Next: Tomson yuqoriga tarqalib

radial tenglamalarga o'tish uchun kerak bo'lgan hamma narsa bor
.
Bu endi ikkita bog'langan radial tenglamalar to'plamidir. Biz ularni almashtirish orqali biroz soddalashtirishimiz mumkin 
va 
. Hosiladan olingan qo'shimcha atama bilan bo'lgan 1 ni bekor qiladi 
s.
O‘zbek
Rasmlar tarjimasi

---

Ushbu tenglamalar har qanday sferik nosimmetrik potentsial uchun to'g'ri keladi. Endi 
vodorod atomiga ixtisoslashish vaqti keldi
. Biz aniqlaymiz 
va 
va o'lchovsiz 
. Keyin tenglamalar bo'ladi.
Relyativistik bo'lmagan echimlarning rahbarligi bilan biz 
shaklning echimini postulat qilamiz
Eksponent katta uchun hamma narsani nolga keltiradi 
agar quvvat seriyasi tugasa. Bu yaqin echim ekanligini tekshirishimiz kerak 
agar biz huquqni tanlasak 
, 
va 
. Endi biz rekursiya munosabatlarini olish uchun ushbu postulyatsiya qilingan echimlarni tenglamalarga almashtiramiz.
Eng past buyurtma muddati uchun 
, biz quyi kuchlarsiz echimga ega bo'lishimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, biz 
rekursiya munosabatlariga qaraymiz
va tenglamalarni eching.
Buni unutmang 
nolga teng bo'lmagan butun son, 
butun son bo'lmagan kichik son. Davlatni normalizatsiya qilish uchun biz ijobiy ildiz otishimiz kerak.
Odatdagidek, 
davlat normallashishi uchun seriya ba'zilarida tugashi kerak. Buni taxminan taxmin qilish orqali ko'rish mumkin 
yoki 
ularning soni kichik va ketma-ketlik musbat ko'rsatkichli ekanini bildiradi.
Uchun seriyani taxmin qiling 
va 
shu da bekor 
. Keyin koeffitsientlardagi tenglamalarni olishimiz va o'rnatishimiz mumkin 
o'zaro munosabatlarni olish 
va 
.
Bu bizning taxminimizga mos keladigan bir xil tenglama.
Yakuniy qadam bu natijani 
rekursiya munosabatlarida ishlatishdir uchun 
ketma-ketlik tugashi uchun qondirilishi kerak bo'lgan shartni topish. E'tibor bering, bu tanlov 
ulanadi 
va 
Nontrivial shartlarni beradigan seriyalarning qolgan qismiga 
. Bizda rekursiyaning keyingi bosqichidagi ma'lumotlar allaqachon mavjud 
.
Shu nuqtada biz bitta shartni olish uchun ikkita tenglama orasidagi farqni olamiz.
O‘zbek
Rasmlar tarjimasi

---

To'rtta o'zaro harakatlanadigan operatorlarning kvant sonlaridan foydalanib, biz radial tenglamani relyativistik bo'lmagan holatga o'xshash tarzda hal qildik, bu relyativistik kvant mexanikasi uchun aniq energiya munosabatini beradi.
Bu holda standart printsipial kvant sonini quyidagicha aniqlashimiz mumkin 
. Bu natija buyurtma berish uchun bizning relyativistik bo'lmagan hisob-kitobimiz bilan bir xil javob beradi 
lekin, shuningdek