lekin ayirmasi 2 ga teng bo`lgan tub sonlar mavjud bo`lib, ular egizak tub sonlar jufti deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtda tub bo`lgan p va p+2 sonlar egizakdir. Masalan, 3 va 5, 5 va 7, 11 va 13, 17 va 19 va hokazo. 100 000 gacha bo`lgan natural sonlar orasida 1224 ta egizak tub sonlar jufti, 1000 000 gacha bulgan natural sonlar orasida esa 8164 ta egizak tub sonlar jufti mavjud.

Angliya matematigi Glesher hisoblash natijasida 8000000 va 8100000 sonlari orasida 518 ta egizak tub sonlar jufti mavjudligini ko`rsatgan.

1958 yilda V. A. Golubev n=810⁶ gacha bo`lgan natu­ral sonlar orasida 48619 ta egizak tub sonlar jufti mavjudligini hisoblagan.

30 000 000 gacha bo`lgan natural sonlar ketma-ketligida 152 892 ta egizak tub sonlar jufti mavjud.

(1) da egizak tub sonlar jufti qancha, degan savolga angliyalik matematiklar Xardi va Litlvudlar “egizak tub sonlar juftligi cheksiz ko`p” - deb javob berishgan. Bu fikrni hozirgi vaqtda egi­zak tub sonlar gipotezasi deb yuritiladi.

Natural sonlar bo`linishining sodda xossalari

1-lemma. Agar b soni c ga bo`linsa va a soni b ga bo`linsa, u holda a soni c ga bo`linadi.

Isbot: Lemma shartidan b=cq₁ va a=bq₂ kelib chiqadi, bunda q₁,q₂Z . Bundan a=bq₂= cq₁q_2.

q₁q₂=q deb belgilasak, a= cq₁q₂=cq, qZ.

2-lemma. Agar m=a+b bo`lib, m va a sonlarning har biri d soniga bo`linsa, u holda b soni ham d soniga bo`linadi.

Isbot: Lemma shartiga ko`ra m=dq<sub>1</sub> va a=dq<sub>2</sub>, bunda q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>Z. m=a+b tenglikda b=( q<sub>1</sub>-q<sub>2</sub>)d. Demak, b soni d ga bo`linadi.

Natural sonlarning bo`linish belgilari

1. 0, 2, 4, 6, 8, лар (жуфт рақамлар) билан тугайдиган сонлар 2 га бўлинади. Мисол 12, 24, 30,…

2. Рақамлар йиғиндиси 3 га бўлинадиган сонлар 3 га бўлинади. Мисол: 1) 312; 3+1+2=6; 6 учга бўлинади, демак 312 ҳам 3 га бўлинади. 2) 78542; 7+8+5+4+2=26; 26 учга бўлинмайди, демак 78542 ҳам 3 га бўлинмайди.

3. Охирги икки рақами 4 га бўлинадиган сонлар 4 га бўлинади: 1) 724; 1336. 24 ва 36 тўртга бўлинади, демак 724 ва 1336 ҳам 4 га бўлинади.

2) 1314; 2134; 14 ва 34 тўртга бўлинмайди, демак 1314 ва 2134 ҳам 4 га бўлинмайди.

4. Охирги учта рақами 8 га бўлинадиган сонлар 8 га бўлинади: 1) 2184; 184 саккизга бўлинади, демак 2184 ҳам 8 га бўлинади. 2) 2174; 174 саккизга бўлинмайди, демак 2174 ҳам 8 га бўлинмайди.

5. 6 ga bo’linish belgisi.

Agar biror natural son 2 ga ham, 3 ga ham qoldiqsiz bo’linsa, bu son 6 ga qoldiqsiz bo’linadi.

Misol. 1224; 12378; 10002 sonlarining har biri ham 2 ga, ham 3 bo’linadi. Shuning uchun ular 6 ga qoldiqsiz bo’linadi. (Buni tekshirib ko’rish o’quvchilarga tavsiya etiladi.)

6. 7 ga bo’linish belgisi.

Agar berilgan natural sonning oxirgi uchta raqami ifodalaydigan son bilan qolgan raqamlari ifodalaydigan sonning (yoki aksincha) ayirmasi 0 ga teng bo’lsa, yoki 7 ga teng bo’lsa, bu son 7 ga qoldiqsiz bo’linadi.

Misol. 1) 296 324 soni 7 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki oxirgi uchta raqamidan iborat 324 soni va qolgan raqamlardan iborat son 296 ning ayirmasi

324-296=28.

28 soni esa 7 ga qoldiqsiz bolinadi.

2) 423423 soni ham 7 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki 423-423=0

( tekshirib ko’rish o’quvchilarga tavsiya etiladi.)

7. 11 ga bo’linish belgisi.

Agar berilgan natural sonning oxirgi uchta raqami ifodalaydigan son bilan qolgan raqamilari ifodalaydigan sonning (yoki aksincha) ayirmasi 0 ga teng bo’lsa, yoki 11 ga teng bo’lsa, bu son 11 ga qoldiqsiz bo’linadi.

Misol. 1) 965976 soni 11 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki 976-965=11

2) 2178 soni ham 11 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki 178-2=176. 176:11=16(176 soni 11 ga qoldiqsiz bo’linadi).

8. 13 ga bo’linish belgisi.

Agar berilgan natural sonning oxirgi uchta raqami ifodalaydigan son bilan qolgan raqamilari ifodalay-digan sonning (yoki aksincha) ayirmasi 0 ga teng bo’lsa, yoki 13 ga teng bo’lsa, bu son 13 ga qoldiqsiz bo’linadi.

Misol. 1) 4602 soni 13 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki 602-4=596 va 596:13=46.

2) 126568 soni 13 ga qoldiqsiz bo’linadi, chunki 569-126=442 va 442:13=34.

(tekshirib ko’rish o’quvchilarga tavsiya etiladi.)

9. Рақамлар йиғиндиси 9 га бўлинадиган сонлар 9 га бўлинади: 1) 31248; 3+1+2+4+8=18; 18 тўққизга бўлинади, демак 31248 ҳам 9 га бўлинади. 2) 3127; 3+1+2+7=13; 13 тўққизга бўлинмайди, демак 3127 ҳам 9 га бўлинмайди.

10. 0 ёки 5 билан тугайдиган сонлар 5 га бўлинади. Мисол: 10; 15; 25; …

11. Агар сон 2 га ва 3 га бўлинса, 6 га хам бўлинади. Мисол: 18; 66; 72; …

12. 0 билан тугайдиган сонлар 10 га бўлинади.

Мисол: 10; 20; 110; 230; …

13. Охирги икки рақами 25 га бўлинадиган сонлар 25 га бўлинади. Мисол: 125; 1350; 5375; …

14. Охирги уч рақами 125 га бўлинадиган сонлар 125 га бўлинади. Мисол: 375; 6625; 16375; …

15. Агар соннинг жуфт ўринда турган рақамлар йиғиндиси билан тоқ ўринда турган рақамлар йиғиндисининг айирмаси 11 га бўлинса, бундай сонлар 11 га бўлинади. Мисол: 242; 378653; …