Не удается отобразить рисунок. Не удается отобразить рисунок

2. Asosiy farazlar. Tashqi kuchlar. 

Kuchlanish vektori  

Kirish qismida ta’kidlan elastiklik klassik nazariyasi 

jismning sanab o‘tilgan oltita xususiyatga ega bo‘lishini 

talab qiladi. Ushbu xususiyatlardan birinchisi tutashlik 

farazidir, ya’ni deformatsuyaga tutash bo‘lgan jism 

deformatsi-yadan keyin ham tutashligicha qolishi kerak. 

Bunda jismning istalgan bo‘lagi, shu jumladan, juda 

kichik zarrachasi ham bo‘shliqlar va uzilishlarga ega 

emas. Tutashlik farazi ko‘chishlar va deformatsiyalarni 

koordinatalarning uzluksiz funksiyasi sifatida qarashga 

imkon beradi va ularni tekshirish uchun matematikaning 

uzluksiz funksiyalar apparatini qo‘llash mumkin bo‘ladi. 

18 Elastik jism ideal-elastik yoki boshqacha aytganda 

to‘liq elastik deb qabul qilinadi. Idealelastiklik deganda 

jismning unda qo‘yilgan tashqi kuchlar olib 

tashlangandan keyin o‘zining boshlang‘ich shakli va 

hajmini to‘liq tiklash xususiyati tushuniladi. Jismning 

boshlang‘ich yoki tabiiy holati deb unung tashqi yuklar 

bo‘lmaganda unda hech qanday kuchlanishlar paydo 

bo‘lmasligi tushuniladi. Jismning boshlang‘ich holati 

uning oldindan kuchlanganlik holatini istisno qiladi. 

Chunki juda ko‘p hollarda oldindan kuchlanganlik 

---

holatini xarakterlovchi boshlang‘ich kuchlanishlarning 

miqdori va tabiati noaniq bo‘lib, jismning paydo bo‘lish 

tarixidan bog‘liq. Jism ideal-elastik bo‘lsa, 

deformatsiyalar va kuchla-nishlar orasidagi bog‘lanishlar 

chiziqli deb faraz qilinadi. Shunday qilinganda 

kuchlanishlar va deformatsiyalar orasida 

temperaturaning har bir qiymati uchun hamda vaqtga 

bog‘liq bo‘lmagan o‘zaro bir qiymatli mostik o‘rnatiladi. 

Elastik jism yetarli darajada bikrlikka ega deb faraz 

qilinadi. Boshqacha aytganda jism nuqtalarining 

ko‘chishlari uning chiziqli o‘lchamlariga nisbatan kichik, 

nisbiy uzayishlar (qisqarishlar) va siljish burchaklari 

birga nisbatan ancha kichik bo‘lishi talab etiladi. Xuddi 

ana shu talab hamda kuchlanishlar va deformatsiyalar 

orasidagi bog‘lanishning chiziqliligi kuchlar ta’sirlarining 

mustaqilligi prinsipini qo‘llashga imkon yaratadi. 

Ma’lumki, bu prinsip jismga ta’sir qiluvchi kuchlar 

sistemasining ta’sirini sistemaga kiruvchi kuchlarning 

har birining alohida ta’sirlari yig‘indisi sifatida 

hisoblashga imkon beradi. Ideal-elastik jism bir jinsli 

bo‘lishi kerak. Bu bir xil kuchlanishlar ta’sirida jismning 

hamma nuqtalarida bir xil deformatsiyalar vujudga 

keladi degan so‘dir. Boshqacha aytganda bir jinslilik 

jismning elastik xossalarini xarakterlovchi kattaliklarni 

uning butun hajmi bo‘yicha o‘zgarmas deb hisoblashni 

taqozo etadi. Nihoyat elastik jismning izotrop xossaga 

ega bo‘lishi talab etiladi. Jism izotrop bo‘lsa uning 

elastik xossalari hamma yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil 

bo‘ladi. Tabiatdagi mavjud jismlar qaralayotgan 

modeldan u yoki bu darajada farq qiladi. Shuning uchun 

---

ham elastiklik nazariyasidga olinadigan yechimlarning 

aniqligi qaralayotgan jismning qanchalik darajada ideal-

elastik, tutash, bir jinsli va izotrop bo‘lishiga bog‘liq. 

Elastiklik nazariyasidagi asosiy tushunchalardan biri 

kuch tushunchasidir. Nazariy mexanika kursidan 

ma’lumki, kuch bir jismning boshqa jismga ta’sirining 

miqdor o‘lchovidir. Kuchlar jismga nisbatan ichki va 

tashqi kuchlardan iborat bo‘ladi. Bizni asosan tashqi 

kuchlar qiziqtiradi. Chunki tutashlik gipotezasi modda-

ning atom strukturasini va molekulyar harakatini 

e’tiborga olmaslikka imkon beradi. Ichki kuchlarni esa 

molekulalarning o‘zaro ta’sir kuchlari vujudga keltirishi 

ma’lum. Shunday qilib faqat jismga ta’sir qiluvchi tashqi 

kuchlarnigina qaraymiz. Qattiq jismga ta’sir qiluvchi 

tashqi kuchlarni ikki guruhga bo‘lish mumkin: sirt 

kuchlari va hajmiy kuchlar. 1.Sirt kuchlari bir jismning 

boshqa jism bilan to‘qnashishi, urinishi yoki umuman 

kontaktda bo‘lishi natijasida yuzaga keladi. Bunday 

kuchlar jismning sirti bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. 

Masalan, shamolning bino devoriga ko‘rsatadigan bosim 

kuchi, tongda yoqqan qorning og‘irlik kuchi, 

mashinaning yerga bosim kuchi va h.k. Sirt kuchlari ular 

taqsimlangan sirtning birlik yuzasiga to‘g‘ri keladigan 

kuch qiymati bilan xarakterlanadi.Ushbu kattalik kuch 

intensivligi deb ataladi. Agar kuch ta’sir qilayotgan 

yuzaning o‘lchamlari jismning o‘zining o‘lchamlariga 

nisbatan kichik bo‘lsa, bunday yuzani hisobga olmaslik 

va kuchni nuqtaga qo‘yilgan deb hisoblash mumkin. Qn 

ρ

 1 q ρ S ds Q1 ρ V Q2 ρ Q3 ρ 2.1-rasm. 19 Bu holda 

kuch to‘plangan kuch deyiladi. Faraz qilaylik, hajmi va 

---

shu haj-mini o’rab turgan sirti bo‘lgan jismga ta’sir 

qilayotgan kuchlarning intensivlik vektori bo‘lsin (2.1-

rasm). U holda ds yuzali elementar sirtga ga teng 

bo‘lgan sirt kuchi ta’sir etadi. 2. Hajmiy (massaviy) 

kuchlar deb, jism hajmining hamma bo‘lakchalariga 

ta’sir qiluvchi kuchlarga aytiladi, masalan og‘irlik kuchi, 

energiya kuchi. Faraz qilaylik, ( )i f x ρ - jismning ( )i M 

x nuqtasi atrofidagi massa birligiga to‘g‘ri keladigan 

massaviy kuch bo‘lsin (2.2-rasm) va m jism hajmining 

massasi bo‘lsin. Ma’lumki, u holda, m = ρ d v bu yerda 

ρ

 -jismning zichligi. U holda jismning elementer hajmiga 

ta’sir etuvchi massaviy kuch ( )i Fi m f x ρ = ga teng 

bo‘ladi. Bu yerdan jismning birlik hajmiga ta’sir etuvchi 

hajmiy kuchni topish qiyin emas. Odatda jism 

zarrachalariga ta’sir etuvchi hajmiy kuchlarning 

geometrik yig‘indisi yoki bosh vektori hajmiy kuch deb 

qaraladi, ya’ni = ∑ ( )i F f x ρ ρ ρ ρ Tashqi kuchlar 

natijasida jism deformatsiyalanadi, ya’ni uning 

zarrachalarining o‘zaro joylashuvi o‘zgaradi. Natijada 

zarrachalar o‘rtasi-da jismni boshlang‘ich holatiga 

qaytarishga intiluvchi qo‘shim-cha ichki kuchlar paydo 

bo‘la-di. Ana shu i chki uchlarni aniqlash uchun kesin 

metodidan foydalanadilar. Jismning biror ( ) i M x 

nuqtasidan o‘tuvchi P silliq sirt bilan uni fikran ikkiga 

ajratamiz (2.3-rasm). Hosil qilingan bo‘laklarning 

sirtlarini 1 S va 2 S bilan, hajmlarini esa V1 va V2 bilan 

belgilaymiz. P kesuvchi sirtning ikki tomonida 

joylashgan zarrachalarning o‘zaro ta’sir kuchlari jism 

bo‘linganiga qadar ichki kuchlardan iborat edi. Jism 

bo‘linganidan keyin uning bo‘laklari xuddi bo’linishga 

---

qadar bo’lgani kabi muvozanatda bo‘lishlari uchun bu 

kuchlar ularning P sirtlarida qo‘yilishi kerak. P sirtning 

birinchi bo‘lak uchun normalini n ρ bilan belgilaymiz 

(2.4-rasm). U holda bu sirtning jismi ikkinchi bo‘lagidagi 

nor-mali - n ρ dan iborat bo‘ladi. Endi birinchi bo‘lakning 

sirti S1 + P dan, ikkinchi bo’laknini esa S2 + P dan iborat 

bo‘ladi. Birinchi bo‘lakning sirtida (P kesuvchi sirt 

yuzasida) yuzasi ∆S bo‘lgan va o‘zida ( ) i M x nuqtani 

saqlagan elementar maydonchani olib qaraymiz. Ushbu 

maydonchadagi sirt kuchlarining bosh vektori va bosh 

momentini mos ravishda Q ρ ∆ va ∆M lar bilan 

belgilaymiz. Normali n ρ bo‘lgan maydonchadagi ( ) i M 

x jism nuqtasidagi kuchlanish vektori deb . lim lim     



  = ∆ ∆ = = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 0 0 0 S M q d S n S ρ ρ ρ ds 

Q S Q (2.1) tenglik bilan aniqlanuvchi n q ρ vektori 

aytiladi. Ushbu tenglik kuchlanish vektorining kuch 

intensivligidan boshqa narsa emasligini ko‘rsatadi. 

Shunday qilib, ichki kuchlar intensivligi kuchlanish 

deyiladi. Demak, jismning birinchi bo‘lagi uning ikkinchi 

bo‘lagiga q ds n ρ sirt kuchi bilan Qn ρ Q1 ρ P V2 n ρ 

S2 Q2 ρ M(xi) Q4 ρ V S1 Q3 ρ 2.3-rasm. V2 n ρ P M(xi) 

V1 ds n ρ Q1 ρ P q ds n ρ Q2 ρ V1 S1 Q3 ρ 2.4-rasm. 

M(xi) ( ) ( ). v v v i i i f x d d f x d F ρ ρ = = ρ 20 ta’sir 

etadi. U holda ta’sir va aks-ta’sirlarning tengligi 

prinsipiga asosan ikkinchi bo‘lak ham birinchi bo‘lakka q 

ds q ds n n ρ ρ − = − kuch bilan ta’sir etadi. Bu yerdan 

n n q q ρ ρ − = − ekanligi kelib chiqadi. Jismni kesuvchi 

P sirtni biz ixtiyoriy tanladik, unda faqat ( ) i M x 

nuqtadan o‘tish shartinigina qo‘ydik. Shuning uchun n q 

---

ρ

 kuchlanish vektori kesuvchi sirt ko‘rinishiga bo‘gliq 

bo‘lmaydi. Jismning biror nuqtasidan o‘tuvchi har xil 

maydonchalarda kuchlanish vektorlari q q (х ,n) n n i ρ 

ρ

 = lar har xil bo‘ladi. Qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi 

mumkin bo‘lgan hamma maydonchalardagi kuchlanish 

vektorlarining to‘plami shu nuqtadagi kuchlanganlik 

holatini aniqlaydi. Jism hamma nuqtalaridagi 

kuchlanganlik holatlarining majmuasi jismning 

kuchlanganlik holati deyiladi. 2. Jism nuqtasidagi 

kuchlanganlik holati. Kuchlanish tenzori. 

Deformatsiyalangan qattiq jismning vaziyati n ρ vektor 

bilan aniqlanuvchi biror ixtiyoriy maydonchasida 

yotuvchi ( ) i M x nuqtasining kuchlanganlik holatini 

aniqlaymiz. Buning uchun jismdan uchta yog‘i koordinat 

tekisliklaridan iborat to‘rtinchi yo‘g‘ining normali n ρ 

bo‘lgan va o‘lchamlari cheksiz kichik bo‘lgan tetraedr 

ko‘rinishidagi elementar hajmni ajratamiz (2.5-rasm). 1 

2 3 х х х dekart ko-ordinatalari sistemasi oqlarining 

bazis vektorlarini i э ρ lar bilan, n ρ vektorining 

yo‘naltiruv-chi kosinuslarini i n lar bilan, ya’ni , ), 1,2,3. 

€ ni = cos(xi n i = ρ kabi belgilaymiz. Tetraedrning 

koordinat tekisliklari bilan ustma-ust tushuvchi yoqlarini 

unda perpendikular bo‘lgan koordanat o‘qining raqami 

bilan belgilaymiz: 1 ds bilan 1 x o‘qiga perpendikular 

bo‘lgan yoqning yuzasi, 2 ds va 3 ds lar bilan 2 x va 3 x 

o‘qlariga perpendikulyar bo‘lgan yqlarning yuzalari 

belgilanadi, ds bilan esa n ρ normalga perpendikular 

bo‘lgan to‘rtinchi yoqning yuzasi belgilanadi. U holda 

geometriya kursidan ma’lumki, ds n ds i = i (2.2) tenglik 

o‘rinli bo‘ladi. Elementning yoqlariga sirt kuchlaridan 

---

tashqari hajmiy ham ta’sir qiladi. Ammo bizni nuqtaning 

kuchlanganlik holati qiziqtirganligi uchun tetraedr 

hajmini cheksiz kichraytiramiz. Bu holda hajmiy kuchlar 

ham nolga intiladi va pirovardida tetraedr nuqtaga 

intilganda bu kuchlar nolda aylanadi. Shuning uchun 

ham hajmiy kuchlarni hisobga olmaymiz. Tashqi sirt 

kuchlari ta’siri ostidagi qaralayotgan element 

muvozanat holatida bo‘ladi. U holda tashqi kuchlarning 

bosh vektori nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni 0 qn ds + 

q−1 ds1 + q−2 ds2 + q−3 ds3 = ρ ρ ρ ρ (2.3) tenglik 

bajariladi. Agar (2.1) va (2.2) ifodalarni (2.3) tenglikka 

qo‘ysak hamda takrorlanuvchi indekslar bo‘yicha yig‘indi 

hisoblanishini esga olsak (“gung” indeksning xossasi), 

(2.3) tenglikdan n i i q q n ρ ρ = (2.4) ifodaga ega 

bo‘lamiz. x3 A3 q ds n ρ n ρ 1 1 q ds − ρ 2 2 q ds − ρ M 

A2 x2 A1 3 3 q ds − ρ x1 2.5-rasm. 21 Bu tenglik 

jismning м nuqtasidan o‘tuvchi normali n ρ bo‘lgan 

ixtiyoriy maydonchadagi n q ρ kuchlanish vektorini, 

koordinat tekisliklaridagi va har biri м nuqtadan o'tuvchi 

uchta koordinat tekisliklaridagi i q ρ kuchlanish 

vektorlari orqali to‘liq aniqlanishini ko‘rsatadi. Endi har 

qanday vektorni bazis vektorlari bo‘yicha yoyish 

mumkinligidan foydalanib, i q ρ va n q ρ kuchlanish 

vektorlarini j э ρ bazis vektorlari orqali quyidagicha 

yozamiz: ; , i ij j n nj j q э q q э ρ ρ ρ ρ = τ = (2.5) bu 

yerda ( j = 1,3) ij τ kattaliklar i q ρ vektorining koordinat 

o‘qlaridagi proyeksiyalari yoki i - chi koordinat 

tekisligidagi kuchlanish vektorining komponentalari; nj q 

-ixtiyoriy maydonchadagi n q ρ kuchlanish vektorining 

---

komponentalari. Umuman uchta koordinat 

tekisliklaridagi q (i = 1,2,3) i ρ uchta kuchlanish 

vektorlarining to‘qqizta (i, j = 1,2,3) σ ij komponentasi 

bundan keyingi amaliyotimizda muhim rol o‘ynaydi. Endi 

(2.5) ning birinchi ifodasini (2.4) ga qo‘yib n i i ij j i ij i j 

q q n э n n э ρ ρ ρ ρ = ⋅ = σ ⋅ ⋅ = σ formulaga ega 

bo‘lamiz. Olingan ifodani (2.5) ifodalardan ikkinchisining 

chap tomoniga qo‘yamiz: nj j ij i j q э n э ρ ρ ⋅ = σ va 

vektorlarning tengligi shartidan nj ij i q = σ n (2.6) 

ifodani hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki, uchta i q ρ 

vektorlarining to‘qqizta σ ij komponentalari ikkinchi rang 

tenzorning komponentalarini tashkil etadi. Ushbu tenzor 

kuchlanish tenzori deb ataladi va Tσ bilan belgilanadi. 

Bu tenzorni matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish 

qabul qilingan: 31 32 33 21 22 23 11 12 13 σ σ σ σ σ σ 

σ

 σ σ Тσ = yoki ( ) Tσ = σ ij (2.7) kuchlanish tenzori σ 

ij komponentalarining birinchi indeksi i q ρ kuchlanish 

vektori maydonchasiga perpendikular bo‘lgan i х 

koordinat o‘qining indeksiga to‘g‘ri keladi, ya’ni birinchi 

indeks tenzorning shu komponentasi i х o‘qqa 

perpendikular tekislikda ta’sir qilishini ko‘rsatadi. 

Ikkinchi indeks esa σ ij komponentaning j х koordinat 

o‘qi yo‘nalishida ta’sir qilishini ko‘rsatadi. Masalan: σ 23 

komponenta 2 x o‘qiga perpendikular bo‘lgan 1 3 x ox 

tekisligiga parallel tekisligida 3 x o’q yo‘nalishi bo‘ylab 

ta’sir qiladi, σ11 komponenta 1 x ga perpendikular 2 3 x 

0x tekisligida 1 x yo‘nalishda ta’sir qiladi. Shuning uchun 

ham (2.7) matritsaning koordinat o‘qlari bo‘ylab 

yo‘nalgan σ ii (i bo’ycha yigindi olimmasin) elementlari 

---

yoki 11 22 33 σ , σ , σ lar-koordinat tekislikkaridagi 

normal kuchlanishlar yoki Tσ kuchlanish tenzorining 

normal komponntalari deyiladi. Matritsaning qolgan (i j) 

σ

 ij ≠ elementlari koordinat tekisliklaridagi urinma 

kuchlanishlar yoki Tσ kuchlanish tenzorining urinma 

komponentalari deyiladi. Shunday qilib, kuchlanish 

tenzorining komponentalari berilgan nuqtada va normal 

kuchlanishlardan iboratdir. Demak, kuchlanish 

tenzorining σ ij komponentalari jismning berilgan 

nuiqtasidagi kuchlanganlik holatini to‘liq aniqlaydi. 

Boshqacha aytganda, Tσ tenzori ma’lum bolsa, 

qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi istalgan maydonchada 

n q ρ kuchlanish vektorining proyeksiyalarini aniqlash 

(2.6) formula yordamida oson hal qilinadi: 22 , , , 3 13 

1 23 2 33 3 2 12 1 22 2 32 3 1 11 1 21 2 31 3 q n n n q 

n n n q n n n n n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ = + + = + + = + + 

(2.8) Agar qaralayotgan maydoncha jismni o‘rtab 

turuvchi sirti bilan ustma-ust tushsa yoki uning biror 

qismi bo‘lsa, n q ρ kuchlanmish tenzorining q (i =1,2,3) 

ni tuzuvchilari jism sirtida ta’sir qilayotgan tashqi sirt 

kuchlarining tuzuvchilaridan ibort bo‘ladi. U holda (2.8) 

tenglamalarni jism sirtidagi shartlar deb ataydilar. Ular 

tashqi kuchlarni ichkilari bilan bog‘laydi. Shu o‘rinda 

ta’kidlash lozimki, jism nuqtasidagi kuchlanganlik 

holatini shu nuqta atrofida koordinat o‘qlariga 

perpendikular bo‘lgan tekisliklar bilan tasvirlash uchun, 

yoqlari koordinat o‘qlariga parallel bo‘lgan va qirralari 

nolga intiluvchi parallelepipeddan iborat elementar 

hajmni alohida qaraydilar. Bunda har bir yoqqa unga 

mos keluvchi kuchlanishlarning ta’sirlari strelkalar bilan 

---

tasvirlanadi (2.6-rasm). Rasmda 1 2 3 х х х Dekart 

koordinatalari sistemasida 2.6. a)-rasm va odatdagi 

belgilashlar 2.6. b)-rasm joylashtirilgan parallelepiped 

tasvirlangan. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda 

Dekart koordinatalari sistemasidan boshqa koordinat 

sistemalaridan ham, xususan, silindrik va sferik 

koordinatalar sistemalaridan foydalanadilar. Silindrlik 

(r,θ ,z) va sferik (ρ,θ ,ϕ) koordinatalar sistemalarida Tσ 

kuchlanish tenzori quyidagi ko‘rinishlarga ega: , . ϕρ ϕθ 

ϕϕ

 θρ θθ θϕ ρρ ρθ ρϕ σ θ θ θθ θ θ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 

σ

 σ σ σ σ σ σ σ σ T = T = zr z zz r z rr r rz Ushbu 

koordinat sistemalarida kuchlanish tenzori 2.7-rasmdagi 

kabi tasvirlanadi. 

 3. Koordinat o‘qlarini burganda kuchlanish