Norqulova dilfuzaning algoritimlarni loyhalash

Mavzu: 2.Algoritmlarni eng yomon va o‘rtacha holatlarda baholash. 
Reja:
I.Kirish 1.Algoritm tushunchasi va uning 
ta’rifi. II.Asosiy qism 2.Algoritmlarni 
baholash.
Algoritm murakkabligini baholash. Xotira yoki vaqt. 
 
Mavjud algoritmlarning ko’pchilig xotira va tezlik o’rtasida tanlovni taklif 
qiladi. Masala tez ishlashi va katta xotira egallashi yoki sekin ishlashi va kichik 
xotira hajmini egallashi mumkin. Bu holatda eng odatiy misollardan biri eng 
qisqa masofani topish masalasi bo’la oladi. Bunda siz o’zaro bog’liq bo’lgan 
shahar orasidagi istalgan ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofani topishingiz 
kerak bo’ladi. Bunda biz barcha nuqtalar orasidagi qisqa masofalarni aniqlab 
ularni jadval shaklida saqlab qo’yishimiz mumkin. Va biz eng qisqa masofani 
aniqlashimizga to’g’ri kelganda shunchaki jadvaldan ma’lumotni olib 
qo’yishimiz mumkin bo’ladi.
Natijani shu zahoti olishimiz mumkin, ammo bu juda katta hajm talab qiladi. 
Masalan biror katta xaritada 10 minglab nuqtalar bo’lishi mumkin va bizning 

---

jadvalimiz buning uchun 10 milliarddan ortiq ma’lumotni saqlashiga to’g’ri 
keladi va bu taxminan 10GB ga yaqin xotirani band etishi mumkin.
Ushbu holatdan hajm-vaqt murakkabligi kelib chiqadi. Shunda algoritm vaqt 
bo’yicha ishlash tezligi yoki hajm bo’yicha ishlash tezligi bilan baholanadi. Biz 
asosiy e’tiborni vaqt bo’yicha murakkablikka qaratamiz lekin shu bilan birga 
foydalaniladigan xotira hajmini ham aniq belgilashimizga to’g’ri keladi.
Ketma-ketlikni baholash.
Biz algoritmlarni o’zaro baholashimizda ularga kiruvchi ma’lumotni ham 
e’tiborga olishimizga to’g’ri keladi. Chunki ayni bir saralash algoritmi uchun 
1000 ta kiruvchi elementni saralash 1s, 100 000 element uchun esa 4-5 soniya 
ketadigan bo’lsa, boshqa bir algoritm uchun esa bor-yo’g’i 2 s ketishi mumkin. 
Bunday sharoitda qaysi algoritm yaxshi ekanini aytish mushkuldir.
Umumiy holatda esa algoritmni murakkabligini ayni bir kattalik bilan baholash 
mumkin bo’ladi. Buni quyidagicha tushunish mumkin: agar algoritmga kiruvchi 
N ma’lumotlar oshganida algoritmning bajarilish vaqti f(N) funksiya bilan bir 
xilda ortsa algoritm O(f(N)) murakkablikka ega deyiladi.
Keling, yaxshisi A[NxN] matritsaning har bir qatoridagi maksimal elementni 
topishni ko’rib chiqamiz:

---

Ushbu algoritmda i o’zgaruvchi 0 dan N-1 gacha o’zgarib kelyapti hamda uning 
har bir o’zgarishida j o’zgaruvchi ham shu oraliqda o’zgaryapti. Demak bunda 
jami N*N marta takrorlanish sodir bo’lyapti. Bundan esa f(N) = N*N ga teng 
bo’ladi va algoritmning murakkabligi O(N*N) ekanligini aniqlashimiz 
mumkin.
Endi algoritmni murakkablik darajasini baholashni ko’rib chiqaylik. Bunda 
algoritmdagi eng tez o’suvchi qismdan foydalanish kerak bo’ladi.
Tasavvur qiling algoritm N^3 + N murakkablikka ega bo’lsin. Bunda biz 
murakkablikni O(N^3) deb olishimiz yetarli bo’ladi. Chunki bu yerda tez 
o’suvchi qism bu N^3. Ya’ni +N ta qo’shimcha amalni hisoblashning hojati 
qolmaydi. Misol uchun N=100 bo’lsin, shunda jami 1000100 ta amal bajariladi 
va bu N^3 dan atigi 0.01% gagina farq qiladi.
Murakkablikni baholash.
Dasturdagi murakkab algoritmlar asosan funksiya va protseduralarda bo’ladi. 
Keling, buni ko’rish uchun Fast hamda Slow nomli funksiyalar yaratib olaylik 
va bu funksiyalarning turli xil ko’rinishdagi murakkabligini baholab ko’raylik.

---

Demak ushbu kodni ko’rib chiqamiz.
Slow funksiyasi O(N^3) murakkablikka ega bo’lib unda ichma ich 3 ta for sikli 
mavjud: N*N*N. Buni osonlik bilan ko’rish mumkin.

---

Endi Fast funksiyasini ko’radigan bo’lsak unda ichma-ich 2 ta for sikli mavjud. 
Ammo ikkinchi siklda biz Slow funksiyasini chaqirganmiz. Bu esa 
algoritmning murakkabligini yanada oshiradi, ya’ni O(N^2) * O(N^3) = 
O(N^5).
Both funksiyasida biz ikkala funksiyadan ham foydalandik. Bunda funksiyalar 
ketma-ket qo’llangani sabab ular ichidan murakkabligi katta bo’lgan funksiya 
asosiy funksiyaning murakkabligi bo’ladi ya’ni O(N^2) + O(N^5) = O(N^5). 
Endi berilgan N=100 da algoritmning ishlash vaqtini ko’radigan bo’lsak u
quyidagicha:
Demak bu Both funksiyasi 570 soniyadan ko’proq vaqt ishladi. Boshqa 
xarakteristikadagi mashinada bu ko’p yoki kam bo’lishi mumkin.
Xulosa qiladigan bo’lsak oddiy takrorlanish algoritmlarining murakkabligi 
undagi takrorlanishlarning soniga bog’liq bo’ladi va buni aniqlash ancha oson.
Rekursiv algoritmlarni baholash Oddiy rekursiya.
Rekursiv funksiyalar bu o’z-o’zini chaqiruvchi funksiyalardir. Rekursiv 
algoritmlarni baholash juda murakkabdir. Ularning murakkabligini baholash 
nafaqat ichki foydalanilgan funksiyalar, yana rekursiyaning takrorlanishiga 
ham bog’liq bo’ladi. Keling oddiy rekursiya misolida faktorialni hisoblash 
funksiyasini ko’raylik:
Ushbu rekursiv funksiyada ortiqcha sikllar va ortiqcha funksiyalar mavjud emas 
shuning uchun bu funksiya faqat N marta takrorlanadi va uning murakkabligi 
O(N) ga teng bo’ladi. Ushbu dasturning ishlash vaqti quyidagicha:

---

Bundan tashqari rekursiv funksiyalarda rekursiya chuqurligi ya’ni 
rekursiyaning qancha marotaba takrorlanishi muammosi mavjuddir. Bu esa 
mashinaning xotira bilan bog’liq muammolariga bog’liqdir. Xulosa
Xulosa o’rnida aytadigan bo’lsak, algoritmlar asosan quyidagicha ko’rinishdagi 
murakkabliklarda bo’ladi va barcha algoritmlarni baholashimiz uchun mana shu 
murakkabliklar yetarli bo’ladi:
C yoki O(1) - algoritm o’zgarmas vaqtda bajariladi.
O(log(log(N)))
O(log(N))
4. O(N^C) 0O(N)
O(N*log(N))
7. O(N^C) C > 1

---

8. O(C^N) C > 1 9. O(N!)
Agar biz ushbu murakkablikni aniqlaydigan bo’lsak:
O(log(N) + N!) = O(N!). Bunda f(N) = N! funksiya f(N) = log(N) 
funksiyadan ko’ra tezroq o’suvchi. Shuning uchun algoritmning 
murakkabligini O(N!) deb olishimiz 
yetarli bo’ladi. Quyida 
murakkabliklarning turli kiruvchi ma’lumotlardagi bajarilish vaqti 
keltirilgan:
\