46
III BOB
NYUTON BINOMI FORMULASI
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat
darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula.
Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
• Nyuton binomi formulasi
Nyutondan ancha
avval ham maʼlum boʻlgan. Ushbu nom tarixiy
haqiqat emas, chunki Nyutondan oldin ushbu
formulani Umar Xayyom (1046-1131), G„iyos ad-
Din Jamshid al-Koshi bilishgan. Nyutonning xizmati
ushbu formulani butun bo„lmagan
n uchun
umumlashtirgan.
Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va
boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.
Quyidagi ifodalar bilan barchamiz tanishmiz:
(3)
Bu yoyilmalarda a va b o‟zgaruvchilar oldida turgan koeffitsientlarga
e‟tiboringizni qarating!
(1)-formulaning chap tomonida bu koeffitsiyentlar mos ravishda 1,1 larga teng.
Ya‟ni (1)-ifoda
koeffitsiyentli ko‟phaddan iborat ekan.
47
Bu yerda
elementdan tadan olingan kombinatsiyalar sonidir.
(3) formulada esa bu koeffitsientlarni
ko‟rinishda yozish mumkin.
Endi (2) va (3) larni quyidagi ko‟rinishda yozamiz.
Bu tengliklarga asoslanib biz
chi darajali binom formulasini qanday
ko‟riishda bo‟ladi degan savol tug‟ilishi tabiiydir.
Bu savolga quyidagi teorema
javob beradi:
•
TEOREMA (BINOMIAL TEOREMA)
Quyidagi tenglik o„rinli
ya‟ni
(
)
(
)
(
)
(
)
Bu yerda
(
)
( )
sonlarga
binomial koeffitsiyentlar, tenglikka esa
Nyuton binomi deyiladi.
Fakt:
binom
yoyilmasining binomial koeffitsiyentlari yig‟indisi uchun ushbu tenglik o‟rinli:
