Независимость от пути интегрирования криволинейного интеграла

5. Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L. Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не имеющий общих точек с границей L. В точке М контура L можно восстановить две нормали  и к поверхности S. Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.
Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением .
Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.
Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида  или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.
Пусть R (x,y,z) – функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi (xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi) xy – площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi (xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "–", если этот угол тупой. Составим интегральную сумму для функции R (x,y,z) по поверхности S по переменным x,y:  . Пусть λ – наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).
Если существует конечный предел  , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек , то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R (x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается .
Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е. и .
Если существуют все эти интегралы, то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности:  .
Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.