Nazariy fizika kursi
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
I Э£^ ЭН_ _ dQ: ЭЯ d(Jk дРк дРк Мк A m m o va, d e m a k , (7.207) b o 'y ic h a d_ dt Q ,= {H ,Q ,)p q = (7.212) (7.213) (7.214) P . u c h u n h a m k a n o n ik te n g la m a olishim izni h u d d i s h u n d a y y o ‘l bilan isbot qilish m u m k in lig in i o ‘quvchiga havola qilam iz. 7 .6 .3 . Kanonik almashtirish va harakat K a n o n ik o 'z g a ru v c h ila r n in g t vaqt m o m e n tid a g i q iy m a tla rin i qt, p t va t + At v aqt m o m e n t id a g i q iym atlarini q^A/, p l¥Al d e b belgilaylik. T a ’sir integrali u c h u n dS = - Pid(h ) (7,215) (bizning h o lim iz d a dt —dtb = 0 , chunki harakat boshi va oxiriga m os keluvchi vaq t m o m e n t la r i aniqdir: t = t , tL- t J-At) ifodani (7.158) bilan ta q q o slan sa qi,pi d a n < 7 ,+Д/,/>(+л, ga o ‘tisimi k a n o n ik a l m a s h tiris h deb qarash m um k in lig i tu s h u n ila d i, b u n d a t a ’sir integrali S hosil qiluvchi funksiya rolini o ‘ynaydi. 7.7 Integral invariantlar 7.7.1 Fazaviy fazodagi integral invariant B a ’zi bir hollarda oddiy u c h o ‘lcham li fazo yoki u m u m la s h g a n koordinatalar fazosi konfiguratsion fazo deyiladi. K a n o n ik formalizm ga o 't g a n i m i z d a n keyin biz u c h u n k o o r d i n a ta la r va im p u lslar {qr p., i= l,...,s} mustaqil o'z g aru v ch ilar boMib qoldi, shunga yarasha m a n a shu o'zgaruvchilardan tuzilgan 2 s o 'lc h a m li fazaviy fazo tiliga o'tish im iz m aqsadga muvofiqdir. Agar bir oMchamli harakat h aq id a gap ketayotgan b o 'lsa bu 2 o 'lc h a m li fazo - tekislik bo'Iadi. F ara z qilaylik, t{ v aqtda k o'rilayotgan sistem a fazaviy fa zoda m a ’- lum bir h ajm ni egallasin. Bir oMchamli hoi u c h u n b u h ajm ni 7.2- rasmdagi yx k o n tu rn in g ichidagi s o h a sifatida k o ‘rishim iz m u m k in . Vaqt o'tishi bilan sistemadagi u m u m la s h g a n k o o rd in a ta va im pulslar o 'z g a ra boradi, shunga yarasha, sistem aning fazaviy fazodagi egallagan sohasi ham o 'z g ara boshlaydi. F azaviy fazodagi h a r bir nuqtan in g trayektoriyasi дН dH P i = " & ' = , = l.....^ (? -216> ten glam alar sistemasiga b o 'ysuna di. Agar sistem a b i r - n e c h a zarralardan tashkil top g an b o i s a un in g fazaviy fazodagi traektoriyalari majm uasi 223 fazaviy o q i m n i tashkil qiladi. Y a n a b ir o 'l c h a m l i h o lg a qaytib kelsak t2 v a q td a s iste m a n in g egallagan fazaviy hajm i 7 .2 -ra sm d a g i y2 k o n tu rn in g ichidagi so h ad ir. S h u rasm dagi y{ d a n y2 t o m o n y o 'n a lg a n chiziqlar fazaviy o q i m n i ifodalaydi. Q u y id ag in i isbot qilaylik: tegra l Puankarening universal integral invariant deyiladi. O lin g a n fo r m u la n i k o 'r in i s h d a tu s h u n is h m u m k in . K o n t u r n in g ustid a vaqt o 'z g a rm a g a n i u c h u n vaq t b o 'y i c h a hosilani integral ostiga kiritishim iz m u m k in : Qhirgi integral to 'l iq differensiaidan yopiq k o n t u r b o 'y i c h a o lm g a n i u c h u n a v n a n nolga teng. D etnak, Bu in tegral ihtiyoriy yo p iq k o n t u r g b o 'y i c h a n olga te n g b o 'lis h i u c h u n integral ostidagi ifoda q a n d a y d ir fu n k siyaning to 'li q differensiali bo'lishi kerak: S h u t a r z d a t a n l a b o lin g a n funksiya u c h u n k a n o n i k t e n g l a m a l a r n i olam iz: H a q iq a td a 7.218 -dan 7.217-ni keltirib chiqarish h a m m u m k in , ya’ni, 7 .2 1 7 -n in g bajarilishi u c h u n kanonik te n g la m a la r n in g bajarilishi yetarli va zaruriydir. (7.217) b u y e rd a p-dq = p xdq [ + p 2dq 2 +■■■+ psdqs . B u fo r m u l a g a kirg an in - 7 У p d q - q d p = - d H Э H . dH , q = — (7.218) 7.7.2. Liuvil teoremasi Quyidagi m u n o sab atn i isbot qilaylik: S j p - d q = j j ^ d p idq, (7.2 i 9 ) у S !=l B u yerda S — g egri chiziq bilan che gara la ngan sirt. Isbot u c h u n 2 s - o l c h a m l i fazaviy fazo k o o rdim atalarini {х.}= Ц , x, , x2j}={/?,, pv ..., p s, qi; q2 q ) deb belgilaylik va Ц } = { 0 , 0 ,... , 0 , p {, p 2,..., p ) vektorni kiritaylik. B u belgilashda 2 .? ) p - d q - j > ' ^ A jdx1 у Y /=1 b o ‘ladi. Stoks teorem asi b o ‘yicha 1 rr 2* . . ( дА: ЭА л = - J J £ dx'dx1 у i =i 1 s i _± ____ dx' dxJ Ai vektor sifatida yuqoridagi ta’rifdan foydalanib 7.4-form ulani olam iz (Stoks teoremasiga kirgan dx! dx1 integrallash elem enti dx' dxi=- dx! dx ' qoidaga b o ‘ysunadi, y a ’ni, u y o ‘nalishga ega b o ‘lgan sirt elem entidir). 7.217- va 7.19-formulalarni taqqoslash harakat davom ida П 2 > а 5 <=1 integ ra l-n in g saqlanishini bildiradi. C h u q u r m a te m a tik m uloxaza la r asosida JJJJ X d Pid4,dP jdclj v" J J J J J J X d Pidch dP ] dcl j dPk d4k (7.220) i* 7=1 i* j?k=\ va h.k integrallarning h a m invariant b o ‘lishini isbot qilish m u m k in . B u nday isbot [14] kitobda keltirilgan, isbotning m urakkabligi u n i bu y erd a keltirishga im k o n berm aydi. M isol sifatida bir va ikki o ‘lcham li hollarni qaraylik: 1 ) bir o l c h a m l i h o ld a 7.219 ning o ‘ng t o m o n i j d p {dq^ b o ‘ladi, bu - sistem aning fazaviy hajm i; 2 ) ikki o ’lcham li h o ld a ikkita invariantga egamiz: ^(dpxdqx +dp2dq2) va , ikkinchisi shu ikki o ‘lcham li sistem aning fazaviy hajmi. 15 — N a z a r i y m e x a n i k a 225 (7.221) H a r a k a t , 7 .6 .3 -d a isbot q ilin g a n id e k , k a n o n i k a lm a sh tirish n in g hususiy h o li. S huni hisobga olib quyidagi u m u m la s h tiru v c h i ta'rifni q abul qilaylik: Fazaviy fazoda quyidagi koordinat almashtirishlar berilgan bo ‘Isirt: (qv ••• , q5, p r p v ’ p ) -> (Q t> Qv > (?,> p r р 2> - p) - Agar (^>p-dq = (^'P-dQ У Y b o ‘Isa bunday almashtirishlar kanonik almashtirish deyiladi. Misol 7.7.1. 7.6.!. paragrafda kanonik almashtirishlar kanonik tenglama- la rning k o ‘rinishini saqlaydigan a lm a s h tiris h la rd ir deb t a ’riflangan edi. Hozirgi t a ’rifimiz awalgi ta'rifni o ‘z ichiga olish ini bir hususiy hoida — bir o'lcham li sistema uchun vaqtga bog'liq bo'Imagan almashtirishlar misolida k o ‘rsataylik. 7.221 -formuladan ko'rinib turibdiki integral ostidagi ifoda to'liq diffe- rensiai b o ’lishi kerak: pc/q-PdQ = dS , Bir o'lchamli hoida: p d q — P d Q — dS ■ Q = Q ( p , q ) ekanligini hisobga olib bu formulani / r>( dQ , dO , ( p a q — P -— dq + ^ - d p = p- p 4 dq i v dQ . dq — P -r=— dp dp k o 'rin ish g a keltiram iz. Q 'n g t o m o n d a g i ifodaning to 'liq differensia!ligi sharti: A dp p- Р э е Э q _ э_ dq > 3 0 dp Bu formulani ochib chiqsak {P,Q}=\ ekanligi kelib chiqadi. Demak, yangi o ;zgaravchilarda Puasson qavsi saqlanar ekan. 7.6.2-paragrafda isbot qilingani bo'yicha Puasson qavsining saqlanishi almashtirishning kanonikligining yetarli va zaruriy sharti edi. 7.219-ni hisobga olib kanonik almashtirish davomida (intcgrallash sohalarini / va Г deb belgilaylik) (7.222) b o ‘lishi kerak degan hulosaga kelamiz. Bir o'lchm ali hoida bu formula 226 J J dpdq = Л dPdQ У Г ko'rinishga ega bo'ladi. у — (р, q) o'zgaruvchilar tilidagi boshlang'ich sirt, Г — (P, Q) o'zgaruvchilar tilidagi sirt. D em ak, kanonik alamshtirishlarda bir o'lchamli sistemaning fazaviy hajmi saqlanar ekan. 7.220-formuIaga olib kelgan mulohazalarni davom ettirsak, /, j, k, .. . indekslarning sotii s ga teng bo'lganida invariantlikni 7.222-m a’noda tushunib quyidagi natijaga kelamiz: | d p idc/ldp~,dq 1 ■ --dpsdqs = J dPldQ{dP 2 dQ 2 ■ ■■dPsdQs (7.223) У r Ijshbu tasdiq Liuvil teoremasi deyiladi. C hap tomondagi integral s- ta crkinlik darajasiga ega bo'lgan sistemaning fazaviy fazodagi hajmi, o 'n g io m onda esa shu sistemaning yangi kanonik o'zgaruvchilarga o'tilgandan keyingi fazaviy hajmi. Demak, kanonik almashtirishda sistemaning fazaviy fazodagi hajmi o'zgarmas ekan. 7 .8 . M opertyui prinsipi G a m ilto n funksiyasi vaqtga oshkora b o g i i q b o 'lm a g a n h o ld a en e r- giva saqlanadi: tf(q,p) = £\ (7.255) Bu shart 2s o 'lc h a m li ( j — erkinlik darajalari soni) fazaviy fa zoda 25 — ! o 'lc h a m li sirtni aniqlaydi. M asalan, 5 = 1 b o 'lsa fazaviy fazo tekislik b o 'ladi, yuqoridagi shart esa shu tekislikdagi chiziqni beradi. K o n k re t m isolni qaraylik: g a r m o n ik ossillator u c h u n h = p L + ? * V = e (7.256) 2 m 2 shart (q,p) tekislikdagi ellipsni beradi. D e m a k . E energiyalik chiziqli ossillatorning tebranishi davrida fazaviy tekislikda uni ifodalaydigan n u q t a m a n a shu ellipsni chizib chiqadi. H a rak at faqatgina 25 — 1 o 'lcha m li sirtning ustidagina bo'lishi m u m kin, shu ju m la d a n , b o s h la n g 'ic h q = qa va oxirgi q = qb n u q ta la r h a m m a n a s h u sirtning ustida yotadi. Bu h o ld a variatsion prinsipni q a n d a y k o 'r in is h d a olganim iz qulaydir? S hu savolga M o p e rty u i prinsipi javob beradi. 227 (7.139) fo r m u la n i (7.224) h o ld a quyid ag ich a yozib olish m u m k in : S = l P l d4 i - E ( i - t 0), (7.257) b u n d a — h a ra k a t boshi m o m e n t i. P a y d o b o ‘lgan So = J Pi d = J P dq (7.258) kattalik qisqartirilgan t a ’sir deyiladi. (7.255) sh art o ‘rinli b o 'l g a n d a (7.258) t a ’sirning m i n im u m i 5S0 = 0 (7.259) h a ra k a t trayektoriyasining k o ‘rinishini berishini isbot qilaylik. U s h b u tasdiq Mopertyui prinsipi deyiladi. B u n in g u c h u n (7.255) s h a r tn i p t ga n isbatan y ec h ib oldik deylik: P l =K(V,Q,T,E), (7.260) va m aq sa d im iz g a m u v o fiq b o 'l g a n quyidagi belgilashlarni h a m kiritib olaylik: Р = { л . Р з . - - - . л } , Q = {? 2 > 03 >--->?.v)> T = - q x. (7.261) N a tija d a p dq = P d Q - A ' d r (7.262) tenglikni o la m iz , o ‘ng t o m o n d a p a y d o b o 'lg a n f o r m a d a К ni yangi G a m il t o n funksiyasi va T ni yangi vaqt deb qaralsa So n in g k o ‘rinishi yangi o 'z g a ru v c h ila rg a n isbatan t o 'l i q t a ’sirning o 'z i b o 'la d i. D e m a k , (7.157) asosida h a ra k a t ten g lam alari sifatida quyidagi ten g larnalarni olish m u m k in : dP iJK dQ <)K ~dT d Q ’ dT Up' (7.263) 2 s —■ I o 'lc h a m li (7.255) shart bilan chegaralangan fazodagi h a ra k a t teng lam alari m a n a shu k o 'r in is h g a ega b o 'ladi. Olingan te n g la m a la r k a n o n ik ten g lam alarg a o 'x s h a sa h a m u ia rn in g m a ’nosi b ir oz b o s h q a c h a d i r - b u te n g la m a la r tray e k to riy an in g vaqt o'tishi bilan o 'z garishini em as, balki shu tra y e ktoriyaning 2 s o 'l c h a m l i fazodagi k o 'r in is h in i b eradi, c h u n k i u la r s iste m am iz ning u m u m la s h g a n k o o rd in a ta la ri va im p u lslarin i b o g 'la y d ig a n t e n g la m a la r siste m asini tashkil qiladi. Buni tu sh u n ish qiyin em as, b u ten g lam alardagi «vaqt» T h a q iq a td a q x k o o rd in a ta va «energiya» - h a q i q a t d a im p u lsning b irin c h i k o m p o - 228 nentasi p { dir. D e m a k , b u tenglam alar 2s o 'lc h a m li fazaviy fazodagi trayektoriyaning geometrik ko'rinishini beradi. D em ak, (7.259) variatsion prinsip (7.255) shart o ‘rinli b o ‘lgan va sistem aning b o sh lan g ‘ich va oxirgi holatlari berilgan h o ld a h arakat trayektoriyasini b e ra r ekan. Q isqartirilgan t a ’sirga b o sh q a k o 'rin is h beraylik. Bir t o m o n d a n j P, d gi = \ ^ - 4 A t = j2Tdt = j l ( E - U ) d t . ( 7 . 2 6 4 ) Bu y erd a ikkinchi tenglikdan keyin Eylerning b ir jinsli funksiyalar haqidagi teorem asini qo'llanildi. U s h b u fo rm u la d a n v aqtni y o ‘q qili- shim iz kerak, chunki faqat trayektoriyani qidiramiz. Ikkinchi to m o n d a n it ■■ rr, ч 1 r r / 4 „ X av-dqidq f = a . W i + U(q ) = - ---- - + и iq) =>dt= -------- 2 " ' 2 d r V 2 ( E - U ) (7.265) D e m a k , S 0 = J p, dq, = ^ j ^ E - U ^ ^ d q j . (7.266) E n d i M o p erty u i prin sip in in g a n iq ko'rin ish in i berishim iz m u m k in : harakatning boshlang ‘ich q va oxirgi q, nuqtalarini bog ‘laydigan q = q(t) trayektoriya H{p ,q ) = E shart bajarilganida quyidagi m in im u m prinsipiga b o ‘ysunadi: S ^ E - U ^ a . j d q A q j = 0 . (7.267) B u prin sip d a vaqt h a q id a h e c h narsa deyilm aydi, berilgan b o s h la n - g 'ic h qova oxirgi q 4 n u q ta la r orasidagi masofani sistem a q a n c h a v aqtda bosib o ‘tgani energiya E orqali aniqlanishi m um kin. Agar bitta o z o d m o d d iy n u q ta h aqida gap ketayotgan b o ‘lsa ' d[ \ d t ; bo'Iadi, b u n d a d l — u z u n lik elem enti. N a tija d a T = — 2 (7.268) 8 j s j E - U d l = 0 (7.269) prinsipga kelinadi. Bu yerdagi integral berilgan n u q ta la rn in g orasidagi tra y e k to riy a b o 'y i c h a olingan. V a q tn in g h a m b o s h la n g 'ic h n u q tasi berilgan, a m m o oxirgi nuqtasi berilm agan. O z o d za rra c h a u c h u n bu 229 sh artn i beradi. Bu esa ikki n u q ta orasidagi eng qisqa c h iz iq — t o ‘g ‘ri chiziq tenglamasi. H a q iq a ta n h am , o z o d za rra d an t o ‘g ‘ri chiziq b o ‘yicha h a ra k a t qiladi. S \ d l = 0 ( 7 . 2 7 0 ) 7 .9 . G am ilton — Yakobi tenglam asi (7.136) te n g la m a la r n in g ikkinchisini olib qaraylik: (7.271) Agar bu t e n g la m a d a im pulslarning o ‘rniga (7.136) n ing birinchisini ishlatsak a s d t H c)S ’rV 0 (7.272) dS dS Эс / 7 k o ‘rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial te n g la m a n i olgan b o i a m i z . Bu t e n g l a m a t a ’sir funksiyasi S(q,t) u c h u n b o'lib, u n in g m avjudligi h a r a k a t te n g l a m a l a r i n i i n te g r a lla s h n in g y a n a bir zabardast m e to d in i beradi. B u m e to d n i o ‘rganish u c h u n b irin c h id a n xususiy hosilali differensial tenglam a (7.272) ning toliq integrali kiritaylik. T a ’rif b o 'y i c h a differensial t e n g la m a n in g t o ‘liq integrali u n in g s h u n d a y yechim iki, unga kirgan mustaqil ixtiyoriy o'z garm aslar soni tenglamadagi m ustaqil o ‘zg a ruvchilarning soniga ten g b o i a d i . B izning holim izd a m ustaqil o 'z g a ru v c h ila r soni s + !, s ta k o o rd in a ta va vaqt. T a 's ir te n g la m a g a faqat hosila ostid a kirgani u c h u n b itta o ‘zg a rm asn i additiv ravishda olishi m u m k in : 5 = / ( / , су, ,q2,...,qs \ax, a 2,...,a, ) + a 0, (7.273) b u n d a а 0 , « 1 , а 2 ,...,ал — ix tiy o riy o ‘z g a r m a s s o n l a r ( i n t e g r a l la s h konstantalari). Teorema (Yakobi): (7.273) funksiya (7.272) ning t o i i q integrali va b o i s i n . U n d a dH . ЭЯ . , Р , = - л > г==1>.... * ОС/, det d2S dqidq/ 4, 230 (7.274) dS „ dS P' = T ~ ’ P i = T ~ dq , da, m u n o sa b a tla r bilan aniqlanadi, b u n d a /3. - yangi ixtiyoriy doimiylar. „ dS _ dS da ^ a n 4’ = cli(P'a ’t) ^ar t o Piladi, topilgan qi larni P i ~ ^ ' ga q o ‘yib Pi = Pi(P,a,t ) l a r topiladi. Isbot: (7.273) dagi f(q,a, t) ni hosil qiluvchi funksiya sifatida olaySik, b u n d a a. lar y angi i m p u ls la r rolini o 'y n a s in : a = Pr K a n o n i k alm ashtirish bajaraylik: 3 / s i s t e m a n i n g u m u m i y y e c h i m i Q, (Jtjl dp, H' = H + - 01 (7.275) Bu qatordagi oxirgi form ula va (7.272) dan kelib chiqadiki # ' = 0 . D e m a k , P, = 0 , Y o k i , f - = a ,- = const, (),= const. O x i r g i k onstantalarni Qt = Д deb belgilashi bilan t e o re m a m iz isbot b o ‘ladi. G a m ilto n funksiyasi vaqtga oshkora bog'liq b o 'l m a g a n h olda t a ’sir S ~ S{, - Ei ko'rinishga ega bo'lishini ko'rgan edik. Bu h olda G a m i lt o n — Yakobi tenglam asi qisqartirilgan t a ’sir u c h u n yoziladi va H ( dS,, dq{ dq2 dqs • C I 11 Чг E (7.276) k o 'rinishni oladi. Download 132.13 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|