Ногах и руках будут исчерпаны
1 2
Bog'liqТЗКИИИИИ
- Bu sahifa navigatsiya:
- Двоичное Десятичное
| Степень Десятичное
двойки |
Восьме- ричное |
Четве- ричное | |
|
Двоичное | |||
|
20 1 |
1 |
1 |
1 |
|
21 2 |
2 |
2 |
10 |
|
22 4 |
4 |
10 |
100 |
|
23 8 |
10 |
20 |
1000 |
|
24 16 |
20 |
100 |
10000 |
Альтернативы десяти 71
(продолжение)
|
25 32 |
40 |
200 |
100000 |
|
26 64 |
100 |
1000 |
1000000 |
|
27 128 |
200 |
2000 |
10000000 |
|
28 256 |
400 |
10000 |
100000000 |
|
29 512 |
1000 |
20000 |
1000000000 |
|
210 1024 |
2000 |
100000 |
10000000000 |
|
211 2048 |
4000 |
200000 |
100000000000 |
|
212 4096 |
10000 |
1000000 |
1000000000000 |
ДВА
Рассмотрим в качестве примера число 101101011010. Его можно записать так:
или так:
101101011010
= 1 × 2 048ДЕСЯТЬ +
× 1 024ДЕСЯТЬ +
× 512ДЕСЯТЬ +
1 × 256ДЕСЯТЬ +
× 128ДЕСЯТЬ +
× 64ДЕСЯТЬ +
× 32ДЕСЯТЬ +
× 16ДЕСЯТЬ +
1 × 8ДЕСЯТЬ +
× 4ДЕСЯТЬ +
× 2ДЕСЯТЬ +
0 × 1ДЕСЯТЬ
101101011010ДВА = 1 × 211 +
0 × 210 +
1 × 29 +
1 × 28 +
0 × 27 +
1 × 26 +
0 × 25 +
1 × 24 +
1 × 23 +
0 × 22 +
1 × 21 +
0 × 20
72 Глава восьмая
Сложив эти числа в десятичной форме, получаем 2 048 + 512 +
+ 256 + 64 + 16 + 8 + 2 = 2 906ДЕСЯТЬ.
Чтобы облегчить преобразование двоичных чисел в деся- тичные, используйте созданный мной шаблон.
128
+
64 32 16 8 4 2 1
+ + + + + + =
Этот шаблон позволяет преобразовать двоичные числа длиной в восемь цифр, но его легко продлить. Поместите вось- мизначное двоичное число в 8 верхних квадратиков, по одной цифре в каждый квадратик. Проделайте восемь умножений и запишите результаты в восьми нижних квадратиках. Сложите эти результаты и получите искомое число. Допустим, вам нуж- но найти десятичный эквивалент двоичного числа 10010110.
128 64 32 16 8 4 2 1
150
+ + + + + + + =
Преобразовать число из десятичной системы в двоичную уже не так просто, но и эту операцию можно проводить по шаблону.
128 64 32 16 8 4 2 1
Работать с этим шаблоном сложнее, чем кажется, поэтому вни- мательно следуйте моим указаниям. Поместите десятичное число (меньшее или равное 255) целиком в верхний левый квадратик. Разделите это число на первый делитель (128) с ос- татком. Поместите частное в квадратик под делителем, а оста- ток — в следующий верхний квадратик. Этот остаток станет делимым для следующего вычисления, в котором использу- ется делитель 64. Продолжайте вычисления до конца.
Альтернативы десяти 73
Помните: частное может быть равно либо 0, либо 1. Если делимое меньше делителя, частное равно 0, а остаток — дели- мому. Если делимое больше или равно делителю, частное рав- но 1, а остаток равен разности между делимым и делителем. Рассмотрим пример с числом 150.
128 64 32 16 8 4 2 1
Складывать и умножать двоичные числа даже легче, чем десятичные. Думаю, вам это понравится. Представьте себе, насколько быстрее вы бы складывали, если бы для этого дос- таточно было выучить такую маленькую табличку.
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
Попробуем с ее помощью сложить два числа:
1100101
+ 0110110
10011011
Начнем с правого столбца: 1 + 0 = 1. Второй столбец справа: 0
+ 1 = 1. Третий столбец: 1 + 1 = 0, а 1 переносим. Четвертый
столбец: 1 (перенос) + 0 + 0 = 1. Пятый столбец: 0 + 1 = 1. Ше-
стой столбец: 1 + 1 = 0, а 1 переносим. Седьмой столбец: 1 (пе-
ренос) + 1 + 0 = 10.
Таблица умножения даже проще таблицы сложения, так как ее можно целиком получить из двух основных правил умно- жения: умножение любого числа на 0 дает 0; умножение лю- бого числа на 1 дает то же самое число.
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Умножим 13ДЕСЯТЬ на 11ДЕСЯТЬ в двоичном виде:
74 Глава восьмая
1101
x 1011
1101
1101
0000
1101
10001111
Получаем 143 ДЕСЯТЬ.
Двоичные числа из эстетических соображений часто допол- няют нулями спереди (т. е. слева от первой 1), например, 0011 вместо 11. На значение числа это не влияет. В таблице приво- дятся первые 16 двоичных чисел с их десятичными эквивален- тами.
|
Двоичное |
Десятичное |
|
0000 |
0 |
|
0001 |
1 |
|
0010 |
2 |
|
0011 |
3 |
|
0100 |
4 |
|
0101 |
5 |
|
0110 |
6 |
|
0111 |
7 |
|
1000 |
8 |
|
1001 |
9 |
|
1010 |
10 |
|
1011 |
11 |
|
1100 |
12 |
|
1101 |
13 |
|
1110 |
14 |
|
1111 |
15 |
Посмотрите на этот список двоичных чисел внимательно, уделив внимание каждому из четырех вертикальных столбцов нулей и единиц. Смотрите, как по мере продвижения вниз по столбцу в нем чередуются цифры:
Альтернативы десяти 75
в крайнем столбце справа чередуются 0 и 1;
в следующем столбце чередуются пара 0 и пара 1;
в следующем столбце чередуются четверка 0 и четверка 1;
в следующем столбце чередуются восемь 0 и восемь 1.
Чередование весьма систематическое, правда? Вы легко на- пишете и следующие шестнадцать двоичных чисел, добавив к предыдущим числам одну единицу слева.
|
Двоичное |
Десятичное |
|
10000 |
16 |
|
10001 |
17 |
|
10010 |
18 |
|
10011 |
19 |
|
10100 |
20 |
|
10101 |
21 |
|
10110 |
22 |
|
10111 |
23 |
|
11000 |
24 |
|
11001 |
25 |
|
11010 |
26 |
|
11011 |
27 |
|
11100 |
28 |
|
11101 |
29 |
|
11110 |
30 |
|
11111 |
31 |
Посмотрим на эту же последовательность немного под дру- гим углом. Когда вы считаете в двоичной системе, крайняя цифра справа (ее иногда называют младшим разрядом) пооче- редно равна 0 и 1. Всякий раз, когда она меняется с 1 на 0, сле- дующая цифра справа также изменяется — с 0 на 1 или с 1 на
0. Это правило распространяется и на следующие разряды: когда двоичная цифра меняется с 1 на 0, следующая за ней так- же изменяется — либо с 0 на 1, либо с 1 на 0.
Работая с большими десятичными числами, мы часто раз- деляем пробелами составляющие их цифры на группы по три,
76 Глава восьмая
чтобы легче было оценить величину числа. Например, чтобы распознать число 12000000, вам придется считать, сколько в нем цифр. Но разделите его пробелами (12 000 000), и вы сра- зу поймете, что это 12 миллионов.
Двоичные числа удлиняются очень быстро. Например, 12 миллионов в двоичном представлении пишутся так — 101101110001101100000000. Чтобы сделать это число немного более читаемым, отделяйте группы из четырех цифр дефиса- ми (1011-0111-0001-1011-0000-0000) или теми же пробелами (1011 0111 0001 1011 0000 0000). Позже мы рассмотрим более удобный способ записи двоичных чисел.
Сократив число цифр до двух, мы дошли до предельно уп- рощенной системы счисления, которая является своеобразным мостиком между арифметикой и электричеством. В предыду- щих главах мы работали с переключателями, проводами, лам- пами и реле. Любое из этих устройств может символизиро- вать двоичные цифры 0 и 1.
Провод может быть двоичной цифрой. Если по проводу те- чет ток, двоичная цифра равна 1. Если тока нет, двоичная циф- ра принимает значение 0.
Переключатель может быть двоичной цифрой. Если пере- ключатель включен (замкнут), двоичная цифра равна 1. Если выключен (разомкнут), двоичная цифра равна 0.
Лампочка может быть двоичной цифрой. Если лампочка го- рит, двоичная цифра равна 1. Если не горит, значение двоич- ной цифры равно 0.
Реле может быть двоичной цифрой. Если реле сработало, двоичная цифра равна 1. Если не сработало, двоичная цифра равна 0.
Для компьютеров двоичные числа — неисчерпаемый ресурс. Примерно в 1948 г. американский математик Джон Уайл- дер Таки (John Wilder Tukey) (род. 1915) осознал, что словосо- четание «binary digit» (двоичная цифра) по мере распростра- нения компьютеров будет приобретать все большее значение. Он решил заменить его новым, более коротким словом. Рас- смотрев такие варианты как bigit и binit, он остановился на
простом, элегантном и симпатичном слове бит (bit).
Download 300.21 Kb.
Do'stlaringiz bilan baham:
1 2