Несобственные интегралы

2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы

Определение 7. Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если же несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.
Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Определение 8. Неотрицательная функция называется мажорантой для функции на множестве , лежащем в области определения обеих функций, если при всех 
Теорема 4. Пусть для функции , интегрируемой на любом отрезке , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл сходится. Тогда несобственный интеграл тоже сходится, и .
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
Пример 4. .
;
интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Пример 5. .
, первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

Пример 6.

Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.

3. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов

Теорема 1. Пусть фиксировано число и функция интегрируема на любом отрезке , где . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл .

Теорема 2 (теоpема сpавнения) Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство
Тогда из сходимости интеграла от большей функции, , следует сходимость интеграла от меньшей функции, , причём а из расходимости интеграла от меньшей функции, , следует расходимость интеграла от большей функции, :
Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).



Рис. 5.

Если условие неотрицательности функций и не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять и при всех , то интеграл от большей функции,

оказывается сходящимся (его значение, очевидно, равно 0), а интеграл от меньшей функции, -- расходится (докажите расходимость, вычислив интеграл и рассмотрев его поведение при ).