Ногах и руках будут исчерпаны

₆₄ Глава восьмая

Даже когда пальцы на ногах и руках будут исчерпаны, счет в восьмеричной системе можно продолжать. В целом он идет, как и счет в десятичной системе, но без чисел, содержащих цифры 8 и 9:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56,
57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 100...
Последнее число — 100 — есть число пальцев мультяшки, ум- ноженное само на себя.
Чтобы избежать путаницы при написании восьмеричных и десятичных чисел, будем указывать тип системы в нижнем индексе. Индекс ДЕСЯТЬ будет означать десятичную систему, а ВОСЕМЬ — восьмеричную.
Итак, число гномов, которых встретила Белоснежка, равно ⁷ДЕСЯТЬ ^{или 7}ВОСЕМЬ^{.
Число пальцев на руках мультяшек равно 8}ДЕСЯТЬ ^{или 10}ВОСЕМЬ^{. Число симфоний, написанных Бетховеном, равно 9}ДЕСЯТЬ ^или
11ВОСЕМЬ^{.
Число пальцев на руках человека равно 10}ДЕСЯТЬ ^{или 12}ВОСЕМЬ^{. Число месяцев в году равно 12}ДЕСЯТЬ ^{или 14}ВОСЕМЬ^{.
Число дней в двух неделях равно 14}ДЕСЯТЬ ^{или 16}ВОСЕМЬ^{. Число килограммов в пуде равно 16}ДЕСЯТЬ ^{или 20}ВОСЕМЬ^{. Число часов в сутках равно 24}ДЕСЯТЬ ^{или 30}ВОСЕМЬ^{.
Число букв в латинском алфавите равно 26}ДЕСЯТЬ ^{или 32}ВОСЕМЬ^{. Число зубов у взрослого человека равно 32}ДЕСЯТЬ ^{или 40}ВОСЕМЬ^{. Число карт в колоде равно 52}ДЕСЯТЬ ^{или 64}ВОСЕМЬ^{.
Число клеток на шахматной доске равно 64}ДЕСЯТЬ ^{или 100}ВОСЕМЬ^{. Число созвездий на небе равно 88}ДЕСЯТЬ ^{или 130}ВОСЕМЬ^{.
Число сантиметров в метре равно 100}ДЕСЯТЬ ^{или 144}ВОСЕМЬ^. Число женщин-одиночек в начале Уимблдонского турни-
^{ра равно 128}ДЕСЯТЬ ^{или 200}ВОСЕМЬ^{.
Площадь Мемфиса в квадратных милях равна 256}ДЕСЯТЬ ^{или 400}ВОСЕМЬ^.
В этом списке обратите внимание на красивые круглые ^{восьмеричные числа, например, 100}ВОСЕМЬ^{, 200}ВОСЕМЬ ^{и 400}ВОСЕМЬ^{. Кра-} сивым круглым числом мы обычно называем число с нулями на конце. Два нуля на конце десятичного числа означают, что оно
^{кратно 100}ДЕСЯТЬ ^{= 10}ДЕСЯТЬ ^{× 10}ДЕСЯТЬ^{. В восьмеричной системе два} Альтернативы десяти ₆₅


^{нуля на конце означают, что число кратно 100}ВОСЕМЬ ^{= 10}ВОСЕМЬ ^{×
× 10}ВОСЕМЬ ^{(т. е. 8}ДЕСЯТЬ ^{× 8}ДЕСЯТЬ ^{= 64}ДЕСЯТЬ^).
Заметьте также, что все десятичные эквиваленты круглых ^{восьмеричных чисел, а именно 64}ДЕСЯТЬ^{, 128}ДЕСЯТЬ ^{и 256}ДЕСЯТЬ^{, явля- ются степенями двойки. В этом есть смысл. Число 400}ВОСЕМЬ^{, на- пример, равно произведению чисел 4}ВОСЕМЬ^{, 10}ВОСЕМЬ ^{и 10}ВОСЕМЬ^{, каж-} дое из которых является степенью двойки. Естественно, при умножении степени двойки на степень двойки, мы опять-таки получаем степень двойки.
В таблице некоторые степени двойки показаны в десятич- ном и восьмеричном представлении.

Степень двойки Десятичное	Восьмеричное
2^0 1	1
2^1 2	2
2^2 4	4
2^3 8	10
2^4 16	20
2^5 32	40
2^6 64	100
2^7 128	200
2^8 256	400
2^9 512	1000
2^10 1024	2000
2^11 2048	4000
2^12 4096	10000

Красивые круглые числа в крайнем правом столбце указыва- ют на то, что при работе с двоичными кодами удобны недеся- тичные системы счисления.
По способу построения чисел восьмеричная система не от- личается от десятичной за исключением некоторых тонкостей. Например, каждой позиции в восьмеричном числе соответ- ствует цифра, умноженная на степень восьми.
₆₆ Глава восьмая


Количество единиц Количество восьмерок Количество 64
Количество 512
Количество 4 096
Количество 32 768


^{Например, восьмеричное число 3 725}ВОСЕМЬ ^{раскладывается так:
3 725}восемь ^{= 3 000}восемь ^{+ 700}восемь ^{+ 20}восемь ^{+ 5}восемь
Затем выделяем круглые числа:
^{3 725}ВОСЕМЬ ^{= 3 × 1 000}ВОСЕМЬ ^{+
7 × 100}ВОСЕМЬ ^{+
2 × 10}ВОСЕМЬ ^{+
5 × 1}ВОСЕМЬ
или в десятичном представлении:
^{3 725}ВОСЕМЬ ^{= 3 × 83 +}
7 × 8² +
2 × 8¹ +
5 × 8⁰
Заменяем степени восьмерки их десятичными значениями:
^{3 725}ВОСЕМЬ ^{= 3 × 512}ДЕСЯТЬ ^{+
7 × 64}ДЕСЯТЬ ^{+
2 × 8}ДЕСЯТЬ ^{+
5 × 1}ДЕСЯТЬ
^{Выполнив десятичное сложение, получаем 2 005}ДЕСЯТЬ^{. Именно} так восьмеричные числа преобразуются в десятичные.
Восьмеричные числа складываются и умножаются точно так же, как и десятичные. Единственное отличие — в исполь- зовании других таблиц сложения и умножения. Таблица сло- жения восьмеричных чисел приведена на стр. 67.
^{Например, 5}ВОСЕМЬ ^{+ 7}ВОСЕМЬ ^{= 14}ВОСЕМЬ^{. Восьмеричные числа можно} складывать и столбиком.
135
+ 643

1000
Альтернативы десяти ₆₇

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Начнем с правого столбца: 5 плюс 3 равно 10. Пишем 0, а 1
переносим. 1 + 3 + 4 = 10. Пишем 0, 1 переносим. 1 + 1 + 6 = 10. Великое равенство 2 × 2 = 4 выполняется и в восьмеричной системе. А вот произведение двух троек равно не 9. А чему же?
^{Оказывается, 3 × 3 = 11}ВОСЕМЬ ^{= 9}ДЕСЯТЬ^{. Вот как выглядит таблица} умножения в восьмеричной системе.

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

^{В данном случае 4 × 6 = 30}ВОСЕМЬ^{, что эквивалентно числу 24}ДЕСЯТЬ^, равному 4 × 6 в десятичной системе.
₆₈ Глава восьмая

Итак, восьмеричная система не менее обоснована, чем де- сятичная. Но мы на этом не остановимся. Теперь, когда мы построили систему счисления для мультяшек, поищем что- нибудь подходящее для раков. У раков нет пальцев, но есть клешни. Система счисления для раков основана на 4 и называ- ется четверичной.

1 2 ^{3 10}
Счет в этой системе происходит так: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13,
20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 и т. д.
Я не хочу уделять много внимания четверичной системе, так как нам пора двигаться к еще более важным вещам. По- смотрим лишь, как позиции в четверичном числе соответству- ют степеням четырех.
Количество единиц Количество четверок Количество 16
Количество 64
Количество 256
Количество 1024

Четверичное число 31 232 можно записать так:

^{31 232} чЕТЫРЕ ^{= 3 × 10 000}чЕТЫРЕ ⁺

1. 
   ^{× 1 000}чЕТЫРЕ ⁺
   
2. 
   ^{× 100}чЕТЫРЕ ⁺
   
3. 
   ^{× 10} чЕТЫРЕ ⁺
   

^{2 × 1}чЕТЫРЕ
Альтернативы десяти ₆₉

так:

или так:

^{31 232} чЕТЫРЕ ^{= 3 × 256}ДЕСЯТЬ ⁺

1. 
   ^{× 64}ДЕСЯТЬ ⁺
   
2. 
   ^{× 16}ДЕСЯТЬ ⁺
   
3. 
   ^{× 4} ДЕСЯТЬ ⁺
   

^{2 × 1}ДЕСЯТЬ


^{31 232} чЕТЫРЕ ^{= 3 × 44 +}
1 × 4³ +
2 × 4² +
3 × 4¹ +
2 × 4⁰

Проделав вычисления в десятичной системе, получаем, что ^{31 232} чЕТЫРЕ ^{= 878} ДЕСЯТЬ^.
Наконец, мы готовы взять последнее, самое серьезное пре- пятствие. Представим себе, что мы дельфины и должны на- учиться считать с помощью двух плавников. Теперь в нашем распоряжении всего две цифры: 0 и 1. Система счисления, ос- нованная на двух цифрах, называется двоичной.
Чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется некото- рая практика. Проблема в том, что цифры очень быстро за- канчиваются. Смотрите, как считает дельфин.

Да, в двоичной системе сразу после 1 идет 10. Это удивитель- но, но не так уж неожиданно. В любой системе счисления, ког- да заканчиваются одноразрядные числа, первым двухразряд- ным числом является 10. В двоичной системе мы считаем так:

₇₀ Глава восьмая

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,

1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001...
Эти числа кажутся большими, но на самом деле таковыми не яв- ляются. Говоря точнее, двоичные числа не большие, а длинные.
^{Число голов у человека равно 1}ДЕСЯТЬ ^{или 1}ДВА^{.
Число плавников у дельфина равно 2}ДЕСЯТЬ ^{или 10}ДВА^{. Число чайных ложек в столовой равно 3}ДЕСЯТЬ ^{или 11}ДВА^{. Число сторон у квадрата равно 4}ДЕСЯТЬ ^{или 100}ДВА^{.
Число пальцев на руке у человека равно 5}ДЕСЯТЬ ^{или 101}ДВА^{. Число ног у насекомого равно 6}ДЕСЯТЬ ^{или 110}ДВА^{.
Число дней в неделе равно 7}ДЕСЯТЬ ^{или 111}ДВА^{.
Число музыкантов в октете равно 8}ДЕСЯТЬ ^{или 1000}ДВА^{.
Число планет в Солнечной системе равно 9}ДЕСЯТЬ ^{или 1001}ДВА^{.
Число миллиметров в сантиметре равно 10}ДЕСЯТЬ ^{или 1010}ДВА и так далее.
В многозначном двоичном числе позиции цифр соответ- ствуют степеням двойки.
Количество единиц Количество двоек Количество четверок Количество восьмерок Количество 16
Количество 32

Поэтому любое двоичное число, состоящее из 1 с нескольки- ми нулями, является степенью двойки. Показатель степени равен числу нулей. Таблица степеней двойки демонстрирует это правило наглядно.