Название предмета: Геометрия Тип предмета

ВОПРОСЫ ДЛЯ ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ
I -Семестр.

1. 
   Что такое вектор? Нуль-вектор? Приведите примеры векторных величин из физки. Является ли векторной величиной: 1) работа;
   

2) объем; 3) вес? Если да, то укажите направление этого вектора.

2. 
   Сформулируйте и докажите лемму о равенстве векторов.
   
3. 
   Сформулируйте и докажите утверждение об откладывании вектора от точки.
   
4. 
   Как определяется сумма двух векторов? Покажите на чертеже.
   
5. 
   Длины векторов и заданы. Как нужно направить эти векторы, чтобы длина их суммы была: а) наибольшей; б) наименьшей; в) равной длине вектора ?
   
6. 
   Какими должны быть векторы, чтобы их сумма делила угол между ними пополам?
   
7. 
   Докажите коммутативность сложения векторов.
   
8. 
   Докажите ассоциативность сложения векторов.
   
9. 
   В чем смысл “правила многоугольника”?
   
10. 
    В каких случаях равно ?
    
11. 
    Что можно сказать о векторах и , если известно, что уравнение : 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?
    
12. 
    Векторы , и коллинеарны и < < . Верно ли, что вектор сонаправлен с суммой векторов , и ?
    
13. 
    Пусть . Следует ли отсюда, что = ?
    
14. 
    Дать определение угла между векторами.
    
15. 
    Чему равен угол между векторами, если хотя бы один из векторов нулевой?
    
16. 
    Какой можно сделать вывод, если:
    
17. 
    1) = 0; 2) < 0; 3) > 0?
    
18. 
    Для каждого из случаев, приведенных в предыдущей задаче, сформулируйте обратные утверждения. Справедливы ли они?
    
19. 
    В чем состоит геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе?
    
20. 
    Сравните свойства скалярного произведения векторов со свойствами умножения чисел. Перечислите общие свойства этих произведений. Какими свойствами умножения чисел скалярное произведение не обладает? Объясните почему.
    
21. 
    Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?
    
22. 
    Векторы и коллинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторов и ?
    
23. 
    Если векторы и компланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторов и , линейно зависима?
    
24. 
    Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору , то коллинеарен »?
    
25. 
    Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов;
    
26. 
    2) противоположных векторов?
    
27. 
    Может ли система, состоящая из одного вектора, быть:
    
28. 
    1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?
    
29. 
    Дан вектор относительно базиса B = ( ) векторного пространства V. Каковы координаты
    
30. 
    векторов относительно базиса B?
    
31. 
    Вектора относительно базиса B΄=( )?
    
32. 
    Что такое размерность подпространства? Поясните ответ на примерах.
    
33. 
    Приведите примеры: 1) нульмерного; 2) одномерного; 3) двумерного подпространства.
    
34. 
    Приведите примеры базисов в одномерном и двумерном пространствах.
    
35. 
    Что такое координаты вектора в двумерном векторном пространстве? Почему у любого вектора двумерного пространства координаты относительно фиксированного базиса всегда существуют и определяются единственным образом?
    
36. 
    Перечислите свойства координат векторов в двумерном подпространстве.
    
37. 
    Доказать, что пересечение любых двух векторных подпространств всегда не пусто.
    
38. 
    Является ли векторным подпространством пересечение (объединение) двух векторных подпространств?
    
39. 
    С помощью векторов докажите следующие утверждения: а) если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм; б) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; в) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; г) средняя линия треугольника параллельна основанию и длина ее равна половине длины основания.
    
40. 
    Доказать, что в треугольнике ABC угол прямой тогда и только тогда, когда AC² = AB² + BC².
    
41. 
    Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением длин оснований.
    
42. 
    В кубе найти величину угла: а) между диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями соседних граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.
    
43. 
    Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).
    
44. 
    Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
    
45. 
    Доказать, что в четырехугольнике ABCD имеет место равенство: , где M, N – соответственно середины сторон AD и BC. Пользуясь этим равенством, докажите, что средняя линия трапеции (треугольника) параллельна основаниям (основанию) и равна их (ее) половине.
    
46. 
    Что такое аффинная система координат? Как она задается? Как обозначается?
    
47. 
    Как определяются координаты точки в аффинной системе координат?
    
48. 
    Докажите, что если на плоскости задана аффинная система координат, то между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие.
    
49. 
    Покажите на примерах как построить точку по ее заданным координатам в аффинной системе координат.
    
50. 
    Докажите, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.
    
51. 
    Точка M делит направленный отрезок в отношении . В каком отношении точка M делит отрезок ?
    
52. 
    В каком отношении делится направленный отрезок : а) точкой A; б) точкой B; в) серединой M отрезка AB?
    
53. 
    Как выражаются координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении , через соответствующие координаты концов отрезка?
    
54. 
    Покажите, что для любого действительного числа , отличного от –1 , на прямой АВ существует одна и только одна точка М, делящая направленный отрезок АВ в отношении .
    

8. Какие значения принимает λ, когда точка М прямой М₁М₂ лежит на: а) отрезке М₁М₂, б) луче, М₁М₂; в) луче, дополнительном к лучу М₁М₂?
9. Точка М делит направленный отрезок М₁М₂ в отношении λ. Как перемещается точка М на прямой М₁М₂, если известно, что:
а) λ →0; б) λ→+ ; в) λ→ – ; г) λ→ –1.

55. 
    1. Какая система координат называется прямоугольной?
    
56. 
    2. Какая задача называется аффинной? Какая – метрической?
    
57. 
    3. Какие задачи можно решить в прямоугольной системе координат? Приведите примеры.
    
58. 
    На сторонах произвольного треугольника вне его построены правильные треугольники. Доказать, что центры этих правильных треугольников являются вершинами некоторого правильного треугольника.
    
59. 
    Вычислите длину биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно и .
    
60. 
    Доказать, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда заключена между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
    
61. 
    В чем суть метода координат в геометрии?
    
62. 
    Что такое условие определяющее фигуру?
    
63. 
    Как вывести уравнение некоторой фигуры? Приведите пример.
    
64. 
    Какая линия называется алгебраической? Что такое уравнение линии? Можно ли в определении алгебраической линии аффинную систему координат заменить полярной?
    
65. 
    Что такое порядок алгебраической линии? Поясните ответ на примерах.
    
66. 
    Докажите, что порядок линии не зависит от выбора аффинной системы координат.
    
67. 
    Выведите уравнение окружности в прямоугольной системе координат.
    
68. 
    Докажите, что существуют неалгебраические линии.
    
69. 
    Найти множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B , больше данного числа .
    
70. 
    Даны прямая и на ней две точки A и B. Две окружности переменных радиусов касаются этой прямой соответственно в точка A и B и друг друга в точке M. Какую фигуру образует множество точек M?
    
71. 
    Может ли направляющий вектор прямой быть параллельным оси OX?
    
72. 
    Перечислите основные способы задания прямой на плоскости.
    
73. 
    Запишите параметрические, каноническое и общее уравнение прямой. Как перейти от параметрических уравнений прямой к общему уравнению и от общего уравнения прямой к параметрическим? Поясните на примерах.
    
74. 
    Прямая задана уравнением 2x-3y+5=0. Найдите вектор: а) параллельный данной прямой; б) не параллельный прямой; в) вектор нормали данной прямой. Всегда ли можно решить эти задачи?
    
75. 
    Какую фигуру задают уравнения (p), если параметр : 1) принимает только целые значения; 2) принимает все значения из сегмента [1;2]; 3) принимает все значения из интервала (1;2); 4) неотрицателен.
    
76. 
    Прямая задана уравнением Ax+By+C=0 в аффинной системе координат. Докажите, что вектор является направляющим вектором этой прямой, а вектор не параллелен ей. Останется ли утверждение справедливым, если система координат будет прямоугольной декартовой?