Нелинейное программирование


Download 68.95 Kb.
bet2/3
Sana28.02.2023
Hajmi68.95 Kb.
#1237342
TuriРешение
1   2   3
Bog'liq
Нелинейное программирование

2. Решение задач

Решить задачу нелинейного программирования- это значит найти такие значения управляющих переменных xj, j=1, n, которые удовлетворяют системе ограничений и доставляют максимум или минимум функции f.


Для задачи нелинейного программирования, в отличие от линейных задач, нет единого решения. В зависимости от вида целевой функции и ограничений разработано несколько специальных методов решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, ряд приближенных методов решения, графический метод. Заметим, что нелинейное моделирование экономических задач часто бывает довольно искусственным. Большая часть экономических проблем сводится к линейным моделям. В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной х=(), минимизирующее целевую функцию f(x) при условиях, когда на переменную х наложены ограничения типа неравенств

hi(x)≥ 0, i=1,2,…,m (1)


а переменные x(j), т.е. компоненты вектора х, неотрицательны:


x(j)≥ 0 (2)


Иногда в формулировке задачи ограничения (1) имеют противоположные знаки неравенств. Учитывая, однако, что если hi(x)≥ 0 , то -hi(x)≤ 0 , всегда можно свести задачу к неравенствам одного знака. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например φ(x) = 0, то их можно представить в виде пары неравенств φ(x)≥ 0, -φ(x)≤ 0, сохранив тем самым типовую формулировку задачи.




3. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями

Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, напротив, процесс оптимизации становится более сложным, поскольку установленные выше критерии оптимальности нельзя использовать при наличии ограничений. При этом может нарушаться даже основное условие, в соответствии с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения, то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как(4)=4. Далее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности решений задач с ограничениями. Изложение начинается с рассмотрения задач оптимизации, которые содержат только ограничения в виде равенств.


На предприятии имеется два вида ресурсов. Определите оптимальное распределение величин затрачиваемых ресурсов на производство некоторого продукта, если цена ресурса первого вида 3 единицы, второго – 4 единицы, а всего на производство выделено 24 единицы. Известно, что из количества х первого ресурса и у второго ресурса можно получить х у 2 2 + единиц продукта.
Решение. Пусть х – количество ресурсов первого вида, у – количество ресурсов второго вида. Математическая модель задачи: на множестве ограничений.
Множество допустимых решений заштриховано на рис. 1. Если целевой функции придавать фиксированные значения 1, 2, 3,..., то будем получать окружности с центром в начале координат и радиусом 1, 2, 3, … Начертим ряд окружностей (линии уровня целевой функции). Из рисунка видно, что функция z = х у 2 2 + достигает наибольшего значения, равного 8, в точке А (8;0), т.е. zmax=z (8;0)=8. Значит, количество первого ресурса должно равняться 8, а использование второго ресурса нерационально.





Download 68.95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling