Независимость от пути интегрирования криволинейного интеграла

Поскольку приложения криволинейных и поверхностных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной.

Объектом исследования является методика обучения решению задач с помощью интегралов. Предметом исследования – методика обучения решению задач с помощью криволинейных и поверхностных интегралы.
Основные методы исследования: анализ имеющейся по данному вопросу литературы, сравнение учебного материала в учебниках разных авторов, обобщение и систематизация полученных знаний о криволинейных и поверхностных интегралах.

2. Формула Грина.

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P (x,y) и Q (x,y) вместе со своими частными производными первого порядка непрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина:

(1)

причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.

Пусть заданы функции P (x,y) и Q (x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D:
(2)
Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.
3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точки M1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство:
(3)
(4)
(5)
(6)

4. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

(7)
– задание поверхности.
(8)
Спроектируем S на плоскость xy, получим область D. Разобьём область D сеткой линий на части, называемые Di. Из каждой точки каждой линии проведём параллельные z линии, тогда и S разделится на Si. Составим интегральную сумму:  . Устремим максимум диаметра Di к нулю: , получим:
(9)
Это поверхностный интеграл первого рода
(10)
Так считается поверхностный интеграл первого рода.
Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.
При переходе от переменных x и y к u и v:
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)