Nazariy fizika kursi

7 .6 .  Kanonik  almashtirishlar
7.6.1.  Ta’rif.  Hosil  qiluvchi  funksiyalar
A w a l   aytgan  edikki,  Lagranj  form alizm idagi u m u m la s h g a n   k o o rd i­
natala r 
q.
  ni  ixtiyoriy  ravishda  tanlab  olish  m u m k in ,  h a ra k a t  tengla- 
m alarining  u m u m iy   k o ‘rinishi  bu n g a  bog'liq  em as.  U l a r   ustid a  h atto 
vaqtga  bog'liq  b o 'lg a n   alm ashtirishlarni  h a m   bajarish  m u m k in :
b u n d a  
q
  —  eski  k o ordinatalar, 
Q  —
  yangi  k o o rd in a ta la r  ((1.2)-m isolga 
qarang).
K a n o n ik   form alizm i 
2s
  o 'lc h a m li 
(qrp ) ,   i = l, .. . , s
  fazo  tilida  ifoda- 
lanadi.  B u n d ay   m a te m a tik  fazo 
fazaviy fazo
  deyiladi.  B u fazoni  tashkil 
qiluvchi 
q
 va 
p
  ko o rd in atlar teng  huquqlidir.  U ia rn in g   teng  huquqliligi 
yangi  im k o n iy a tla rg a  olib  keladi.  Quyidagi  m a te m a t i k   alm ashtirish 
y o rd a m id a
bu fa zoda yangi  koordinatalarga o ‘tish  m u m k in .  Yangi  koord in ata la rg a 
o 't i s h d a n   asosiy  m aqsad  ularni  s h u n d ay  tan lab   olishki,  u iarning  ichida 
m u m k in   q a d a r k o ‘p ro q  siklik 
Q.
  l a r b o ‘lsin.  M asa la n , 
Q t
 siklik  k o o rd i­
nata b o ‘lib chiqdi  deylik.  U n g a   mos keluvchi  impuls bu h o ld a o'z garm as 
harak at  integrali  bo'ladi: 
Pt
  =   const.  Asosiy  m aqsad,  y u q o rid a   aytilga- 
nidek,  yangi  k o o rd in a ta la rn i  s h u n d ay  tanlab  olishki,  u ia rn in g   h am m asi 
siklik  b o 'lib   chiqsin.  Bu  h o ld a 
5
  ta  harakat  integralini  t o p g a n   b o 'la m iz , 
h a ra k a t  tenglam alari  darhol  integrallanadi.
K o o rd in a ta   va  im pulslarni  (7.154)  fo rm u la  b o 'y i c h a   o'zgartiril- 
g a n d a   u m u m iy   h o ld a   G a m ilto n   funksiyasi  h a m   o'z garishi  tu rg a n   gap: 
Я - > Я 7,  a m m o   b u   a lm a s h tiris h la rg a   q o 'y i la d i g a n   asosiy  t a la b   — 
u iarn in g   natijasida  harakat  tenglam alari  o 'z   k o 'rin ish in i  saqlab  qolishi 
kerak:
Qi
 =6,(^0.
(7.153)
Qi  = Q i ( q , p , t ) ,  
p
^
p
^
p
, t)
(7.154)
(7.155)
213

B u nday xossaga ega b o 'ig a n   a lm ashtirishlar 
kanonik almashtirishlar 
deyiladi.  A lm ashtirishla rning  k an o n ik lik   shartini  keltirib  chiqaraylik.
(7.139)  —(7.141)  fo rm u la la r  b o 'y i c h a   k a n o n ik   te n g l a m a la m i   quyidagi 
variatsion  p rin sip d a n   keltirib  c hiqarilga n  edi:
G a m i l t o n   t e n g l a m a l a r i n in g   k o 'r in i s h i  
o 'z g a r m a s i n   d e y ilsa   y an g i 
o'z garuvchilarga  h a m   liuddi  sh u   prin sip n i  q o 'llas h   kerak:
Bu  ikkala  variatsiya  b itta  haq iq iy   h a ra k a t  trayektoriyasiga  olib  kelishi 
kerak,  faqatgina,  bu  trayektoriya  h a r  xil  o 'z g a ru v c h ila r tilida yozilgan. 
Ikkala  variatsiya  nolga  te n g   b o 'lish i  u c h u n   integral  osti  ifodalar  b ir- 
biridan  k o o rd in a ta   va  im pu lslarn in g   funksiyasi  b o 'ig a n   fu n k siyaning 
to 'liq   differensialigagitia  farq  qilishi  m u m k in .  Bu  h o ld a   b ir  integral 
ikkinchisidan  shu  funksiyaning  chegara  nuqtalardagi  o 'z g a rm a s qiym at- 
larigagina  farq  qiladi.  O 'z g a rm a s   s o n n in g   variatsiyasi  n olga  tengdir. 
D e m a k 1:
p,dq, -  PjdQt + ( H ' - H ) d t
 = 
dF.
 
(7.158)
P aydo  b o 'ig a n   funksiya 
F
  k a n o n ik   alm ash tirish larn in g  
hosil  qiluvchi 
funksiyasi  deyiladi.  K o 'r i n ib   tu ribdiki 
F =  F{q,Q,i)
  va
dF
 
_ 
dF 
dF
<7Л591
Bu  b ird an   bir  m u m k i n   h o lm i?   Y o 'q ,   hosil  qiluvchi  funksiyaning  argu- 
m en tlarin i  b o s h q a c h a   qilib  h a m   t a n la b   olish  m u m k in .  B u n in g   u c h u n  
(7.158)  ch a p   t o m o n id a g i 
—P d Q }
  h a d n i   o 'n g   to m o n g a   o 'tk a z ila d i  va 
shu  to m o n n i
dF
 + 
P,dQ,
  = 
d(F +
 Щ . ) -  
Q,dP,
 
(7.160)
k o 'rin ish g a  keltirib  o linadi  (b u n d a y   a lm ashtirish  L eja n d r  alm ash tirish i 
deyilishini  yan a  bir  eslatib  o'tay lik ).  O 'n g   to m o n d a g i  
Q^IP,
  h a d n i   c h a p  
t o m o n g a   o 'tk a z a m iz .  Yangi  hosil  b o 'i g a n   funksiyani 
F2
  d eb   belgilab:
1 
Yana  bir eslatib  ketaylik,  ikki  marta  uchragan  indeks  bo'yicha yig'indi  ko'zda
2!4

F2 ( q , P j ) = F ( q , O j )  +  P,Qn 
( 7 - 1 6 1 )
u n in g   differensiali  u c h u n
dF2 (q, 
P j )  
= 
p , d q
,  + 
QjdPj 
+ (H' 
~ H ) d t  
(7.162)
ifodani  topam iz.  Shu  m un o sab at  bilan  birinchi  pay d o   b o ‘lgan  hosil 
qiluvchi  funksiyani 
F{  = F [( q , O j )
  deb  belgilab  olaylik.  Yangi  hosil 
qiluvchi  funksiya  u c h u n
_ 
3F, 
„  
3F-,
~ Щ ’  Н ~ Н + ~ Л -
 
<7 Л И >
L eja n d r  alm ashtirishlari  y o ‘li  bilan  yan a  ikki  xil  hosil  qiluvchi 
funksiyalarni  topish  m u m k in .  B uning  u c h u n   (7.162)  o ‘ng  to m o n id a g i 
pdq.
  hadni  ch a p   to m o n g a   o 'tk a z ib   c h a p   to m o n n i
dF2  -  Pjdqj  =-■■ d ( F 2  -   p tq t ) + q , dp
, 
(7.164)
k o 'rinishga  keltiramiz.  F2 -  
p , q f 
=  F~(p,P,t)
 
belgilash  kiritib
dF3 
-  
~ q ld p , + 0 , d P l + { H ' - H ) d t  
(7.165)
ekanligini  ko'rish  m um kin.  T o ‘rtinchi va oxirgi  k o ‘rinish quyidagichadir: 
dFA( p , Q , t )  
= 
- q ldP l - P ld Q i + { H ' - H ) d t .  
(7.166)
T o p ilg an   hosil  qiluvchi  funksiyalarni  keltirayiik:
Fx{ q , Q , t ) ,  
F2 ( q , P , t ) ,  
F3( p , P , t ) ,  
FA( p , Q , t ) .  
(7.167) 
B oshqa  v ariantlar  y o ‘q.
A g a r  hosil  q ilu v ch i  funksiya  v aq tg a  o s h k o r a   b o g 'l iq   b o 'l m a s a  
( h a m m a   v aria ntla rda  h a m )  yangi  va  eski  G a m i l to n   funksiyalari  teng 
b o 'lad i:
H' = H.
 
(7.168)
K a n o n ik   alm ashtirishlarga  m isollar  keltirayiik.
7.6.1-misol.  Bir  o'lchamli  garmonik  ossillator  uchun
F i ( q , Q , t )   =   ^ m ( o q 2c t g Q  
( 7 . 1 6 9 )
kanonik  almashtirish  yordamida  yangi  o'zgaruvchilarga  o'ting.
Garmonik  ossillatorning  Gamilton  funksiyasi  bizga  m a’lum:
H = ] ^ + k
j L  = l
2m  
2 
2
{  2
V~
 
^  9
-----
\-mCO~q~
m
V
(7.170)
Hosil  qiluvchi  funksiya  vaqtga  oshkora  bog‘liq  bo4lmagani  uchun
215

Н ' = Н.
 
(7.171)
Yangi  va  eski  o ‘zgaruvchiiarni  bog'laydigan  munosabatlarni  yozaylik:
dF,
 
_ 
dF,
 
1
 
2
 
1
P =  
= m(0qctgQ}
  /> = _  
= 
m(0q
  _  
(7.172)
Щ 
dQ 
2
 
sin
“6
 
’
Bu  munosabatlarni  yechib  quyidagi  ifodalar  osongina  topiladi:
-t 
I P  
n
 
->
q1  =
-----sin
2
 
Q,  p 2
  = 
2Pmcocos2 Q.
 
(7  173)
mco
Demak,
H
 = 
Pco.
 
(7.174)
K o ‘rinib  turibdiki, 
Q
  siklik  koordinata,  demak,  unga  mos  keluvchi  k an o ­
nik  impuls 
P
  saqlanuvchi  kattalik:
P
 =  const. 
(7.175)
Buni  kanonik  tenglam alardan  ham  ko'rish  mum kin:
d 
^
 
n  a  
dH
Birinchi  tengiam adan  darhol  (7.175)  kelib  chiqadi,  ikkinchi  tengiam adan 
esa
Q = Q(t) = cot + P
 
(7.177)
ckanligi  kelib  chiqadi. 
0
‘zgarmas  son 
ft
  bosh lan g 'ich   shartlardan  aniq- 
lanadi.  (7.175)  ga  kirgan  o'zg arm asn i  topish  qivin  emas.  G a r m o n ik   os- 
sillator  u c h u n   en e rg iy a   sa q la n u v c h i  b o 'lg a n i  u c h u n   (7.174)  d a n   kelib 
chiqadiki
E
P = ~ -
 
(7.178)
CO
Eski  o ‘zgaruvchilarga  qaytib  kelaylik:
I2P 
2 E
q(t)
 =  .  -----s i n g  =
------
j  
sin 
(cot + ft),
V 
mco
 
V 
mco
p(t)
 = 
\/2mPcocosQ
 = 
J2m E
 cos(a>/ + /3).
(7.179)
Biz  kanonik  tenglam alarni  integrallash  masalasini  qulay  b o ‘lgan  hosil 
qiluvchi  funksiyani  topib  k anonik  alm ashtirishlar  m etodi  bilan  osongina 
yechdik.  Albatta,  misolning  o ‘zi  qiyin  emas  edi,  a m m o   murakkab  hollarda 
ham   shu  m eto d   qulaylik  tu g ‘dirishi  mumkmligi  turgan  gap.
Ikkinchi  misolga o ‘tishdan oldin y an a u m u m iy  m u lohaza la rga qaytib 
kelavlik.
216

Y u q o rid a g i  m iso ld a g i  k a n o n i k   a lm a s h tiris h d a   hosil b o ‘lg a n  y an g i 
u m u m la s h g a n   k o o r d i n a t a   va  i m p u ls la rg a   q aralsa  ((7 .1 7 3 )  ga  q a r a n g ) 
u l a r   o d a t d a g i   k o o r d i n a t a   va  im p u ls   t u s h u n c h a l a r i g a   t o ‘g ‘ri  k e l- 
m asligini  k o 'r i s h   m u m k i n ,   u la r n i n g   o 'l c h a m l i k l a r i   h a m   k o o r d i n a t a  
va  im p u ls n in g   o i c h a m l i g i g a   m o s  k elm aydi.  K a n o n i k  a lm a s h t ir i s h l a r  
k o o r d i n a t a la r n i   i m p u ls la r   b ila n   b o g i a g a n l i g i   u c h u n   y an g i  u m u m ­
las h g an   k o o r d i n a t a l a r   u m u m i y   h o i d a   o d d iy   fazoviy  k o o r d i n a t a   m a ’- 
n o s in i  y o 'q o ti s h i   m u m k i n .   M a s a la n ,  y u q o rid a g i  m is o ld a  
Q
 u m u m a n  
o i c h a m l i k k a   ega  em as.  Y a ’ni,  k a n o n i k   fo r m a li z m i d a   u m u m l a s h g a n  
k o o r d i n a t a   va  u m u m l a s h g a n   im p u ls l a r   o ‘zin in g   b o s h l a n g 'i c h   m a ’- 
n o sin i  y o ‘q o tish i  m u m k in .   S h u   sa b a b d a n   (
Q,P
)  j u ftlik n i,  o d a t d a ,  
kanonik  q o ‘shma  o ‘zgaruvchilar
  deyiladi.  U l a r n in g   qaysi  b i rin in g  
fizik  m a ’nosi  q a n d a y   b o i i s h i   k o n k re t  m a s a la d a   k o ‘rilgan  k o n k r e t  
k a n o n i k   a lm a s h tiris h la rg a   b o g i i q   b o i a d i .
Bu  holatga misol sifatida 
Q =  p,  P
 =  
- q
 alm ashtirishlarni keltirilishi 
m u m k in ,   b o r  y o 'g 'i   im p u ls   va  k o o r d i n a t a n in g   o ' m i n i   a lm a s h tirib  
qo'ydik,  bu  k a n o n ik   alm ashtirish  ekanligini  tekshirib  k o ‘rish  m u m k in .
7.6.2-misol.  Awalgi  misolda  ko‘rilgan  almashtirishga  kirgan  chastotani 
vaqtga  bog'liq  deb  olylik:
Bunday almashtirish garmonik ossiilatorining chastotasi  o'zgaruvchan bo'lgan 
holga  mos  keladi.  Bu  hoida  yangi  o'zgaruvchilar  tilida  kanonik  tenglama- 
iarning  ko'rinishi  qanday  boiadi  va  bu  qanday  qulayliklar  beradi?
Yechish.  Bu  hoi  awalgi  holdan  farq  qiladi.  Yangi  Gamilton  funksiyasi 
H'
  eskisiga  teng  emas:
Yangi  va  eski  kanonik  o'zgaruvchilar  orasidagi  bogianish  o'zgar- 
maydi:
Natijada  yangi  Gamilton  funksiyasi  uchun  quyidagi  formula  olinadi:
Fx{q ,Q j)
 =  -
nm (t)q2cigQ.
(7.180)
(0
\
H ’ =   Pco  1 +
sin
( 2 0
(7.183)
v
2(0
/
Kanonik  tenglamalarga  kelaylik:
217

P = P  — cos(2Q),  Q = co
 
1
 + —^ - s i n
( 2 0  
со
 
2
 
or
/
(7.184)
/ 
^
Bu  te n g la m a la r   sistem asini  ft)/ft)'  « 1  boMgan  h o ld a   g 'a la y o n la n is h
nazariyasi  orqali  yechish  m um kin.
Quyidagi  misollar  kanonik  almashtirish  y ordam ida  nochiziqli  tebranish- 
lar  masalasini  yechishga  oiddir.
7.6.3-misol. 
Nochiziqli  ossillatorni  olaylik:
M asala  quyidagidan  iborat: 
F2(x,P ) = xP + ax2P + bP3
  hosil  qiluvchi
funksiyada 
a
  va 
b
  param etrlarni  shunday  tanlab  olingki,  yangi  G a m ilto n  
funksivasiga  o'tilganida  sistemaning  kichik  tebranishlari  garmonik  ko‘rinishga 
ega  bo'lsin.
Yechish. 
Yangi  va  eski  kanonik  o'zgaruvchilarni  bog'laylik:
Keyin  ko 'ram izk i, 
a
  va 
b
  p a ra m e trlar  masaladagi  kichik  pararnetr 
a
  ga 
pro p o rsio n al  bo'Iadi,  shuning  u c h u n   ular  b o 'y ic h a   faqat  birinchi  tartibli 
hadlar  qoldiriladi.  M ana  shu  birinchi  tartibda  eski  o'zgaruvchilar  vangiiari 
orqali  quyidagicha  aniqlanadi:
Hosil  qiluvchi  funksiya  vaqtga  oshkora  bog'liq  emas,  shu  sababdan  yangi 
G a m ilto n   funksiyasiga  o'tish  uchun  eski  G a m ilto n   funksiyasida  m ana  shu 
almashtirishlarni  bajarilsa  vetarli  (eslatib  o'tam iz, 
a
  va 
b
  param etrlar bo'y icha 
chiziqli  yaqinlashuvda  qolish  kerak,  undan  tas!tqari, 
c,b  ~  a
,  shu  sababdan 
a  a,  a b
  hadlar  ham  tashlab  yuboriladi):
(7.185)
^- = x + ax2 +3bP2
 
(7.186)
p  = P + 2aQP\  x
 = 
Q -a Q "   — 3bP~.
(7.187)
я   =  -  
+ —  
Qr
  + 
(2a -  3 b o f )QP~
  + (a /3  -  
aor )QJ
  + ■
 
(7.188)
Oxirgi  ikkita  nochiziqli  hadlar  bo'lmasligi  uchun
2
a -  3bw2
  = 0, 
a  = Засо'
(7.189)
bo'lishi  kerak.  Bu  degani.
a  
, 
2 a
(7 .1 9 0 )
D em ak ,
218

P = P + ~ Q P ,  
x
 = Q~ —  Q2 - ~ P 2-
 
(7.191)
3 
со
 
3tu- 
Зш
Y an g i 
H  = ^ P 2 + ~ Q 2
  G a m i l t o n   funksiyasi  u c h u n   y e c h i m l a r   bizga 
m a ’lum:
Q = Acoscot, 
P — —coA
 sin 
cot.
 
(7.192)
Bularni  (/.1 9 1 )  formulalarga  qo'vilsa  nochiziqli  tebranishlar  masalasini 
birinchi  tartibli  yaqinlashuvda  yechgan  b o ia m iz :
? 
? 
ex A ~ 
cc A ~
x — A
 cos 
cot
-----—-H------
-c o s lm t.
 
(7  193)
2 
co- 
6
 
со2
7.6.4-misol.  Quyidagi  ko‘rinishdagi  angarmonik  ossillatorni  olaylik:
H
 = 
—  + ^ ^ — + — x 4.
 
(7.194)
2 
2 
4
Agarda  (5.1)  da 
m
  =   1  desak,  m ana  shu  G am ilton  funksiyasi  olinadi. 
Hosil  qiluvchi  funksiva  sifatida
F2
  = 
xP
 + 
ax3 P + bxP
3
 
(7 .
! 95)
ni  ishlatib  yuqoridagi  angarmonik  ossillator  tebranishlarini  toping.
Yangi  va  eski  o ‘zgaruvchilarni  bogiaylik:
dF~>
 
ч 
т 
dF~,
 
1
p  -
 — -  = 
P + 3ax'P  + b P '
; 
Q
  = — -  = 
x + ax'
  + 3
bxP~.
 
(7  196)
1 
dx 
дР 
У 
}
Bu  sistemaui  iteratsiyalar  yordamida  yechish  mumkin.  Keyin  k o ia m iz k i,
a
  va 
b
  paramctrlar  masaladagi  kichik  param etr 
/3
  ga  proporsiona!  b o ia d i,
shuning  uchun  ular  b o ‘yicha  yuqori  tartibli  hadlar tashlab  yuboriladi.  Ko'rish
qiyin  emaski,
x = Я - ^ L .
 = 
(О
 -  
ax3
)(1 -  
3bP2
  -  ■
 • •) -  
Q -  aQ3 -  3bQP2  +■■■.
  (7.197) 
1+ 3
bP2
Buni  hisobga  olib  quyidagiga  kelamiz:
p =  
P + bP3 + 3 a P (Q -a Q 3 - I b Q P 2
  +•••)  = 
P + bP3 + 3aPQ2
  +■■■. 
(7.198)
Hosil  qiluvchi  funksiya  vaqtga  oshkora  b o g i i q   emas,  shu  sababdan  yangi 
G am ilton  funksiyasiga  o ‘tish  uchun  eski  G am ilton  funksiyasida  (7.197)  va 
(7.198)  almashtirishlarni  bajarish  yetarli:
219

н
‘~
 +  ~
2
~ Q 2  + ь р А   +  3 { a  — bcol ) Q 2P 2  +
P
■aw»  \ Q \
( 7 .1 9 9 )
Awalgi  misoldan  farqli  o ‘laroq  bu  holda 
a
  va 
b
  parametrlarni  h ech  qanday 
tanlab  olganimiz  bilan 
F
  h a d d a n   qutila  olmaymiz.  Shuning  u c h u n   bu  gal 
b o sh q a c h a   y o ‘l  tu tam iz.  (7.39)  m isolni  eslaylik.  Agar 
P4
  h a d d a n   qutula 
olm as  ekanmiz,  G am ilton  funksiyani  (7.39)  k o ‘rinishga  keltirishga  harakat 
qilaylik.  Buning  uchun
2 
2 
2 
2
= 
—
 + 
q
2 +
 — 
P 4
  + 
О4
  +
2 
2 
4 
4 
2
ifodani  (7.199)  ga  tenglashtirish  kerak.  Buning  u c h u n
Q'-P2
32 (On
8(on
(7.200)
(7.201)
bo'lishi  kerak.  (7.39)  k o ‘rinishdagi  G a m ilto n   funksiyasi  uchun
Q = Acoscot,  P = 
-coQAsmcot,  со2
  = (1 + 2XE0)co0
 
(7.202)
edi.  Bizning  holimizda  ((7.40)  ga  qarang) 
E0 - ~ A
  tebranish  u c h u n   birinchi  tartibda  quyidagi  topildi:
-Q-
Sj3 
32 
ml
Q -
9/3
32cOn
QP-.
(7.203)
Trigonometrik  almashtirishlar  bajarilganidan  keyin  quyidagi  ifoda  hosil  bo'ladi:
3/3 
A2 
l6o^
PA~
cos cot+ —
— - c o s 3
cot,  CO — 
32
1 +
<°o.
  (7.204)
7.6.2.  Kanonik  almashtirishlar  va  Puasson  qavslari
Bizga  q a n d a y d ir  bir  alm ash tirish   berilgan  bo'lsin:
(gi,q2, P i , P 2 , - ; P s ) = * ( Q i , Q 2 > - - - > Q s >pi>P2>---’Ps)-
 
(7.205) 
P u a sso n   qavslarining  bu  alm ash tirish larg a  nisbatan  invariantligi:
220

{ f , s } pq- { f , g } PQ
 
(7.206)
ularning kanonikligining zaruriy va yetarli  sharti  ekanligini isbot qilaylik 
(qaysi  o ‘zgaruvchilarga nisbatan  hosilalar hisoblanayotganini qavslaming 
o ‘ng  tom o n id a g i  indeksi  sifatida  belgilandi).
Zaruriylik shartidan boshlaylik  (ya’ni,  (7.205)  ni  kanonik deb u n d a n  
(7.206)  ni keltirib chiqaram iz).  Isbotni  ikki bosqichga bo'lam iz.  Birinchi 
n a v b a td a
(7.207)
ekanligini  k o ‘rsataylik.
Э/ 
Щ 
ef  <)Pt
  )  V f  
э/  
э2/г1
 
3 /  
^
fa
4
dPk  dqk 
dqk
  Э
pk
  I 
j L A
 
Э
pk  dqkdQi
 
Э
qk  dpkdQt
1
3 /   Э  Щ  
d f
 
3 
3 /   bpk 
b f  dq,
дрk  Щ   dqk 
dqk  Щ   дрк
 
I 
LmA 
dpk 
dQ, 
dqk
  3g,
\
4k
_  
э /
эе ,
(7.208)
Oxirgi  tenglik  belgisiga  o ‘tishda  m u rak k a b   funksiyaning  hosilasi  u c h u n  
zanjir  qoidasidan  foydalanildi.  H u d d i  shu  y o ‘l  bilan  (7.207)  ga  kirgan 
ikkinchi form ulani  h am   isbot  qilish  m u m k in .  Bu form ulalarning  natijasi 
sifatida
= °-  i p<’Q^ P4=
(7-209>
m uno sab atlarg a  kelinadi.
O lin g an   n atijalar  aso sid a  asosiy  b o 'i g a n   (7.206)  fo r m u la   isbot 
qilamiz.  Ishni  soddalashtirish  u c h u n   bir o i c h a m l i   holni  ko'raylik,  k o ‘p 
o i c h a m l i   holga o ‘tishni  o :quvchiga h avola qilamiz.  Keyingi  hisoblarda 
h a m   m urakkab funksiyaning  hosilasi u c h u n  zanjir qoidasi  asosiy b o ‘ladi:

If o d a n in g   o ‘ng  t( 
o n i n i  o c h i b   chiqilsa  s a k k iz ta   h a d d a n   t o ‘rttasi 
qisqaradi.  Q o lg a n  
idlar  yig‘ib  chiqilsa  va  (7.209)  ning  u c h in c h isin i 
q o ‘llanilsa  izlagan 
л тп и
1
а  hosil  b o ‘ladi:
' 
dP dQ
 _ 
?
 
4 
^ 
dp  dq 
dp  dq
\_f'S}PQ 
{P^Q}  (  { j  -s}p0
 
(7.211)
E ndi  yetarlilik  s h a r tig a  
o ‘taylik  ( y a ’ni,  (7 .2 0 6 ) - b a ja r i! g a n id a  
(7 .2 0 5 )-a lm a sh tiris h   k a n o n ik   ekanligini  k o ‘rsatamiz).  B u n in g   u c h u n
yangi  o ‘z g a ru v ch iiar  u c h u n   h a ra k a t  tengiam alarini  topaylik. 
Q
  d an  
boshiaylik:
Щ   ■
  ,  dQt
 
.
---  
CJi.
 + ----
p,
3pk