Natural va butun sonlar

3 - §. Tub va murakkab sonlar.
Tub sonlar bu cheksiz natural sonlar ichida qanday qonuniyat bilan taqsimlanganini hali hech kim aniqlay olmagan. Lekin ba’zi tub sonlarni quyidagicha qonuniyat bilan yozish mumkin.
p = 4k+1 va p = 6k+5
Buni misollarda o’zingiz sinab ko’ring.
Agar siz berilgan N natural sonni murakkab yoki tub son ekanligini aniqlashiz uchun bu sonni dan kichik bo’lgan barcha tub sonlarga bo’lib ko’rishingiz kerak. Agar hech qaysi tub songa bo’linmasa, unda bu natural son tub son bo’ladi.
Har qanday murakkab sonni tub ko’paytuvchilarga ajratish mumkin. Uning umumiy ko’rinishi (kanonik yoyilmasi ) quyidagicha bo’ladi.
n = (bunda p₁, p₂ …….p_k – tub sonlardir). (3)
Bu n natural sonning natural bo’luvchilari soni quyidagicha topiladi.


Agar sizda n natural sonini tub ko’paytuvchilarga ajratilgan holati ma’lum bo’lsa, siz sonini natural bo’luvchilari sonini quyidagicha aniqlashiz ham mumkin.



N natural sonining natural bo’luvchilari yig’indisini topish uchun bu sonni eng avvalo tub ko’paytuvchilarga ajratish kerak ya’ni yuqoridaga (3) orqali ko’rinishda keltirish kerak.
S(n) =
N natural sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi quyidagicha topiladi.

P(n) =

1 dan n gacha bo’lgan natural sonlar ichida n soni bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlar soni quyidagicha topiladi.


Agar n! = ko’rinishda yoyilgan bo’lsa, (bunda p₁, p₂ …….p_k – tub sonlardir)


aniqlanadi. ( [x] – x sonining butun qismi)
Fermning kichik teoremasi
Ixtiyoriy p tub soni va ixtiyoriy a natural soni uchun a^p – a soni p soniga qoldiqsiz bo’linadi.
Yoki yuqoridagi teoremaning boshqacha ko’rinishi quyidagicha;
a^p-1-1 soni p soniga qoldiqsiz bo’linadi. Bunda p tub son va a soni p soniga bo’linmaydi.
Misol: 5¹⁰² sonini 103 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.
Yechimi: Fermning kichik teoremasiga asosan 5¹⁰²-1 soni 103 soniga qoldiqsiz bo’linadi. Demak 5¹⁰²-1+1 o’zgartirish kiritib qoldiq 1 bo’lishini ko’rish qiyin emas.