Не удается отобразить рисунок. Не удается отобразить рисунок
tenzori komponentalarini almashtirish
Download 158.82 Kb. Pdf ko'rish
|
MIKROIQTISODIYOTDAN MUSTAQIL ISH
|
tenzori komponentalarini almashtirish. Faraz
qilaylik yevklid fazosida 1 2 3 oх х х ortogonal Dekart 1 х koordinatalari sistemasi va uning i э ρ -ortonormal bazisi hamda o‘qlari 1 2 3 oх х х sistemaning o‘qlariga nisbatan biror burchakka burilgan 1 2 3 oх′х′ х′ ortogonal koordinatalar sistemasi va uning i э ρ ortonormal bazasi berilgan bo‘lsin (2.8-rasm). Yangi i oх′ o‘qi bilan eski j oх o‘qlari orasidagi burchak kosinusini αij bilan belgilaymiz. Ma’lumki, ushbu kosinus i э ρ va j э ρ bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi, ya’ni α ij = i э ρ ⋅ j э ρ chunki ( ) ( ) i j i j i j i j ij э′ ⋅ э = э′ ⋅ э cos x′, x = cos x′, x = α ρ ρ ρ ρ эi ′ = э′ j = 1 ρ ρ x3 z a) σ 33 b) σ zz σ 31 σ 32 σ 23 σ zx σ zy σ yz σ13 σ 22 σ xz σ yy oσ12 σ 21 x2 oσ xy σ yx y σ11 σ xx x1 x 2.6-rasm. 23 Qaralayotgan αij kosinus i э ρ birlik vektorining j э ρ birlik vektori yo‘nalishi-dagi proyeksiyasiga va ikkinchi tomondan α ji = α ij bo‘lgani sababli j э ρ birlik vektorining i э ρ birlik vektori yo‘nalishidagi proyeksiyasiga teng bo‘lgani uchun i э ρ birlik vektorining eski j э ρ bazis bo‘yicha yoyilmasi i i i i ij j э э э э э ρ ρ ρ ρ ρ = α 1 1 +α 2 2 +α 3 3 = α (2.9) ko‘rinishga ega boladi. Aksincha j э ρ vektorining yangi i э ρ bazisdagi yoyilmasi j j j j ji i э = э′ + э′ + э′ = э′ ρ ρ ρ ρ ρ α 1 1 α 2 2 α 3 3 α (2.10) Yuqoridagi (2.9) formuladagi αij koeffitsientlar bir ortonormal bazisdan ikkinchisiga o‘tish matritsasini tashkil etadi. Ushbu matritsa ortogonal bo‘lishini ko‘rish qiyin emas, buning uchun [ ] [ ] T αij = α ij −1 tenglikni tekshirib ko‘rish yetarli. Bu yerda [ ] −1 α ij - teskari [ ] T α ij - transpokirlangan matritsa. Ortogonal matritsa elementlari quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: ik jk ij α α =δ va i j i j ki kj ij ij ≠ = = = 0, 1, α α δ , δ (2.11) va orthogonal matrisa determinant α ij = ±1 bu yerda musbat ishora i э ρ va j э ρ bazis vektorlari bir xil chap yoki o‘ng sistemalar bo‘lsa qo‘yiladi, agar ular har xil sistemalar bo‘lsa, ya’ni ulardan biri chap, ikkinchisi o‘ng sistemalar bo‘lsa manfiy ishora qo‘yiladi. Endi ixtiyoriy а ρ vektori komponentalarini almashtirish formulasini chiqarish qiyin emas: i i j j а а э a э ρ ρ ρ = ′ ′ = lekin (2.10) ga asosan i i j ji i j ij i a′э′ = a ⋅ ⋅ э′ = a э′ ρ ρ α α bundan i j ij a′ = a α (2.12) Ushbu formula eski koordinat sistemasidan yangisiga o‘tishda vektor komponentalarini almashtirish formulasidir. Xuddi shunday yangi koordinat sistemasidan eskisiga o‘tishda vektor komponentalarini almashtirish formulasini ham topish qiyin emas. Haqiqatan (2.9) ga asosan , j j i j i ij j а э a э a э ρ ρ ρ = ′ ′ = ⋅α ⋅ ya’ni j ij i a = α a′ (2.13) Endi qaralayotgan koordinat sistemalarida kuchlanish tenzorining komponentalarini almashtirish formulasini chiqaramiz. Тσ ning eski koordinat sistemasidagi komponentalarini σ ij lar bilan. Yangi koordinat sistemasida esa σ rs ′ lar bilan belgilaymiz. U holda tenzorning invariant ob‘yektligidan foydalanib 3 x′ x3 2 x′ 3 э′ ρ 3 э ρ 2 э ρ o 1 э ρ 1 э′ ρ 2 э′ ρ x2 x1 1 x′ 2.8- rasm. 24 ij i j rs r s э э = ′ э′э′ ρ ρ ρ ρ σ σ ekanligini ko‘rish qiyin emas. Ushbu ifodaning chap qismiga (2.10) ni ikki marta qo‘llab rs r s ij i j ij ri r js s ri sj ij r s ′ э′э′ = э э = ⋅ ⋅ э′ ⋅ ⋅ э′ = э′э′ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ σ σ σ α α α α σ tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan izlanayotgan σ rs α ri α sj σ ij ′ = ⋅ ⋅ (2.14) formulaga ega bo‘lamiz. Burilgan o‘qlarning yo‘naltiruvchi α ri va α sj kosinuslari uchun ko‘p ishlatiladigan quyidagi 2.1.- jadvaldagi belgilashlarini kiritamiz. Yuqoridagi (2.14) qonu- niyatdan foydalanib kuchlanish tenzori komponentalarini koordinat o‘qlarini burganda almashtirish formulalarini yoyib yozamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslarning (2.11) xossalaridan hamda 2.1-jadvaldan foydalanamiz: 2 2 2 ; 12 1 1 23 1 1 31 1 1 2 33 1 2 22 1 2 11 11 1 σ′ =σ λ +σ m +σ n + σ λ m + σ m n + σ n λ 2 2 2 ; 12 2 2 23 2 2 31 2 2 2 33 2 2 22 2 2 22 11 2 σ′ =σ λ +σ m +σ n + σ λ m + σ m n + σ n λ 2 2 2 ; 12 3 3 23 3 3 31 3 3 2 33 3 2 22 3 2 33 11 3 σ′ =σ λ +σ m +σ n + σ λ m + σ m n + σ n λ ( ) ( ); ( 23 1 2 2 1 31 1 2 2 1 12 11 1 2 22 1 2 33 1 2 12 1 2 2 2 λ λ λ λ λ λ m n m n n n m m n n m m + + + + ′ = + + + + + σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ); ( 23 2 3 3 2 31 2 3 3 2 23 11 2 3 22 2 3 33 2 3 12 2 3 3 2 λ λ λ λ λ λ m n mn n n mm n n m m + + + + ′ = + + + + + σ σ σ σ σ σ σ (2.15) ( ) ( ); ( 23 3 1 1 3 31 3 1 1 3 31 11 3 1 22 3 1 33 3 1 12 3 1 1 3 λ λ λ λ λ λ m n mn n n m m n n m m + + + + ′ = + + + + + σ σ σ σ σ σ σ Koordinat o‘qlari ixtiyoriy ravishda burilishi mumkin bo‘lganligidan (2.15) formulalar normal σ ii (I bo‘yicha yig‘indi olinmasin) va urinma (i j) σ ij ≠ kuchlanishlarni jismning qaralayotgan nuqtasidan o‘tuvchi istalgan maydonchada hisoblash imkoniyatini beradi. Yangi 1 2 3 оx′x′ x′ koordinat sistemasidan eski 1 2 3 оx′x′ x′ koordinat sistemasiga qayta o‘tish formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 2 2 2 ; 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 2 11 11 1 σ =σ′ λ +σ′ λ +σ′ λ + σ′ λ λ + σ′ λ λ + σ′ λ λ 2 2 2 ; 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 2 σ22 =σ11′ m1 +σ′ m +σ′ m + σ′ mm + σ′ m m + σ′ m m 2 2 2 ; 12 1 2 23 2 3 31 3 1 2 33 3 2 22 2 2 33 11 1 σ =σ′ n +σ′ n +σ′ n + σ′ n n + σ′ n n + σ′ n n ( ) ( ); ( 23 2 3 3 2 31 3 1 1 3 12 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 2 2 2 m m m m m m m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ + ′ + + ′ + = ′ + ′ + ′ + ′ + + σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ); ( ) 23 2 3 3 2 31 3 1 1 3 23 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 2 2 1 m n m n m n mn mn m n m n mn m n + ′ + + ′ + = ′ + ′ + ′ + ′ + + σ σ σ σ σ σ σ (2.16) ( ) ( ). ( ) 23 2 3 3 2 31 3 1 1 3 31 11 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 3 3 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ n n n n n n n n n + ′ + + ′ + = ′ + ′ + ′ + ′ + + σ σ σ σ σ σ σ Ushbu o‘tish formulasining tenzori ko‘rinishi σ ij σ rsαri α sj = ′ ⋅ (2.17) kabi yoziladi. Agar (2.14) bilan (2.15) hamda (2.17) bilan (2.16) formulalari solishtirilganda tenzor tilidagi yozuvning afzalliklari yaqqol namoyon bo‘ladi. Chunki qariyb yarim sahifalik (2.15) yoki (2.16) formulalarni juda qisqa (2.14) yoki (2.15) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi. Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori invariantlari. Kuchlanishlarning deviatori va sharsimon tenzori. 25 Yuqorida qattiq jismning normali n ρ bo’lgan ixtiyoriy qiya tekisligidagi n q ρ kuchlanish vektorini koordinat tekisliklaridagi uchta q (i =1,2,3) i ρ kuchlanish vektori (2.4) ufoda orqali ifodaladik va bu vektorlar Тσ kuchlanish tenzorining σ ij komponentalari (2.5) formula yordamida i ij j q э ρ ρ = σ ⋅ (2.18) kabi ifodalandilar. Ikkinchi tomondan normal n ρ bo’lga ixtiyoriy maydonchadagi n q ρ vektori nn q ρ -normal va nτ q ρ - urinma kuchlanish vektorlarining geometric (2.9-rasm) yigindisi sifatida tasvirlanadi, ya’ni n nn nτ q q q ρ ρ ρ = + Urinma kuchlanishlar nolda teng bo’lgan maydonchalar bosh maydonchalar deyiladi. Bosh maydonchalardagi kuchlanishlar bosh kuchlanishlar deyiladi va ularning yo’nalishlari kuchlanish tenzorining bosh yo’nalishlari deyiladi va ular doimo uchta bo’ladilar. Yuqoridagi formuladan ko’rinadiki bosh maydonchalarda n nn q q ρ ρ = , ya’ni kuchlanish vektori faqat normal kuchlanishdangina iborat bo’ladi. Kuchlanish vektori n q ρ ning koordinat tekisliklarida ta’sir qilayotgan i q ρ kuchlanish vektorlarining har biri bitta mos o’q bo’ylab yo’nalgan normal va ikkita urinma komponentalarga ega bo’ladilar. Agar koordinat tekisligi
bosh maydoncha bo’lsa, ya’ni bu tekislikda urinma kuchlanishlar nolda teng bo’lsa, i q ρ vektori komponentalaridan faqat qaralayotgan tekislikka perpendikulyar yo’nalgan o’q bo’ylab yo’nalgan normal komponentasigina noldan farqi bo’ladi. U holda qaralayotgan i q ρ vektor o’zining shu tekislikdagi normal komponentasi bilan unga mos i э ρ bazis vektorining ko’paytmasiga teng, boshqacha aytganda i q ρ vektori mos i э ρ bazis vektoriga karrali bo’ladi. Ana shu karralilik ko’payturuvchisi bo’lgan skalyar miqdorni σ bilan belgilaymiz. U holda yuqorida aytilganlardan kelib chiqib i i q э ρ ρ = σ ⋅ (2.19) deb yozish mumkin (2.18) va (2.19) formulalardan ij j i э э ρ ρ σ = σ lekin i ij j э э ρ ρ = δ bo’lganligi uchun ij j ij j э э ρ ρ σ = σ ⋅δ tenglikka va bundan ( − ⋅ ) = 0 ij ij j э ρ σ σ δ (2.20) tenglamaga ega bo’lamiz. Kuchlnish tenzorining bosh yo’nalishini ko’rsatuvchi i э ρ vektorlarning hammasi, ya’ni 1 2 3 э э э ρ ρ ρ lar bir vaqtda nolga teng bo’lishlari mumkin emas. Demak, (2.20) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nilga teng bo’lishi kerak, ya’ni σ ij −σ δ ij = 0 (2.21) Bu esa tutash muhitlar mexanikasi kursidan bizga ma’lum bo’lgan arsiy tenglamaning xuddi o’zidir. Ushbu tenglamaning yoyilib yo’zilishi quyidagicha ko’rinishga ega n q ρ τ ρ n ρ nτ q ρ nn q ρ ds 2.9- rasm 26 ( ) ( ) ( ) 0 31 32 33 21 22 23 11 12 3 = − − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.22) va u kuchlanish tenzorining xarakteristik tenglamasi deyiladi. Determinantni hisoblab σ ga nisbatan kubik tenglamaga ega bo’lamiz: ( ) ( ) ( ) 0, 2 3 2 1 3 σ − I σ ij σ + I σ ij σ − I σ ij = (2.23) buyerda ( ) 1 σ ij = σ11 +σ 22 +σ 33, I ( ) ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 13 11 33 31 32 33 22 23 21 22 11 11 2 , σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = = + + ij ij I I (2.24) Kuchlanish tenzorining birinchi ikkinchi va ychinchi invariantlari deb ataluvchi I1,I2,I3 invariantlarni aniqlovchi (2.24) tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )( ). 2 1 3 1 , 2 1 , 3 3 2 1 ii jj ij ij ss ij ij ij ik jk ss ij i jj ij ij ij ii I I I σ σ σ σ σ σ δ δ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ + − = = − + = − = (2.25) Kubik (2.23) tenglamaning ildizlarini, ya’ni Тσ kuchlanish tenzorining bosh qiymatlarini σ i lar orqali belgilaymiz. Odatda bosh kuchlanishlarning raqamlar ularning aldebraik ma’noda kamayib borishi tartibida qabul qilinadi . σ1 >σ 2 >σ 3 ( ) Tσ = σ ij kuchlanish tenzorining biror bosh o’qi bi’ylab yonalgan birlik vektori n ρ ning yo’naltiruvchi kosinuslariga teng bo’ladilar va ( − ) = 0 ij ij j σ σ δ n (2.26) hamda ⋅ = 1 j j n n (2.27) tenglamalardan aniqlanadilar. Kuchlanish tenzori ( ) σ ij ning 1 2 3 σ ,σ ,σ bosh qiymatlarini birin-ketin (2.26) da σ ning o’rniga qo’yib va olingan uchta guruh tenglamalarini har safar (2.27) bilan birga ycchib uch guruh j j j n n n 1 2 3 , , yo’naltiruvchi kosinuslarni topamiz. Xuddi shu kosinuslar kuchlanish tenzorining uchta bosh o’qlari yo’nalishlarini aniqlaydilar. Agar koordinat o’qlari ( ) σ ij tenzorining bosh o’qlari bo’ylab yo’naltirilsa, unung normal komponentalari 1 2 3 σ ,σ ,σ bosh kuchlanishlar bo’ladilar, urinma (i j) σ ij ≠ kuchlanishlar nolga
aylanadilar. Demak, bu holda kuchlanish tenzorining (2.7) matrisasi diogonal matrisadan iborat bo’ladi: ( ) 3 2 1 σ σ σ σ σ o o o o o o Т = ij = (2.28) 27 Koordinat o’qlari shunday yo’naltirilganda ( ) σ ij tenzorning invariantlarini aniqlovchi (2.25) formulalar quyidagi ko’rinishni oladilar ( ) ( ) ( ) . , , 3 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = = + + = + + ij ij ij I I I (2.29) Endi kuchlanish tenzorining simmetrik tenzor ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy v hajmli jism harakat miqdori momenti tenglamasining differensial shaklidan foydalanamiz [Sedov] Q ( ) . i ij i j i h э э dt dk ρ ρ σ ρ ρ ρ ρ ρ = + ∇ + ⋅ (2.30) Bu yerda k ρ -ichki kuchlar momenti, Q ρ -jism sirtida ta’sir etuvchi taqsimlangan juftlar momenti; h ρ ρ -massaviy (hajmiy) kuchlar momenti; ( ) ij i j э э σ ρ ρ ⋅ ichki kuchlanish vektori momenti. Elastiklik klassik nazariyasi doirasida ichki, hajmiy va taqsimlangan sirt juftlarining momentlari nolga teng. U holda (2.30) dan ( ⋅ ) = 0 ij i j э э σ ρ ρ (2.31) tenglikka ega bo’lamiz va uni ( ⋅ ) + ( ⋅ ) = 0 < > ij i j ij i j j i j i э э σ э э σ ρ ρ ρ ρ ko’rinishda yo’zib olamiz. Bu yerda I = j holda ( ) i j э э ρ ρ ⋅ =0 bo’lganligi sababli (2.31) tenglama aynan qanoatlantiriladi va shuning uchun bu hol qaralmagan. Oxirgi tenglikning ikkinchi yig’indisida (I va j lar gung ekanligini e’tiborga oling) yig’indilar hisoblanuvchi indekslar j ni I ga, I ni esa j ga almashtirib ( ⋅ ) + ( ⋅ ) = 0 < < ij i j ij i j j i j i э э σ э э σ ρ ρ ρ ρ (2.32) tenglikka ega bo’lamiz. Lekin vektorlari ko’paytmalarning xossasiga asosan ( ⋅ )( − ) = 0 < ji ij j i i j э э σ σ ρ ρ
bundan σ ij = σ ji (2.33) Buyerdan kuchlanish tenzori Tσ ning simmetrikligi ko’rinadi. Unung deviator va sharsimon qismlariga yoyish mumkin. Ana shunday amaliyotni kuchlanish tenzori uchun amalga oshiramiz, ya’ni ( ) Tσ = σ ij kuchlanish tenzorini, simmetrik tenzor bo’lganligidan, sharasimon kuchlanish tenzori va kuchlanish deviatoriga yoyamiz: , ~ ij o ij σ ij σ = σ δ + (2.34) buyerda o ij σ δ -kuchlanishlar sharsimon tenzori komponentalari; σ ij ~ -kuchlanish deviatori komponentalari; σ o -o’rtacha normal kuchlanish, ya’ni ( ) / 3 3 1 ij kk o I σ σ σ = = (2.35) Kuchlanishlar sharsimon tenzorining birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari (2.29) ga asosan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 27. 3 / 3; 3 ; 3 1 3 3 2 1 2 2 1 1 o ij o ij o ij o ij o ij o ij I I I I I I σ δ σ σ σ δ σ σ σ δ σ σ = = = = = = (2.36) tengliklar bilan aniqlanadilar. Kuchlanish deviatori ) ~(σ ij ning birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari quyidagicha aniqlanadi: 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 27 2 ( ) ( ) ( )/3 ~ ; 3 ~ 1 0; ~ 3 3 3 1 2 1 2 2 2 1 1 ij ij ij ij ij ij ij ij ij I I I I I I I I I σ σ σ σ σ σ σ σ σ = − + = − = (2.37) Kuchlanish sharsimon tenzorining matrisasi ( ) o o o o ij o o o o o o σ σ σ σ δ = (2.38) va kuchlanish deviatorining matrisasi ( ) о o o ij 31 32 21 23 12 13 ~ σ σ σ σ σ σ σ = (2.39) ku’rinishlarga bo’ladilar. Amalda kuchlanishlarning sharsimon tenzori va deviatorining (2.38) va (2.39) ko’rinishlari ko’proq ishlatiladi. Elastiklik nazariyasi tadbiq qilinadigan sohalarning ko’pchiligida bosh kuchlanishlarni hisoblash muhit rol o’ynaydi. Shuning uchun bu masalani yo’ritishga bob oxiri da alohida paragraf bag’ishlanadi. Download 158.82 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|