Nókis Mámleketlik pedagogikalıq institutı " Fizika matematika " fakulteti Fizika astronomiya talim bagdari 2-b kurs studentti

Nókis Mámleketlik pedagogikalıq institutı


" Fizika matematika " fakulteti


Fizika astronomiya talim bagdari ___2-B_______kurs studentti
Abdikarimova Aziza


Tema: "Kerı matritsa. Matritsa rangı"


atamasında islegen
Referat jumısı


Nókis 2022


Tema: Keri matritsa. Matritsa rangi


Jobası:

I. Kirisiw

1. Matritsa tarıyxı.

II. Tiykarģı bólim

1. Matritsa haqqinda túsinik.
2. Matritsa hám olar ústinde ámeller.
3. Matritsaniń rangi tiykarģı túrlerı.

III. Juwmaqlaw

1. Paydalanılǵan ádebiyatlar
Kirisiw

Matritsa dáslep qádimgi Qitay jaziwlarinda ushiraydi. Olar matritsani ,, Siyqirli kvadratlar'' dep arnalģan. Olar matritsalardan sıziqli teńlemelerdi sheshiwde paydalanģan. Keyinrek arap matematikasiniń shiģarmalarinda hám siziqli kvadrat ushiraydi, tiykarinan sol waqtlarda matritsalardi qosiw qaģiydalari tawilģan. Hindistanda payda bolģan shaxmat oyini da sıyqirli kvadrat.

XVII ásirdiń aqirlarinda determinantlar nazariyasin rawajlanģanan soń XVIII ásirde Gabriel Kramer óz nazariyasin jaratiwģa kirisedi hám ,,Kramer qaģiydasin'' 1751 jili bayan qildi.
Shama menen usi waqt araliģinda ,,Gauss usili'' payda boldi.
XIX ásiriniń ortalarinda Uilyam Gamilton hám Artur Keling jumislarinda matritsalar nazariyasi quramali nazariya sipatinda sáwlelenedi.
Veyershtrass, Jordan hám Frobenius siyaqli alimlar matritsalar nazariyasinda fundamental nátiyjelerin aldi.
,,Matritsa '' atamasin pánge Jeyms Silver 1850 jilda kiritilgen. Matritsa túsinigi hám oģan tiykarlanģan matematikaniń " Matritsalar algebrasi" bólimi ámeliyattda, atap aytqanday, kompyuter texnologiyalari hám programmalastiriw salasinda zárúrli áhmiyetke iye. Matritsa túsinigi joqarida qaytip ótkenimizdey birinshi ret ingliz matematikleri Gamilton (1805-1865 jil) hám A.Kel (1825-1895 jil) jumislarinda ushrasadi. Házirgi kúnde matritsa túsinigi tábiyiy hám àmeliy prosesslerdiń matematikaliq modellerin dúziwde zárúrli qural retinde qollaniladi.
Matritsa bir qatar matematikalıq hám ekonomikalıq máselelerdi sheshiwde júdá kóp qollanılatuǵın túsinik bolıp, onıń járdeminde bul máseleler hám olardıń sheshimlerin ápiwayı hám de ıqsham kóriniste ańlatpalanadı.
Matritsa tariypi: m ta qatar hám n ta ústinnen ibarat tuwrı tórtmuyush formasındaǵı mn ta sandan shólkemlesken keste m×n tártipli matritsa, onı shólkemlesken sanlar bolsa matritsaning elementleri dep ataladı.
Matritsalar A, B, C, … sıyaqlı bas háripler menen, olardıń i-qatar hám j-ústininde jaylasqan elementleri bolsa ádetde aіј, bіј, sіј sıyaqlı uyqas kishi háripler menen belgilenedi. Mısalı, A=matritsa 2×3 tártipli, yaǵnıy 2 qatar hám 3 ústin kórinisindegi 2•3=6 sandan shólkemlesken. Onıń 1-qatar elementleri a11=1, a12 = -3, a13 =1. 2 hám 2-qatar
elementleri a21 =0, a22 =7. 5, a23 = -1 sanlardan ibarat. Bul matritsaning 1-ústini a11 =1 hám a21 =0, 2-ústini a12 = -3 hám a22 = 7, 5, 3-ústini bolsa a13 =1. 2 hám a23 = -1 elementlerden dúzilgen. Eger qandayda bir A matritsaning rejimin kórsetiwge mútajlik bolsa, ol Am×n kóriniste jazıladı hám ulıwma halda yamasa qısqasha Am×n = ( aіј ) kóriniste ańlatpalanadı. Amxn matritsada m = n  1 bolsa, ol kvadrat matritsa, m  n (m1, n1) bolsa tuwrı múyeshli matritsa, m=1, n1 halda qatar matritsa hám m1, n=1 bolǵanda ústin matritsa dep ataladı.
Anxn kvadrat matritsa qısqasha An sıyaqlı belgilenedi hám n-tártipli kvadrat matritsa dep ataladı. Mısalı, xalıq xojalıǵınıń n ta tarmaqları arasındaǵı óz-ara ónim ayırbaslaw An = ( aіј ) kvadrat matritsa járdeminde ańlatpalanadı. Bunda aіј (i, j=1, 2, …, n hám i≠j) i-tarmaqta islep shıǵarılǵan ónimdiń j-tarmaq ushın mólsherlengen muǵdarın, aіi (i=1, 2, …, n) bolsa i-tarmaqtıń ózi islep shıǵarǵan ónimge zárúriyatın ańlatadı. Sonı aytıp ótiw kerek, m=1 hám n=1 bolǵanda A1×1 matritsa bir sannı ańlatadı hám usınıń sebepinen málim bir mániste matritsa san túsinigin ulıwmalastıradı. A hám B matritsalar birdey tártipli hám olardıń uyqas elementleri óz-ara teń bolsa, yaǵnıy aij = bij shárt atqarılsa, olar teń matritsalar bolıp tabıladı
A hám B matritsalarning teńligi A=B yamasa ( aіј) = (bіј) kóriniste belgilenedi. Mısalı, qálegen a≠0 sanı ushın matritsalar óz-ara teń, yaǵnıy A = B boladı. A={aіј} matritsada i=j bolǵan aіі elementler qiyiq elementler Mısalı, joqarıda kórilgen A2×3 matritsaning qiyiq elementleri a11 =1 hám a22 =7. 5 boladı.Qiyiq matritsa qiyiq elementlerinen basqa barlıq elementleri nolǵa teń bolǵan ( aіј =0, і j ) kvadrat matritsa bolıp tabıladı.
Qiyiq matritsaning qiyiq elementleri nolǵa da teń bolıwı múmkin.Mısalı, qiyiq matritsalar boladı. Barlıq qiyiq elementleri aіi =1 bolǵan n-tártipli qiyiq matritsa n-tártipli birlik matritsa yamasa qısqasha birlik matritsa bolıp tabıladı. Ádetde n-tártipli birlik matritsa En yamasa qısqasha E sıyaqlı belgilenedi. Mısalı,, uyqas túrde ekinshi hám úshinshi tártipli birlik matritsalar bolıp tabıladı. Barlıq elementleri nolǵa teń (aі ј =0) bolǵan qálegen m×n tártipli matritsa nol matritsa dep ataladı. m×n tártipli nol matritsa O m×n yamasa qısqasha O sıyaqlı belgilenedi. Mısalı, O2×3 =, O3×2 =, O3×3 = O3 = kórsetilgen tártipli nol matritsalar boladı. Matritsalar ústinde ámeller. Endi matritsalar ústinde algebraik ámeller kiritip, matritsalar algebrasini payda etemiz. Qálegen tártipli Am×n = (aij) matritsaning qálegen  sanǵa kóbeymesi dep Cm×n ={ aij} sıyaqlı anıqlanatuǵın matritsaga aytıladı. Bunda A matritsaning  sanǵa kóbeymesi A dep belgilenedi. Mısalı,. Birdey tártipli Am×n = (aij) hám Bm×n = (bij) matritsalar jıyındısı dep elementleri sij = aij + bij sıyaqlı anıqlanatuǵın Cm×n = (cij) matritsaga aytıladı. Bunda A hám B matritsalarning jıyındısı A+B kóriniste belgilenedi hám olardıń uyqas elementlerin qosıw arqalı esaplanadı. Mısalı, matritsalar ushın. Matritsalarni sanǵa kóbeytiw hám óz-ara qosıw ámelleri tómendegi nızamlarǵa baǵınıwı tikkeley olardıń tariyplerinen kelip shıǵadı :
I. A+B=B+A (qosıw ushın kommutativlik nızamı );
II. A+ (V+S) = (A+V) +S (qosıw ushın assotsiativlik nızamı );
III.  (A+V) = A + V, (  +  ) A = A + A (distrubutivlik nızamı ) Bunnan tısqarı joqarıdaǵı tariypler arqalı bul ámeller bul ózgesheliklerge de ıyelewin kórsetiw qıyın emes:
A + O = A, A+A =2 A, 0  A = O,   O = O.
Birdey tártipli Am×n = (aij) hám Bm×n = (bij) matritsalar ayırması dep Am×n hám (-1) Bm×n matritsalarning jıyındısına, yaǵnıy Am×n+ (-1) Bm×n matritsaga aytıladı. Bunda A hám B matritsalarning ayırması A-B kóriniste belgilenedi hám olardıń uyqas elementlerin óz-ara ayırıw arqalı esaplanadı. Mısalı, matritsalar ushın. Am×r= (aij) hám Vp×n= (bij) matritsalarning kóbeymesi dep sonday Sm×n= (cij) matritsaga aytıladıki, onıń cij elementleri bul
jıyındılar sıyaqlı anıqlanadı.
Sonday etip, Am×r= (aij) hám Vq×n= (bij) matritsalar ushın p=q, yaǵnıy A matritsaning ústinleri sanı B matritsaning qatarları sanına teń bolǵandaǵana olardıń kóbeymesi ámeldegi boladı hám AB sıyaqlı belgilenedi. Bunda AB=Sm×n= (cij) matritsaning qatarlar sanı m birinshi A ko'paytuvchi matritsa, ústinler sanı n bolsa ekinshi B ko'paytuvchi matritsa arqalı anıqlanadı. Bunnan tısqarı AB=Sm×n= (cij) kóbeytpe matritsaning cij elementi A matritsaning i - qatar elementlerin B matritsaning j-ústinindegi uyqas elementlerine ko'paytirib, payda bolǵan kóbeytpelerdi qosıw arqalı esaplanadı. Bul “qatardı ústinge kóbeytiw” qaǵıydası dep aytıladı. Mısalı, matritsalar ushın m=3, p=q=2, n = 2 bolǵanı ushın olardıń kóbeytiw múmkin hám kóbeytpe matritsa AV=S3 x2 tómendegishe boladı :. Matritsalar kóbeymesi ushın AVVA, yaǵnıy kommutativlik nızamı orınlı bolmaydı. Mısalı, Am×qVq×n=Cm×n kóbeytpe ámeldegi, biraq Vq×n Am×q kóbeytpe mudamı da joq hám ámeldegi bolǵan táǵdirde, yaǵnıy n=m halda da olar teń bolıwı shárt emes. Mısalı, matritsalar ushın AVVA, sebebi. Matritsalar kóbeymesi hám jıyındısı tómendegi nızamlarǵa boysunadı hám de bul ózgesheliklerge iye boladı :
I. A (VS) = (AV) S, (A) V=A (V) (kóbeytiw ushın assotsiativlik nızamı );
II. A (V+S) = AV + AS (kóbeytiw hám qosıw ámelleri
(A+V) S = AS + VS ushın distributivlik nızamları );
III. AE = YeA = A, O
•A = O, A
•O = O, 0
•A= O. Bunda E hám O uyqas túrde tiyisli tártipli birlik hám nol matritsalarni ańlatadı.
Matritsa kóbeymesi tariypidan usıdan ayqın boladı, hár qanday n-tártipli A kvadrat matritsani ózine-ózin kóbeytiw múmkin hám nátiyjede taǵı n-tártipli kvadrat matritsa payda boladı. A kvadrat matritsani óz-ara m ret (m - birdan úlken qálegen natural san) kóbeytiw nátiyjesinde payda bolǵan kvadrat matritsa A matritsaning m- dárejesi dep ataladı. A matritsaning m- dárejesi Am sıyaqlı belgilenedi. Bunda A0=E hám A1=A dep alınıp, Am dáreje qálegen nomanfiy pútkil m sanı ushın anıqlanadı. Bul halda Am dáreje tariypdan onıń tómendegi ózgeshelikleri tikkeley kelip shıǵadı (m, k-natural sanlar, λ-haqıyqıy san): Sonday etip, hár qanday kvadrat matritsa ushın natural dárejege kóteriw ámelin kirgiziw múmkin eken. Mısalı, Sonı aytıp ótiw kerek, 5-qasiyettiń terissi orınlı emes, yaǵnıy Am=O teńlikten mudamı da A=O ekenligi kelip shıqpaydı. Mısalı, Kelesinde matritsani dárejege kóteriw ámelin qálegen m pútkil san ushın ulıwmalastıramız. B= (bij) matritsa A= (aij) matritsaning transponirlangani dep ataladı, eger i hám j indekslerdiń barlıq múmkin bolǵan bahalarında aij=bji shárt atqarılsa. A matritsaning transponirlanģanı AT sıyaqlı belgilenedi. Eger A matritsa m×n tártipli bolsa, onıń transponirlangani AT ponirlanganini tabıw transponirlash ámeli dep ataladı hám ol tómendegi ózgesheliklerge ıyelewin kórsetiw múmkin: 1. (AT) T=A ; 2. (λA) T=λAT (λ- qálegen haqıyqıy san);
3. (A±B) T= AT±BT ; 4. (A
•B) T= BT
•AT. Eger A kvadrat matritsa ushın AT=A bolsa, ol simmetrik matritsa, AT= -A bolǵanda bolsa kososimmetrik matritsa bolıp tabıladı. Tariypdan hár qanday simmetrik matritsaning elementleri aij= aji, kososimmetrik matritsanıń elementleri bolsa aij=- aji shártni qánaatlandiriwi tikkeley kelip shıǵadı. Bunnan kososimmetrik matritsanıń barlıq qiyiq elementleri nolǵa teń bolıwı kelip shıǵadı. Mısalı, matritsalardan A simmetrik, B kososimmetrik boladı.
Qálegen ólshemli matritsaning matritsa astı minorlari dep, onıń bir neshe qatar yamasa ústinlerin óshiriwden kvadrat matritsa kórinisine keltirilgen bólegine aytıladı. Eger berilgen matritsa kvadrat formada bolsa, onıń eń úlken tártipli minori ózine teń.Tariyp. A matritsaning reńi dep, noldan ayrıqsha matritsa astı minorlarining eń úlken rejimine aytıladı hám kórinisinde ańlatpalanadı. Mısal. Matritsaning reńin tabıń : Endi bul minorni qamtıp alıwshı tórtinshi tártipli minorni esaplaymiz. Bunda eki variant bar. Eki halda da tórtinshi tártipli minorlar nolǵa teń. Sol sebepli berilgen matritsaning reńi ge teń. Matritsa reńi onıń ústinde tómendegi elementar almastırıwlar atqarǵanda ózgermeydi. Matritsa qandayda bir qatarı (ústini) hár bir elementin qandayda bir noldan ayrıqsha sanǵa ko'paytirganda; Matritsa qatarları (ústinleri) orınların almastırilganda;
Matritsa qandayda bir qatarı (ústini) elementlerine onıń basqa parallel qatarı (ústini) uyqas elementlerin qandayda bir noldan ayrıqsha sanǵa ko'paytirib, keyininen qos -ganda; Matritsa transponirlanganda. Matritsa reńi «Gauss algoritmi» yamasa nollar jıynaw usılı tiykarında tómendegishe anıqlanadı : dáslepki kórinistegi matritsa joqarıda sanap ótilgen elementar almastırıwlar járdeminde «trapetsiyasimon matritsa» kórinisine keltiriledi. Trapetsiyasimon matritsa dep, bas qiyiqdan joqarıda yamasa tómende jaylasqan hár bir elementi nolǵa teń bolǵan matritsaga aytıladı. Trapetsiyasimon matritsaning reńi yamasa tap sonıń ózi dáslepki matritsaning reńi trapetsiyasimon matritsaning noldan ayrıqsha bas qiyiq elementleri sanına teń. Mısal. matritsaning reńin nollar jıynaw usılında anıqlań. Berilgen dáslepki matritsa ústinde tómendegishe elementar almastırıwlar atqaramız jáne onıń kórinisin trapetsiya kórinisine keltiremiz: Trapetsiyasimon matritsa bas qiyiq elementlerinen ekewi noldan ayrıqsha bolǵanı ushın onıń reńi hám usınıń menen birge berilgen matritsa reńi ekige teń. Klassik yamasa algebraik tolıqlawıshlar usılı
Gauss-Jordan usılı
Matritsalar menen háreketler haqqında sóylewdi dawam ettiremiz. Áyne - bul lekciyanı úyreniw processinde siz teris matritsani tabıwdı úyrenesiz. Úyreniń. Matematika tar sonda da. Teris matritsa ne? Bul erda siz óz-ara nomerler menen uqsawlıq etiwińiz múmkin: mısalı, optimistik nomer 5 jáne onıń teris jaǵıın kórip shıǵıń. Bul sanlardıń kóbeymesi birine teń:. Matritsalar menen hámme zat uqsas! Matritsaning teris matritsasi menen kóbeymesi - identifikaciya matritsasi, bul cifrlı birliktiń matritsa analogi bolıp tabıladı. Biraq, birinshi náwbette, zárúrli zattı hal qilaylik ámeliy soraw, yaǵnıy biz bul teris matritsani tabıwdı úyrenemiz. Teris matritsani tabıw ushın nelerdi biliwińiz hám nelerge ılayıq bolıwıńız kerek? Siz qarar qabıllawıńız kerek determinantlar... Siz ne ekenligin túsiniwińiz kerek matritsa hám olar menen bir qatar háreketlerdi atqara alıw. Teris matritsani tabıw ushın eki tiykarǵı usıl ámeldegi: járdeminde algebraik qosımshalar hám elementar transformaciyalar járdeminde. Búgin biz birinshi, ańsatlaw joldı úyrenemiz. Eń qáweterli hám túsiniksiz zattan baslaylik. Kórip shıǵıń kvadrat matritsa. Teris matritsani tómendegi formula boyınsha tabıw múmkin:Matritsaning determinanti qayda, matritsaning tiyisli elementleriniń algebraik qosımshalarınıń transpozitsiya etilgen matritsasi.Teris matritsa túsinigi tek kvadrat matritsalar ushın ámeldegi, " ekinen ekige", " úshten uchga" matritsalari hám basqalar. Belgilenishlar: Itimal siz qashannan berli sezganingizdek, matritsaning teris jaǵıı joqarı belgi menen kórsetilgen.Eń ápiwayı isten baslaymız - ekinen matritsadan. Kóbinese, álbette, " úshten ushqannan keyina" talap etiledi, biraq soǵan qaramay, men sheshimdiń ulıwma principin ózlestiriw ushın ápiwayılaw wazıypanı úyreniwdi máslahát beremen. Mısal : Matritsaning teris jaǵıın tabıń
Biz qarar etemiz. Ámeller izbe-izligin qolay tárzde ballarǵa bolıw múmkin.
1) Birinshiden, matritsaning determinantini tabıń.
Eger bul háreket haqqında túsinikńiz etarlicha jaqsı bolmasa, materialdı oqiń Determinantni qanday esaplaw múmkin
Zárúrli! Matritsaning determinanti bolsa NOL - teris matritsa MAvJUD EMAS.
Kórip shıǵılıp atırǵan mısalda, málim bolıwısha, hámme zat tártipte ekenligin ańlatadı.
2) voyaga etpegenlerdiń matritsasini tabıń.
Mashqalamizni sheshiw ushın voyaga etpegen bala ne ekenligin biliw shárt emes, biraq maqalanı oqıw usınıs etiledi Determinantni qanday esaplaw múmkin.
Kishi matritsa matritsaning ólshemleri menen birdey, yaǵnıy bul halda.
Jumıs kishi, tórtew nomerdi tabıw hám olardı juldızsha ornına qoyıw kerek. Biziń matritsamizga qaytıw. Aldın shep joqarı elementti kórip shıǵamız :Onı qanday tabıw múmkin voyaga etpegen? jáne bul sonday ámelge asıriladı : O'YLAB bul element jaylasqan qatar hám ústindi kesip taslang: Qalǵan nomer bul elementtiń kishi bólegi, biz voyaga etpegenlerdiń matritsasiga jazamız :Tómendegi matritsa elementin kórip shıǵıń :Bul element jaylasqan qatar hám ústindi intellektual túrde kesip ótemiz: Biziń matritsamizga jazatuǵın bul elementtiń kishi bólegi qaldı :
Tap sonday, biz ekinshi qatar elementlerin kórip shıǵamız hám olardıń voyaga etpegenlerin tabamız :Atqarıldı Bul ápiwayı. voyaga etpegenlerdiń matritsasida sizge kerek Belgilerdi ózgertiw eki nomer: Bul men aylanıp shıqqan nomerler!
- matritsaning tiyisli elementleriniń algebraik qosımshaları matritsasi. jáne bul jaysha... 4) Algebraik qosımshalardıń transpozitsiya etilgen matritsasini tabıń.
- matritsaning tiyisli elementleriniń algebraik qosımshalarınıń transpozitsiya etilgen matritsasi.
5) Juwap. Biziń formulanı eslep qalıw Hámmesi tapildi!Sonday etip matritsaning terissi:Juwaptı eń jaqsı jaǵdayda qaldıring. KERAKMAS matritsaning hár bir elementin biz alǵanimizdek 2 ge bolıń bólshek sanlar... Bul nuance haqqında sol maqalada tolıqlaw talqılaw etiledi. Matritsa ámelleri.Sheshimdi qanday tekseriwim múmkin?Matritsani kóbeytiwdi ámelge asırıw kerek yamasa Tastıyıqlaw :
Qabıl etilgen qashannan berli aytıp ótilgen identifikaciya matritsasi Matritsalar ámeldegi bolǵanlar tiykarǵı qiyiq hám basqa orınlarda nollar. Sonday etip, teris tuwrı.Eger siz qandayda bir háreketti ámelge asırsangiz, ol jaǵdayda nátiyjede ózlik matritsasi boladı. Bul matritsani kóbeytiw múmkin bolǵan bir neshe jaǵdaylardan biri bolıp tabıladı, qosımsha maǵlıwmattı maqalada tabıwıńız múmkin Matritsalar boyınsha ámellerdiń qásiyetleri. Matritsali ańlatpalar... Sonı da unutpangki, tekseriw waqtında turaqlı (bólshek) aldınǵa jóneltiriledi hám eń aqırında - matritsani kóbeytiwden keyin qayta islenedi. Bul standart texnika.Ámeliyatda keń tarqalǵan jaǵdayǵa ótemiz - " úshten ushqannan keyina" matritsaga: Mısal : Matritsaning teris jaǵıın tabıń Algoritm ekinen eki jaǵdayǵa tolıq sáykes keledi. Biz teris matritsani tómendegi formula boyınsha tabamız :, bul erda matritsaning tiyisli elementleriniń algebraik qosımshalarınıń transpozitsiya etilgen matritsasi. 1) matritsaning determinantini tabıń. Bul erda determinant anıqlanǵan birinshi qatarda. Sonı da unutpań, sonday eken hámmesi jaqsı - teris matritsa bar. 2) er jetpegenlerdiń matritsasini tabıń. Er jetpegenler matritsasi úshten ushqannan keyina hám biz toǵızta nomerdi tabıwımız kerek. Men bir neshe kishi tolıq maǵlıwmatlarǵa tolıq toqtalaman: Tómendegi matritsa elementin kórip shıǵıń : Bul element jaylasqan qatar hám ústindi O'YLAB O'QING: Qalǵan tórtew nomer " ekinen ekige" determinantiga jazıladı
Bul saralaw " ekinen ekige" hám bul elementtiń kishi bólegi bolıp tabıladı... Bunı esaplaw kerek: Mine, kishi bala tapildi, biz onı voyaga etpegenler matritsasiga jazamız : Siz shama etkenińiz sıyaqlı, toǵıztadan ekinen-eki determinantni esaplaw kerek. Process, álbette, ázilesken, biraq jumıs eń qıyın emes, jamanlaw bolıwı múmkin. Al, konsolidatsiya qılıw ushın - súwretlerde taǵı bir er jetpegendi tabıw : er jetpegenlerdiń qalǵan bólegin ózińiz esaplawǵa háreket etiń.
Juwmaqlawshı nátiyje:- matritsaning sáykes keletuǵın elementleri kishileriniń matritsasi.er jetpegenlerdiń barlıǵı unamsız bolıp shıqqanlıǵı - bul kútilmegen jaǵday.

Paydalanilģan ádebiyatlar.

1. Shodiyev T.Sh, Analitik geometriya va shiziqli algebra, Toshkent " Óqutuvshi" 1984.

2. Adizov.A A.Xudaybergenov M.Ó , Ámeliy matematika, Oquv uslubiy qollanma, Toshkent , 2014.

3. Raxmatov. R R. Adizov , A.A Tojibayev, Sh. E Shoimardanov , S.K , Shiziqli algebra va analitik geometriya, Óquv qollanma, Toshkent 2020.