Natural sonlarga va progressiyaga doir masalalar

3. FOIZ MIQDORLI MASALALAR
Ko‘p hollarda eritma (aralashma, qotishma va hokazo) moddalar haqida bo‘lib, undagi yechish usuli umuman boshqa tipdagi algebraik masalalarda ham tatbiq etilishi mumkin. Bu yerda eritma (boshqa moddalarga ham taalluqli) fizik va ximik qonuniyatlar bo‘yicha har doim to‘g‘ri bo‘lmasa ham ushbu xossalarga ega deb hisoblanadi: 26 a) Barcha hosil bo‘lgan eritmalar bir jinsli bo‘ladi; b) 𝑉1 hajmli (𝑚1 massali yoki 𝑃1og’irlikdagi) bir eritma ikkinchi 𝑉2 hajmli (𝑚2 massali yoki 𝑃2 og’irlikdagi) eritmaga qo’shilsa, natijada 𝑉0 = 𝑉1 + 𝑉2 hajmli (𝑚0 = 𝑚1 + 𝑚2 massali yoki 𝑃0 = 𝑃1 + 𝑃2 og’irlikdagi) eritma hosil bo’ladi . 𝑘1 = 𝑉1 𝑉0 , 𝑘2 = 𝑉2 𝑉0 miqdorlar birinchi va ikkinchi eritma umumiy eritmaning qancha qismini tashkil etishini bildiradi va bunda 𝑘1 + 𝑘2 = 1 bajariladi. 𝑘1 va 𝑘2 lar birinchi va ikkinchi eritmaning umumiy eritmadagi konsentratsiyasi deyiladi. 𝑝1 = 𝑘1 ∙ 100% va 𝑝2 = 𝑘2 ∙ 100 lar shu eritmaning har birining konsentratsiyasining foiz miqdorini beradi. Bunda 𝑉𝑜 = 𝑘1𝑉𝑜 + 𝑘2𝑉𝑜, 𝑝1 + 𝑝2 = 100% tengliklar o‘rinlidir. Bu fikrlarni n ta eritma uchun umumlashtirsa ham bo‘ladi: 𝑉𝑜 = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉𝑛, 𝑘𝑖 = 𝑉𝑖 𝑉𝑜 (𝑖 = 1,2 … , 𝑛), 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑛 = 1 𝑝𝑖 = 𝑘𝑖 100% (𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛) va 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 100%. Foizga doir masalalrni yechish uchun takliflar 1. Ishchining maoshi 𝑎 so‘m. Uning maoshi 𝑝% ga oshirilsa, u (1 + 𝑝: 100) ∙ 𝑎 so‘m maosh oladi. 2. Mahsulotning bahosi 𝑎 so‘m. Uning bahosi 𝑝% ga kamaytirilsa, u (1 − −𝑝: 100) ∙ 𝑎 so‘m turadi. 3. Agar ishchining maoshi avval 𝑝% ga, so‘ngra 𝑞% ga oshirilsa, ishchining maoshi 𝑝 + 𝑞 + 𝑝𝑞: 100 foizga oshadi. 4. Agar mahsulotning avvalgi bahosi avval 𝑝% ga, so‘ngra 𝑞% ga kamaysa, mahsulotning dastlabki bahosi 𝑝 + 𝑞 − 𝑝𝑞: 100 foizga kamayadi. 1-masala.20 kg li mis qotishmada mis 40% ni tashkil etadi. Unga necha kg qo‘rg‘oshin qo‘shilsa, qotishmaning 20% ini mis tashkil etadi? Yechish: 𝑥 kg deb so‘ralayotgan qo‘rg‘oshin miqdorini belgilasak, (20 + 𝑥) kg qotishmaning 20% i mis bo‘lishi talab 27 qilinadi. Unda 20+𝑥 100 ∙ 20 kg mis bor. Dastlabki 20kg li qotishmaning 40% i mis edi, demak, uning tarkibida 20 100 ∙ 40 kg mis bor. Lekin hosil qilinishi kerak bo‘lgan va berilgan qotishmadagi og‘irlikdagi misning massasi bir xil bo‘ladi: 20 + 𝑥 100 ∙ 20 = 20 100 ∙ 40 ⇒ 𝑥 = 20 𝑘𝑔. Demak, berilgan qotishmadagi 20 kg qo‘rg‘oshin qo‘shish lozim. Javob:20 kg 2-masala. Ikki bo‘lak qotishmaning har biri mis va nikeldan tayyorlangan bo’lib, birinchisida 20%, ikkichisida 40% mis bor. Tarkibida 35% mis bo’lgan qotishma tayyorlash uchun ularning har biridan qanchadan (kg) olish kerak? Yechish: Birinchi qotishmada 𝑘1 = 20 100 = 1 5 , ikkinchisida 𝑛1 = 40 100 = 2 5 konsentratsiyada mis bo’lib, tarkibida 35% mis bo’lgan qotishma tayyorlash uchun ularning biridan 𝑥 kg, ikkinchisidan 𝑦 kg qotishma olish kerak bo’lsin. U holda 𝑥 = 𝑘1𝑥(kg mis) + 𝑘2𝑥(kg nikel), 𝑦 = 𝑛1𝑦(kg mis) + 𝑛2𝑦(kg nikel) Bo’lib, tayyorlanyotgan 𝑥 + 𝑦 kg li qotishmada 𝑘1𝑥 + 𝑛1𝑦 kg mis bor. Unda 𝑘1𝑥+𝑛1𝑦 𝑥+𝑦 ga teng konsentratsiyali mis bor b’lib , u 35% li bo’lishi kerak: 𝑘1𝑥+𝑛1𝑦 𝑥+𝑦 = 35 100 . Buni 𝑥 𝑦 ga nisbatan yechsak: 𝑥 ∶ 𝑦 = 7 ∶ 3 ni hosil qilamiz. Javob: Biridan 7𝑎 ikkinchisidan 3𝑎 kg olinishi kerak (𝑎 > 0). 3-masala. Ikki xil metaldan tayyorlangan birinchi qotishma 3 ∶ 4, ikkinchisi 4 ∶ 1 nisbatdadir. Bu qotishmalardan qanchadan bo’lak olinsa yangi qotishmada metallar nisbati 3 ∶ 1 nisbatda bo’ladi? Yechish: Birinchisidan 𝑥, ikkinchisidan u bo’lak olinsa, metallarning birinchisi 3 7 𝑥 + 4 5 𝑦, ikkinchisi 4 7 𝑥 + 1 5 𝑦 bo’lak olingan. 28 Ana shu bo’laklar nisbati ( 3 7 𝑥 + 4 5 𝑦) ∶ ( 4 7 𝑥 + 1 5 𝑦)=3 ∶ 1 kabi bo’lishi kerak. Uni 𝑥 𝑦 ga nisbatan yechsak 𝑥 ∶ 𝑦 = 7 ∶ 45 ni topamiz Javob: 𝑥 = 7𝑎, 𝑦 = 4𝑎 (𝑎 > 0) dan olinadi. 4-masala. 18 l hajmli azot va geliy aralashmasining 20% ini azot tashkil etadi. Bu aralashmadan biror qismi, olinib, o’rniga shuncha miqdorda geliy solindi. Hosil bo’lgan bu aralashmadan yana shuncha miqdorda aralashma olinib, yana o’rniga geliy to’ldirildi. Natija 10% azotli aralashma hosil bo’ldi. Har safar necha litr aralashma olingan? Yechish: Aralashmada 0,20 konsentratsiyali azot bo’lib, undan 𝑥 litr olinib, o’rniga shuncha litr geliy solingan. Birinchi tajribadayoq (18 − 𝑥) ∙ 0,20 litr azot qolgan. Geliy solingandan keyin uning konsentratsiyasi (18−𝑥)∙0,20 18 ga teng. Ikkinchi tajribada (18−𝑥) ∙ (18−𝑥)∙0,20 18 teng azot qolgan.Uning foiz miqdori 10% bo’lgan (18−𝑥) ∙ (18−𝑥)∙0,20 18 ∙ 100% = 10%. Bu yerdan 𝑥1 = 15 𝑙, 𝑥2 = 21 𝑙 .Masala ma’nosi faqat 𝑥1 = 15 𝑙 mos keladi. Javob:15 𝑙 Izoh. Umuman olganda,𝑉0 litr aralashmada 𝑘 konsentratsiyali modda bo’lsin va undan 𝑎 litr olinib, o’rni boshqa turdagi modda bilan to’ldirilsin. Bu ish tartibi 𝑛 marta takrorlansa, u holda shu modda konsentratsiyasi 𝑘𝑛 = 𝑘 ∙ (1 − 𝑎 𝑉0 ) 𝑛 ga tengdir. 5-masala. Uch eritmadagi spirtlarning og’irlik bo’yicha foiz miqdorlari geometrik progressiyani tashkil qiladi. Agar birinchi, ikkinchi va uchinchi eritmalarni 2: 3: 4 nisbatda o’zaro qo’shsak, natijada 32% li eritma,3: 2: 1 nisbatda qo’shsak, 22% li eritma hosil bo’ladi. Birinchi eritmaning necha foiz ekanligini toping. 29 Yechish: 𝑥%, 𝑦%, 𝑧% deb eritmalarning mos ravishda foizlarini belgilasak, 𝑥 ∶ 𝑦 = 𝑦 ∶ 𝑧 dan 𝑦 2 = 𝑥𝑧 ni topamiz. 1gramm birinchi eritmada 𝑥 100 g, ikkinchisida 𝑦 100 g, uchinchisida 𝑧 100 g spirt bor,u holda masala shartiga ko’ra: 2∙ 𝑥 100 + 3 ∙ 𝑦 100 + 4 ∙ 𝑧 100 = 9 32 100 ; 3 𝑥 100 + 2 𝑦 100 + 1 𝑧 100 = 6 22 100 . Tuzilgan bu uchala tenglamalardan ushbu sistema hosil qilinadi: { 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 288 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 132 𝑦 2 = 𝑥𝑧 ⇔ { 𝑦 = 48 − 2𝑥 𝑧 = 36 + 𝑥 𝑥 2 − 76𝑥 + 768 = 0 Sistema yechilib, masala ma’nosiga mos 𝑥1 = 12, 𝑦1 = 24, 𝑧1 = 48 yechim topiladi. Birinchi eritma 12% li ekan. 6-masala. Ishchi omonat bankka saqlash uchun 5000 so’m qo’ydi. Oradan bir yil o’tgandan keyin uning puliga foiz pulini qo’shdilar va shu vaqtning o’zida u omonatini yana 5000 so’mga ko’paytirdi, yana bir yil o’tgandan keyin esa u to’plangan foiz pullarini berishni so’radi. Agar ishchi 302 so’m foiz puli olib, yangi muddatga 1000 so’m qoldirgan bo’lsa, omonat banki bir yilga necha foiz to’laydi? Yechish: Bank yiliga p foiz to’laydi deb olsak: 1-yili ishchining foiz pullari: p p 50 100 5000 =  so’m 2-yili ishchining foiz pullari: 2 (200 ) 100 (10000 50 ) 100 (5000 50p 5000) p p p + p  p = +  = + +  so’m 2 yillik foiz pullari: 2 (200 ) 50 p p p + + so’m 2 (200 ) 50 p p p + + = 302 shu tenglamadan p ni topsak p=-302 hamda p=2 yechimlarga olamiz. p=-302 chet ildiz bo’lganligi uchun tenglamaning yechimi sifatida p=2 ni olamiz. Javob: 2% 30 7-masala. Narxi a so’m bo’lgan mol avval 20% ga, so’ngra 10 % ga qimmatlashdi, keyin esa narx 20% ga arzonlashdi. Hozir shu mol necha so’mdan sotilyapti? Molni dastlabki narxda sotish uchun narxni necha foizga arzonlashtirish kerak? Yechish: 1) 20% qimmatlashgach 1,2a so’m bo’ldi. Yana 10% qimmatlashgach 1,2a 1,1=1,32a so’m bo’ldi. Keyin 20% arzonlashgach 1,32a 0,8 =1,056a so’m bo’ldi. 2) 1,056a − a = 0,056a so’mga arzonlashtirish kerak. 0,056a so’m 1,056a so’mning necha foizi ekanini topamiz: % 33 10 5 1,056 0,056 100 =  a a Javob: 1,056a so’m; 33 8 5 % ga 8-masala. Yangi uzilgan bodringdagi suv miqdori 99% ga teng. Bodringlar omborxonada turib nami qochdi va hozir undagi suv 98% ni tashkil etadi. Avval 1 sr bo’lgan bodring hozir necha kilogramm bo’lib qoldi? Hozir 1 sr bo’lgan bodring avval qancha bo’lgan? Yechish: Bunday tipdagi masalalarda mahsulotning quruq massasi og’irligini topib ishlash oson. Chunki quruq massa og’irligi o’zgarmaydi. 99% suv edi – 1 % quruq massa 98% suv bo’lganda – 2% quruq massa 100 kg ning 1% ini topamiz:1 kg. 1 kg bu bodring qurimasdan oldingi quruq massa. Bodring nami qochgandan so’ng ham tarkibidagi quruq massa 1 kg ga teng. Endi bu 1 kg mahsulotning 2 % ini tashkil etadi. Shunga ko’ra mahsulotning 100% og’irligini topamiz: 1kg – 2 % x – 100% x=50kg Xuddi shunday yondashib masalaga qo’yilgan ikkinchi savolga ham javob topamiz. 100 kg ning 2 % quruq massasi bu 2 kg ga teng. Endi 2 kg ni 1 % deb olib 100 foiz og’irlikni topamiz: 2 kg – 1 % x – 100% x=200 kg=2sr Javob: 50 kg, 2 sr 31 9-masala. Idishda kislotaning 10 % li eritmasi bor edi. Idishdan undagi suyuqlikning 3 1 qismi boshqa idishga olindi va birinchi idishga avvalgi hajmining 6 5 qismiga yetguncha suv quyildi. Endi idishda kislotaning necha foizli eritmasi hosil bo’ldi? Yechish: Idish hajmini V deb olamiz. Suyuqlikning 3 1 qismi olingach, 3 2 qismi qoladi. Ya’ni V V V 3 2 3 1 − = . 6 5 qismi to’lgunicha V V V 6 1 3 2 6 5 − = qism suv quyish kerak. Endi o’rta vaznli qiymat formulasi bo’yicha kislotaning foiz eritmasini topamiz: 8% 6 1 3 2 0% 6 1 10% 3 2 = +  +  V V V V Javob: 8 % 10-masala. Ishchining maoshi dastlab 20% ga, so‘ngra yana 20% ga oshirilgan bo‘lsa, uning maoshi necha foizga oshgan? Yechish: Foizga doir masalalrni yechish uchun takliflarning 3-qoidaga ko‘ra ishchining maoshi 20 + 20 + 20 ∙ 20: 100 == 44% ga oshgan. Javob:44% 11-masala. Talabaning stipendiyasi 120 ming so‘m. Agar uning stipendiyasi 20% ortsa , u necha ming so‘m stipendiya oladi? Yechish: Foizga doir masalalrni yechish uchun takliflarning 1-qoidaga ko‘ra talabaning stipendiyasi (1 + 20: 100) ∙ 120 = 144 ming so‘m bo‘ladi. Javob:144 12-masala. Go’sht qaynatilganda o’z vaznining 40% ini yo’qotadi. 6 kg go’sht qaynatilganda vazni necha kg kamayadi? Yechish: 6 ning 40% ini hisoblaymiz: 6 100 ∙ 40 = 2,4. Demak, 2,4 kg kamayadi. Javob:2,4. 32 13-masala. Institutdagi talabalarning 35% ini qizlar tashkil etadi. Yigitlar qizlardan 252 taga ko‘p. Talabalarning umumiy sonini toping. Yechish: Masala shartidan talabalarning 65% i yigitlar ekanligi kelib chiqadi. Yigitlar qizlardan 30% ga ko‘p. Agar jami talabalar sonini 𝑥 desak, u holda 𝑥 100 ∙ 30 = 252 bo‘ladi. Bu yerdan 𝑥 = 840. Javob: 840. 14-masala. Firma mahsulotini 380 so‘mga sotib, 4% zarar qildi. Shu mahsulotning tannarxini toping. Yechish: Mahsulotning tannarxi 𝑥 bo‘lsin, u holda 𝑥 − 𝑥 100 ∙ 4 = 380 bo‘ladi. Bu yerdan 𝑥 = 395 5 6 . Javob: 395 5 6 15-masala. 𝒙(𝒙 > 𝟎) ga teskari bo‘lgan son 𝑥 ning 36% ini tashkil etadi. 𝑥 ning qiymatini toping. Yechish: Masala shartidan 1 𝑥 = 36𝑥 100 tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan 𝑥 2 = 100 36 ⇔ 𝑥 = 10 6 = 1 2 3 . Javob:𝟏 𝟐 𝟑 Mustaqil bajarish uchun masalalar. 2-topshiriq 1. 6 litrli idishda 4 litr 70% oltingugurt kislota eritmasi bor. Huddi shunday ikkinchi idishda 3 litr 90% li oltingugurt kislota eritmasi bor. Birinchiga ikkichidan necha litr quyilsa 𝑟% li eritma hosil bo’ladi ? 𝑟 qanday bo’lganda masala yechimga ega? 2. 𝑎 moddaning hajmi 𝑏 va 𝑐 moddalar hajmlari yig’indisining yarmini,𝑏 moddaning hajmi esa 𝑎 va 𝑏 moddalar hajmlari yig’indisining 20% ini tashkil qiladi. 𝑐 modda hajmining 𝑎 va 𝑏 moddalar hajmlari yig’indisiga nisbatini toping. 3. 40% li kislota eritmasini 10% li kislota eritmasiga aralashtirib ,20% li eritma hosil qilindi. Eritmaning og’irligi 800 g. Har bir eritmadan qanchadan olingan? 33 4. Ikki xil po’lat: biri 5%, ikkinchisi 10% nikelli bo’lib, ikkinchisinikida birinchisiga qaraganda 4 tonna nikel ko’p. 8% qotishma tayyorlash uchun har biridan qanchadan olish kerak.? 5. 735 gramm spirtda 16% yod bor, unga qancha spirt qo’shsa , 10% li yod hosil bo’ladi? 6. 500 kg rudada temir bor. Undan 12,5% li temir bo’lgan aralashmani ajratib olinganda, qolgani 300 kg ni tashkil qildi. Natijada qolgan rudaning temiri konsentratsiyasi 20% ga ko’paydi. Rudada necha kilogramm temir qolgan? 7. Rudaning 40% i aralashma bo’lib, undan olingan metallda esa 4% aralashma bor. 24 tonna rudadan necha tonna metal tushadi? 8. Zichligi 2 𝑔 𝑠𝑚3 ⁄ va 3 𝑔 𝑠𝑚3 ⁄ bo’lgan suyuqliklardan aralashma hosil qilinadi. 4𝑠𝑚3 aralashmaning massasi birinchi suyuqlik massasidan 10 marta yengil ,50𝑠𝑚3 aralashma esa ikkinchi suyuqlik massasiga teng massada. Aralashmaning zichligini va uni hosil qilishga ketgan har bir suyuqliklar massasini toping. 9. Institutda 3 yil davomida yiliga bir xil foizdan talabalar soni oshib bordi va shu davrda 5000 da 6665 kishiga yetdi. Talabalar soni yiliga necha foiz (necha talaba) dan qo’shilib brogan? 10. Xizmatchining bir xil foizdan ikki marta oylik maoshi oshib, 100 so’mdan 125 so’m 44 tiyin yetdi. Oylik maosh har safar necha foizdan oshgan? 11. Ikki qotishma berilgan: birida metallar 1 ∶ 2, ikkinchisida esa shu metallar 3 ∶ 2 nisbatda aralashgan.8 ∶ 7 nisbatli qotishma hosil qilish uchun qotishmalarni qanday nisbatda olish kerak? 12.𝐴,𝐵, 𝐶 elementlardan tashkil etilgan uch aralashma berilib, birida massalari bo’yicha 𝐴 va 𝐵 lar 3 ∶ 5, ikkinchisida 𝐵 va 𝐶 lar 1 ∶ 2, uchinchisida 𝐴 va 𝐶 lar 2 ∶ 3 nisbatda.𝐴,𝐵 va 𝐶 elementlar massalari bo’yicha 3 ∶ 5 ∶ 2 nisbatli aralashma hosil qilish uchun, bu aralashmalarni massalari bo’yicha qanday nisbatda olish kerak? 34