Некорректные задачи линейной алгебры

Определение 3.1.1. Система уравнений (3.1.2) называется нор­мальной системой по отношению к системе
Нетрудно доказать и обратное утверждение, а именно, что каждое решение системы (3.1.2) минимизирует невязку в (3.1.1) [3.12]. Таким образом, задачи (3.1.1) и (3.1.2) эквивалентны. Нетрудно убедиться, что задача (3.1.1) всегда имеет решение, хотя, возможно, не единственное. Поэтому в силу установленного факта эквивалентности, система (3.1.2) также разрешима для любых матриц А и векторов f. Таким образом, множество решений нормальной системы (3.1.2) совпадает с множе­ством псевдорешений системы бозначим это множество че­рез
Рассмотрим задачу отыскания точки минимума функционала тш
: (3.1.3)
где — некоторый фиксированный вектор. Решение задачи (3.1.3) существует и единственно, поскольку строго выпуклый функционал достигает на выпуклом замкнутом множестве минимума в единственной точке.
Определение 3.1.2. Решение задачи (3.1.3) будем называть нормальным относительно псевдорешением уравнения Нор­мальное относительно нулевого вектора (наименьшее по норме) псевдо­решение системы называется нормальным псевдорешением этой системы (или нормальным обобщенным решением) и обозначается
Если система разрешима, то нормальное относительно псевдорешение совпадает с нормальным относительно решением этой системы, т. е. с решением, наименее уклоняющимся по норме от вектора .В частности, если система однозначно разрешима, то псевдорешение единственно и совпадает с обычным решением.
Нормальное псевдорешение существует, единственно и непрерывно зависит от ошибок в правой части поскольку псевдообратный опера­тор, действующий в конечномерном пространстве, ограничен.
Нормальное псевдорешение неустойчиво по отношению к возму­щениям элементов матрицы. Неустойчивость нормального псевдореше­ния проиллюстрируем на следующем примере.