Несобственные интегралы

На тему: Несобственный интеграл

Выполнил(а): Хурамов Асадбек

Проверил(а): Зулфия Самиевна

Самарканд – 2023

ПЛАН:

1
На тему: Несобственный интеграл 1
Выполнил(а): Хурамов Асадбек 1
Проверил(а): Зулфия Самиевна 1
ПЛАН: 2
Введение 3
1. Несобственные интегралы 4
2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 7
3. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов 9
Заключение 12
Литература 13

Введение

В теме «определенный интеграл» предполагается, что, во-первых, областью интегрирования для определённого интеграла служит конечный отрезок , а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема (и, тем самым, ограничена) на этом отрезке . Однако в приложениях такие предположения часто не соответствуют сути дела. Это приведёт к понятию несобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции. Как противопоставление несобственным интегралам, обычные определённые интегралы, которые вычисляются от интегрируемых (ограниченных) функций и по конечным отрезкам, часто называют собственными интегралами

1. Несобственные интегралы

Определение 1. Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае , величина несобственного интеграла означает, по определению, площадь бесконечно длинной области , лежащей в координатной плоскости между лучом на оси , графиком и вертикальным отрезком (см.рис. 1).



Рис. 1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае )- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально: однако нужно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см.рис. 2).



Рис. 2.
Замечание 1 Для краткости записи, предел подстановки
возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как под подстановкой значения в функцию понимая как раз вычисление предела