Nazariy fizika kursi

+ ЛГ
r - 2 ( l + M 2)
2
л/
1
+ М
2
  ^
2£>2
 + r - (l + M 2)
5. Birinchi munosabat M  ning ta’rifidan darhol kelib chiqadi. Ikkinchi
munosabatni olganda 
E = m\  12-alr
 
ifodani qo'llash kerak.
283

6
. Awalgi misolning birinchi munosabatidan A vektoming orbita tekis- 
ligida yotishi kelib chiqadi.
7  Statik  muvozanat  nuqtasi  uchun  U'ff (r0) = 0  bo'lishi  kerak.  Bu 
B —M 2I (2m)
r0 - 2---------ni beradi, buning uchun esa  M~ < 
2mB
 
bo'lishi kerak.
a
Muvozanat  barqaror  bo'lishi  uchun  esa  LQ (r0)> 
0
  bo'lishi  kerak.  Bu 
p - M 2l(2m)
/0 > 3-------- bo'lishi kerakligini beradi.  Demak, muvozanat nuqtasi
a
barqaror bo'lmas ekan.
8
.  Harakat finit bo'lishi uchun  Ue(j (r)  minimumga ega bo'lishi kerak:
k
^A ~
a) Bu holda minimum sharti--- = /  (.v) = ,v(l + x)e~l , x = кг0  ko'ri-
am
nishga ega.  Bu tenglama yechimga ega bo'lishi uchun uning chap tomoni 
o'ng  tomonidagi 
M 2 <2m/5
 
ning  maksimumidan  kichik  bo'lishi  kerak.
f  (x)  funksiya  x= 1.618  nuqtada 0,84 ga teng maksimumga ega.  Demak, 
k
M 
2
--- < 0.84  shart bajarilgandagina berilgan potensiaida finit. harakat bo'lishi
am
mumkin,
К2 M 
2
 
-
b)  Effektiv potensial uchun  minimum sharti  — :—  = x4e~x  ,x = 
KrQ.
2 mV
Finit harakat sharti:
аГ 
%mV 
M  < — —
.
Гу  c
9.  Harakat  tenglamasining  Dekart  sistemasidagi  ko'rinishi:
f
mr -
-
-
-
-
 ~a —г.
Harakat 
bir 
tekislikda  ro'y  beradi.  T englam aning  o'ng  tom onini 
qiub 
sistemasma 
o'lkazamiz:
284

dx _  a
 cos 
(p  dy _  a  simp 
dt 
m  r2 
dt 
m  r2
d
M
—  - ■
— ~  ni (3.23) ga qarang) hisobga olib bu tenglamalarni
at 
mr~
d x  
a  
d y  
a   .
=  -  
COS (D, 
=   -  
S ine )
d (p  
M  
d ip  
M
ko‘rinishga keltiramiz. Demak,
a   . 
. a
x  = ---- SJnfp + C'j, 
y 
=   — COSljo + 
c2.
M 
M
Endi x va у larning o‘rniga qutb koordinatlariga o‘tiladi:
x  
= 
r c o s c p , 
у =
 rsin 
(p.
Natijada oxirgi tenglamalar
a   . 
.  . 
. 
a
rcos(p-
 npsin (p = --- sin 
 = — cos 
M 
M
ko‘rinishni  oladi.  Ularning birinchisini  -sin
ko‘paytirib qo'shilsa 
a
rep = --- c, sin (p + c9 cos 
M
ga kelinadi. Yana bir bor (3.23) formulani qo‘llanib trayektoriya formulasi 
topiladi:
1 
am  c,m  . 
c7m
- = — ^
1
— sin<® + —— cos 
(p. 
r 
M 2 
M 
M
Bu — ellips tenglamasi.
11.  Trayektoriya  aylana  bo'lishi  uchun  rQ  effektiv  potensial
^Lit  = u  +--
2
 
п ^п8
  minimumi bo'lishi kerak:
2
/nr
З
Д
 = 
0
  d2U'ff(ro ). 0
dr 
' 
dr
2
Birinchi shartdan  r
0"“2
 = nam/M2,  ikkinchi shartdan esa 
3?? > /г(п + 1),  yoki,«<2
285

ekanligini topiladi.
12.  Energiyaning saqlanish qonuni bo‘yicha
mi-2  a 
R
R
Demak, 
r = 
J —  
I 
- 7 = = =  
= — 
\ i
--
1
2a
 
J   П 
Г 
2  V  2 a
ш
/?3
0 
Vr  R
13.  Zarrachaning  harakat  miqdori  momenti  M = mvp,  energiyasi
E = mv2/2 ,  bunda  m = т хтг1{тх + m)2,  minimal  masofa 
(Vmm) = E 
shartimad topiladi. Demak,
n
 
„ 2  
n-г
 
2 a  
*/ш/г 
P  
hnin
 
1 
~
mv~
Bu tenglamaning faqat 
n
 
= i ,2,4  hollardagina sodda yechimi bor. Masalan,
\2
i  > 
2 a
и = 
2
,  rm;„ =Jp- + --
7
 •
mv
14.  Zarrachalar orasidagi kuch — itarish kuchidir:  ——  = ■
 
,1+1
 ■
dU  
n a  
dr 
r"
4-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
1. 
a)  Potensial  U(x) = x2e'  ni uning minimumi  x = 0  atrofida qatorga 
yoyaylik:
U - x2 + x
3
 + — x
4
 + • • ■
Lagranj funksiyasi:  L = ^ 2x2 -^
2
x‘ + x
3
 + • • •  .  Chastota:  co = ^- = l.
b)  U = U
t 
*\2  f 2 
[Г
— , 
со = J —.
2k
 
\ 
m
x - L  
\
 
k
с)  Potensialning  minimumlari
286

а
aV 
vu>  /
nuqtalarda joylashgan.  Shu  nuqtalarning  ixtiyoriy  biri  atrofida  potensial 
qatorga yoyilsa kvadratik had
' Va  V  
•>  ,
2 
V 
a V 2
f-  , 
\
 
2 
(JC-Xq)
ko‘rinishga ega boiadi. Demak,  со
1
—
r 
(x-e) 
1
d)  U(x) = —  = co = —j=■
lruc 
2e 
\le
2.  Sistemaning Lagranj funksiyasi:
L
 = —
ф1 - mgR
 (1 - cos 
(p
)
2Rs\n —
Muvozanat nuqtasi:  % = 2
arcsin
/ 
i 
Y
e"
8
 
m,oR2
1/3
Shu  nuqta  atrofida  potensialni  qatorga  yoyib,  kvadratik  hadning  o‘zini 
qoldirainiz:
mR-  ., 
1
L  = ---- (p~  —  
3 
m q R
2
 
2
Chastota:
/
/
1
 
—
( 
"  ^ 
e~
2/3  ^
1
V
^SmgR2 ^
J
(-%)- + ■
со  = ■
R
V
%mgR~
V 
4 
/
2
  ^ о-n
2
 
1
 iс
Aibatta,  e  < EmgR  bo‘lishi  kerak,  aks  holda  muvozanat  barqaror 
boimaydi.
3. 
Massaning kinetik energiyasi 
T = - т а   ф 
.  Potensialenergiyani topish 
uchun prujinaga ta’sir qilayotgan kuch / ’ni prujina uzunligining o‘zgarishi

Д/ ga ko‘paytiramiz.  Д/  ni  cosinuslar teoremasidan topish  m um kin:
l~,
  " 
3
 
/ 
ч 
a(a-hl)
  , 
Al
 = 
yja~ + (a
 + /)  - 2л (a + /)cos
q>
(ct + l)F
mcil
F 
F
4.  a)  * ( 0  = — V 0 " " coseor) ; 
b)  * ( / )  = — ^r(co?-sinfi)r); 
m(0~ 
mco
,  , 
Fn  сое  a! - со cos (ot + a sin cot
c) 
x(t) = -
 
0
mco
2 
2 
(0  +a
, 
s
 
Fn  (osinaf-asinftw
d)  x(,) = ~ ---- 5-- j--- :
mco 
co  -a
'(•)-
mco
e)
(a
2
 + j32)  +2^a2 - p 2^co2 + co4
[a * 
w [2a[i cos [it
- ( a :  - 
/32  + a
Г )sin  
P i
J  + 
p [-2 a co c o sa > t +
 ^ a 2 
+ p~  - о У
 ^sin
r(0
 = -
0
( a
2
 + 
p
2)" + 
2
( a 2 - /32
)ft
>2
 + 
co4
j
~ coe 
j ^ « "   -  
P 
+ 
(O'
 j c o s  
(it
- 2aP sin Pt]+  a ( a : + p~ -co2 ^sin cot - o ^ a 2 - p 1 +co  ^
COS (Ot
\ 
at 
14
 
/ 
\
5 . a ) x ( t )  = --- sin ct>?; 
b)  ---- -(sm2 mco 
2 mco"
c)  *(') =
a  (A + w)sin(ur-wsin(a> + A )f
m(0
д(Д + 2«)
a) 
va b)  yechimlar vaqt  o‘tishi bilan  cheklanmagan holda o‘suvchi 
bo‘lib ularni kichik tebranishlar sohasida qo'llanib bo‘lmaydi.  c) holda 
A  chekli  son  bo'lganda  muammo  yo'q,  Д —>  0  holda  yana  b)  holga 
kelinadi.
6
. a)  (4.32) formuladagi integral t <7’holda:
288

f
— -—
(со/
 -sin 
(or) 
m&'T
Endi  t  >T  dagi  yechimni  topaylik.  Yuqoridagi  integral  t  >T da 
(integrallash yuqori chegarasi  T bo'lganda) 
p
-- 2— (Yet) cos ft) (? — 
T) +
 sin 
a)(t — T)-
 sin 
cot
)
mco T
ga tengdir. Undan tashqari, kuch  F
0
 bo‘lganda t >T  hoida integral 
(l - cos со (/ - T))
mar
ga teng.  Shularning hammasini yig’ib  t >T dagi yechimni
f
t\
 cos 
со (i - T
) + 
c2
 sina>(f -Г)+  -
mco
ko‘rinishda qidirish  kerakligiga kelinadi. x va uning hosilasi  x  ning  t —T 
nuqtada uzliksizligidan cr c2 doimiylarni topiladi:
c,  = -- sinft>7\  c
2
  = —
(l -cosfor).
mco~ T 
” 
mco~ T
Demak,  t > T  da
sin «(r- 7 ’)-sina«'
air
j 
2
 
2 
2F
0
  ,  coT 
Tebranish amplitudasi:  «- V еi 
+ c 2
  = — r ™  — ■
mco' I 
I
J?
b)  t mco"
t>T  bo‘lganda:
F 
2 F 
rnT
x = —
(cos a>(T -t)~  coscot) = — у  sin-- sin a>(T/2-t).
mCO 
m(0~ 
2
p
c)
 
t < T  
bolganda:  x 
= — ^j(cot- s in cot);
mco'
t > T  bo'lganda:
x
 = —
\-{сйТ
cosco(T -t)~ sin cot-sin co(T-t)) = 
mcoT
mco~
19 — N a7ariy  m exanika
289

F,
mar T
^ — [(fttf’ cos 
coT
 - sin <07) cos 
at + (coT
 sin 
coT + cos l)sino>fJ.
Tebranish amplitudasi:  a = 
Ja>2T2 
+2(l-cos6u7)-2sin 
coT.
f
d) 
t < T  
bo‘lganda: 
x 
=
 — —г (sin cot-cot cos cot);
2 mco
t > T
 
bo‘lganda: 
x 
■
k
F,о
2
/nftT
cos 
at.
7.  (4.49) formulaning birinchi qatoridagi ifodani
F(t) 
m 
m 
2
dan foydalanib hisoblash qulaydir:
(ReC
2
(r) + ImC
2
(r))-
£ ( ') "
■
 F{t)
mco
F~(‘)
2 та)"
/ ( ” )
mco
Fa 
X1 
. 
.
a co co sa
--------- ----- T + ;flft)sin 
a
2mco a>~ + A"
va
F
 (- » )
mco
i  i 
= a~a>~
.
Natijada
AE
 = 
E
(°°)- 
E
(—°°) = -
F
IF ,:
aX  F,, cos a
2mco~
2 
l 2 + « 2
8
.  a)  Minimum:  a
0
 = 
1
, v
0
 = -
1
.  Chastotalar:  cof = cof = 
6
; 
b)  Minimum:  x = 
1
, v = 
1
.  Chastotalar:  щ = co2 = 
1
.
9. a) Normal chastotalar:  ц  = Тб,  щ -  
1
;  Normal koordinatlar:
x
-Q
i
+Q2,  у - - — Q\
 + Q2 ■
5 - i  
15 
9
 
5 - i  
5  -> 
Lagranj funksiyasi:  L = ~Q\  ~~rQ\  + ~Q:i ~ ~~Q'i■
8
 
4 
2 
^
290

b) N orm al chastotalar: 
(0[22
  = 
, 1
+a>02)
  , 
„ 2
-±\ -------—+ e r
.
Normal koordinatlar:  A’i  - 
61
 + C?
2
> 
*2
 - ^  
Q\+  2 
-> Qi-
а  
Щ
2
- Щ
10
.  Kinetik energiya:
т 
m ! -
 2 
-1 
-2 
\
  M  ( 
. 2
 
.2 
• 
2 
\
T - ~
( x l  +  ' C3  + " -  +  х 2 Л '- | )  +  —
 [ x 2  +  x 4  + ' "  +  x 2 ; v j -
Potensial energiy:
5
'
Harakat tenglamalari:
ntxi л-1  + 
k
 (2.г2я_, 
-  
X 2n 
- x2n_2 
) 
=  0,  M x2n 
+ 
к 
(2 x 2n  - x2ll+l  -  x2n_, 
)
 = 
0. 
Chegaraviy shartlar:  x
0
 = 
x2N+]
 
= 
0
.
Yechimni turg‘un to‘lqinlar  x.,n^  = Ae'{0),±= Be,{0>,±1,up)
ko‘rinishda  qidiramiz.  Bu  holda  chastota  uchun  tenglama  quyidagicha 
bo'Iadi:
U   =   \  ( x l2  +   i x l  -  
x2
  f   +  
(x2
  -  X 3  ) 2  +  • ■
 • +  ( x
2
,v - i  -  X
2
N  f   +  X N   ) •
к
щ:2 = -
1±Jl- —  siap
mM
V
 = ---
77-
m + M
col  chastota ba’zi  bir hollarda  «optik chastota»,  a>2 esa  «akustik chastota» 
deyiladi  (ko'rilayotgan  sistema ba’zi  bir  hollarda  qattiq jismning  sodda- 
lashtirilgan modellaridan biri bo'lib xizmat qiladi). Chegaraviy shartlarning 
birinchisini qanoatlantirish uchun yuqoridagi turg'un to‘lqinlarning quyidagi 
kombinatsiyasi olinishi  kerak:
x
2
„-i  = Ak
 
sin((2n-l)
  = 
Bk
 sin 
(2n(pk
 )cos 
(cokt 
+ 
a k
 
), 
kn
bunda 
2
n  + [  ~
 
ikkinchi chegaraviy shartdan olinadi.
11. Sistemaning Lagranj funksiyasi:
L =™(Xt +Х1)-\(Х1 +Xl)-^-(Xl  X2 f  ■
291

Harakat tenglamalari:
mX] + (k + kt
 ).v ,
- k lx2  =
 0- 
mx2+(k + kl )x2 - k lxl
  = 0.
2  _  
k + 2kx
a)
--sin О), / H--- sin 
(
0,1
CO. 
ft).
»  I  . 
1
  .
A ,  =   —   ---S ill (O ^ t-----
sin 
2 
I  ft),
b)  .V,  = — (COSOO|/ + COSCIV), 
x2
  = — (cosffl^-cosov).
c)  B irinch i zarrachadan ikkinchisiga a'/’ vaqt ichida berilgan energiya
x.)  kuchning shu vaqt ichida bajargan ishiga teng:
dE -  Fdx2  = kx 
(x[  - 
x2 )dx2  =
 
(aj  - 
x2)x2 dl.
Demak,
dE 
k,v~ 
, 
s
a)  —   = ----s m f t V ^ c o s o y - c o s a ij f  J;
dt 
2 co2
dE 
k,a~ 
, 
s.
b)  —  = --- cos(ti,i  й, sin 
co^t — со,
  sin сам .
d:
 
2
Ko'rinib turibdiki, energiya oqimi vaqt o'tishi bilan ishorasini davriy ravishda 
o'zgartirib  turadi  —  energiya goh  birinchi  zarrachadan  ikkinchishiga,  goh 
teskari oqadi.
12.  a)  Sistemaning  Lagranj  funksiyasi:
L = -{K\
lh  ~л
2
‘/;')
/ 2
 
2
  , 
.2
 \
 
£i_  ±-_ + (t?i
С  с, 
с
Agar quyidagi bclgilashlar kiritilsa:
л, £>,  = 
.r,.  V A ; (/, 
= 
.c2 , 
ад;, = •
i 
i 
1 
n2
 = —   —  + - 
Л ,  С, 
С
, 
a =
с^[л~л
2
9-masalaning b)  qismidagi  Lagranj  funksiyasini olgan b o la m iz .
292

1.  Birinchi tartibli tuzatraa uchun tenglama:
&xt 
9
дц>" 
Щ
5-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
l 
^ 
\
  a~  3(2
+ *   = — (A,sinv^ + av/'i cosi//) + — + -— cos
2
i//.
Dem ak,  A, 
-0,  ц/]  =
 
0
.
a 2 y  
a 2 y
Yechish: 
x
 
= 
acos(aty + 
--- — 
cos(
2
tity + 
2
Chastotaga birinchi tartibli tuzatm a yo‘q ekan.
2.  Birinchi tuzatma uchun tenglama:
a
2
.v,
3i
//2
+ 
x,
2
Д — и +
siny/ + 
2
ai//, cost// 4- 
sin3y/.
4
Demak.  2 A - я + —  = 0,  i/л  = 
0
.
4
fkkinchi tuzatma uchun tenglama:
Э
2
л-,
с
-- ~ + 
x2 -
ду/
dA
2aw, — A -—~ + 
1
 
1
--ci1  IA +
da  [
 
4 
128
cost// +
X
  /  
T 
, 4
 \
a
  Vя " 
) 
5a
5
+2A-,
 sini// +--------cos3
ш л
----cos5i//.
* 
128 
128
Asriy hadlarning paydo  bo'lm aslik sharti:
A2
  = 0, 
у/2
  = •
A
dA
L 
da
3 
a
2
 \
a
256'
Yechim:
ea
 
.  „ 
e  a'
jt = л cosy/’ ---- sin 
ж
-----
32 
1024
^ a
2
 cos5y/ + (a
2
 + 8)cos3y/
bunda
293

2
Cl  = •
1 
+
£  
£  
l £
 
?
w = t -- 1-- In 
ci
 
■
+
-—  
а
 
+ <№
,•
16 
8
 
64
£Cl
3 
x ~ a cosy
---- j(sin3i/^ + cos3y/);
32 
(O
q
2  Et
In
a0
 = a(
0
), 
у/ = co0t-
3
-1
  +   -
4%
*>
Cli\
'40
1 
+ ln-
6-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
1.  K o ‘ rsatma:  mos  keluvchi  tenglainalarni  skalar  ravishda  P  va  M   ga 
ko‘paytiring.
2.  Energiyaning  saqlanish  q onunini
( M . - M
3
coseoy
/ ------ ;----------
mgl
 (1 - cos 
au J =
=   - I 6 '   +
2
2 / s i n ‘0 o
{Мг- М ъс
 os в)2
mgl
 (l - cosfl)
ko'rinishda yozib olinadi, (6.79) belgilashlarni kiritiladi va kerakli algebraik 
soddalashtirishlar bajariladi.
3
.  / u.
/ n  = 
2a1
 (m 
+ M
 ) ,
I xv
  = / „   = 2a
2
 
{in- M ),
I:, = 
2
/ , , Л : = 
= / V
v = 
= 
0
. Гхх = 4fl
2
m ,/;, =
= 4
a 2M ,
  /'  =  /  . 
+ Г
294

4. 
(х\ у ')  koordinat o ‘qlarida inersiya m arkazi  (a,a)  n u q ta d a  joylash- 
gan.  S h u   nuqtaga  nisbatan  inersiya  m o m e n tla r in i topilsa  q u y idagi  na tija  
olinadi:
12
 
т а 2 Ama2
 
0
"cos 
cp
  sinip 
0
 
N
Ama2 Ama2
 
0
Oz
  = -sinot  cosa 
0
0
0 
\6ma2
О
О
V
V 
/
K o o rd in a t sistemani 
ф
 burchakka burab shunday yangi 
(x,y) koordinatlarga 
o ‘taylikki,  u lard a 
I   diagonal  b o ‘lsin.  B u n in g   u c h u n   г  o ‘qi  atrofida  (p
burchakka burash matritsasi  0\  dan fo ydalanam iz. 
Ojk I'k
B irin c h i  elem entni  topaylik:
/,]  = 
0
, д а №
 = OfjOn/ц + 10\{0\2I {2 + 0{2Ou I 22 =
= 
Ama1 
(3cos2
(p 
cos 
(p 
+ sin 2
H u d d i shunday:
h i
  “  
O , ) O i 1 . 1 Ц,  —  О * , 0 , \ 1 11
 +  
0 \   \ O i \ 1  \ i  
О / у ( ) j
i/
7
1
 
+   O f - j O i n l
=
= 
Ama2
 (-sin 2
I 22  = Ama2 (?>cos2
= \6ma2', 
Лз  =  ^23= 0-
q>  b u rc h a k n i  sh u nday   ta n la b   olish   kerakki,  I l2—0  b o ‘lsin.  B u n in g  
u c h u n   <р=л/8  b o 'lis h i  kerak.  N a tija d a   inersiya  te n z o r in in g   bosh  mo- 
m e n tla ri u c h u n  quyidagilar olinadi:
/n  = 
Zj 
= 
Ama2
 
(2
 
+ V
2
 
j; 
= I2 = 4ma
2
 {l- 'Jl j; /.
/
3
=
1
6ma
5.  Im p u ls   m o m e n tin in g   saqlanishi  q o n u n i  b o 'y ic h a   M   = / Q  = const. 
B u  m unosabat shar u c h u n  
= 
const  k o 'rin ic h g a  ega. 
R2Q - R '2Q.' 
dan 
Q ' = Q /(0 ,9 9 )2  = 1,02Q  ekanligi  to p ilad i.  Y erdagi  sutkaning  u z u n lig i  - 28
m in u tg a  kam ayadi.  Y e rning   aylanish  energiyasi  2 %  ga  oshadi.
6
.  T o rtish   k u c h i  y o ‘q  b o 'lg a n d a  p r u jin a la r n in g   u z u n lig in i 
b deylik. 
S is te m a m iz n in g  e rk in lik  darajasi  ikkiga teng — jt va 
в.  Lagranj  funksiyasi
1 = - тх2 +l-ie2--k
2 
2
 
2
(j:, 
- b f  + (x2- b f
- mgx.
295

х2 - Л) = Ьв,хх +х2 = х  munosabatlardan  х{ = х- [£12. х2 = x + Ld/2  lar 
olinadi. Natilada Lagranj funksiyasi quyidagi ko'rinishni oladi:
L = —mx2 + — 1Q2 - k ( x - b ) 1 - mgx- — kL2d 2.
2 
2 
У 
’ 
4
Xodani ingichka deb qaraylik:  / =
Harakat tenglamalari:
x + 2o)2 (x-b)+g = 
0
, 
в + 6со2в = 0, 
со — .  ~ ■
V 
m
Demak, sistemada ikkita chastota bor ekan;  2
 со,  co2 = л/б со.  Ularga
mos  keluvchi  tebranish  modalari  -  normal  tebranishlar  —  (l.)-rasnmda 
ko‘rsatilgan.
t 
t
1-rasm.  6-bobdagi  6-masaiaga oid
, 
„ 
2vHQ  .  л
7.  2-a rasmdan ko‘rinib turibdiki,  h 
- 
s,n0-
g
8
. 2-b rasmdagi belgilashlardan foydalaniladi. Kichik silindming kinetik 
energiyasi  ikki  qismdan  iborat  -  o‘z  o'qi  atrofida  aylanish  energiyasi  va 
katta silindrning ichida yumalash energiyasi:
T = ]
  /,0 2 +  1 
m ( R - a ) 2 S 2.
2  3 
2  v 
’
Bu  yerda  (
R - a )5  
= v 
kichik  silindr  markazining  harakat  tezligi, 
/■,  = 
т а 212 
.  Sirpanishsiz harakat uchun 
ав = (R -a)S.
 
Demak,
Г   = ~ m ( R ~ a f  8 2.
Silindrchaning  potensial  energiyasi:  £/= (R-«)m<<(l-cos<5).  Lagranj 
funksiyasi:
L
 = 
—m ( R  — а)"
 <5 2 - (
R - a ) m g
 (1 - cos5).
4
296

K ichik tebranishlar haqida gapirish uchun 
c o s <5
 ~ i — <52/2  deb olinadi:
Tebranish chastotasi:;•  C0-
3 
(R - a ) 
F—2imLlsine
a)
2-rasm.
 
6
-bobdagi  (7)- va  (
8
)-masalalarga oid
7-bobga oid  masalalarning javoblari va yechimlari
l
a ) H = ~
In.r; 
b)H = — -
 \  P?+-
2m L J  
2 M
Ъ
P
V  “ 
J
1
 
о 
1
 
2
 
I t
c) H = — xp~ +-— Px  -x\ 
d ) H
 = -- 
x p /
 + 
xpr р г
4 
4x
  ' 
4
e)H = ^  Px2 +
 Л  2 + 
УРх
 - 
xPy
 +
1
 ( * 2 + 3'2);
f ) H  =
 
—  — mcos в.
2 
m
 
2
2. 
p = m(r + [£2r]), 
H 
= 
^mp2 - £2 • [rp] 
+ 
t/(r). 
Agar  burchak  tezlik
nolga teng bolgandagi  G am ilton funksiyasini  tf
0
  deb belgilansa va impuls 
m om entining ta’rifini  eslansa 
H = H 0
 - M  • □  bo‘ladi.

4
  If  pi  ,  (/у - /у  cose
)2
  ;  pi
2 /, 
2 /,s in 2e 
2/3
5.  S ilin d rik   sistemada:  ^   = 
2m
2  P
2 
Pr +  ,
+ t/ (r,
1
2
w
''"sin  о
+ U(r,0,
6
. 
C h ek siz  kichik   siljish: 
ru ->ra> =r„ 
+ 
e;p'a = p a.
ciH
Я(гй,ра)= //(r’u,p’u) 
shart  —
r=o  ek an lig in i  b ildiradi.  D e m a k ,
Эг„
k a n o n ik  tenglam alar b o ’yicha 
ЭЯ
P =
I- - I
Эг„
() => P = const.
7.  C h ek siz  kichik  
Sep  burch ak k a bu rilgand a
r'a = r„ + 
Sra, 
p;,=pe+ 5p„;  Sra = [<5
, 
5Pe = [<5
b o ‘ladi,
ЭH  „ 
dH  _
—  5re+ —  5pfl
дга 
Эр,
= L (- P a5ra +ra5pa) =
: 
X  (“P„ 
■
 
[йфга ] + V  [&ppa ]) = Stp 
• — 
£  
[r„p„ 
] = 
0.
<5
const.
0 
, 
O r2 
r 2 :sin 6 в 2
8
.  L = -- +------
?  
9
/ 
\
 
1 
,  ? 
1  M , 2 
( М .   - М .   С О 5 0 Г
9.  /?(0,6»,M.,M3) = : - - / ,6I2 + - - — + 
' 
3 
'
^ 
2
  /т
sin
9
,
1
^  -siklik, 
py
  = 
М ., pv  = M 3.
298

а ) 
[ м
. , 
Г]
} = 
£ljkrk:  b)
 {b • M ,a • r} = 
b,at
 { М , , r,} = 
£ijkbia jrk 
=
J0
  = И аг];
с) 
{b ■
 M ,c -M} = с ■
 [bM]; 
d)
 0;
e){p,(a r )‘ } = ^ - ( a r ) 2  = 2 a ( a r ) ;
f) { r ,,
M 2} = 
2Mj
 {/;
,M j} =
 
2
[M r],; 
g ) {p,, M
2} = 
2
[pM],; 
h)
 
0
; 
i)
 
0
.
p 2 
(X
11.  Berilgan  maydonda  H = ---- .  M = {#,M}  ni  topish  kerak.
2m 
r
Komponentalar bo‘yicha hisoblaylik:
M j  = { H , M j }