Np-to‘liq masalalar. Hisoblashda yechilmaslik hollari. N-to‘liq masalalarni yechish algoritmlarini qiyinligini baholash(4-soat) p va np muammosi

NP-to‘liq masalalar. Hisoblashda yechilmaslik hollari. N-To‘liq masalalarni yechish algoritmlarini qiyinligini baholash(4-soat)

P va NP muammosi
Har bir informatika talabasi P va NP muammolari haqida eshitishi kerak. Aytish mumkinki, bu kompyuter fanidagi eng mashhur echimsiz muammo. Clay Matematika Instituti tomonidan tanlangan 7 ming yillik mukofot muammosidan biri, birinchi to'g'ri echim uchun 1 million dollar mukofotni olib yurish va hozir ham ochiq. P = NP muammosini isbotlash yoki echish informatika, matematika, kriptografiya, AI, multimedia ishlov berish, iqtisodiyot va boshqa sohalarda chuqur ta'sir ko'rsatishi mumkin. Ushbu muammo noaniq tarzda aytilishi mumkin
"Kompyuter tomonidan tezda tekshirilishi mumkin bo'lgan har qanday muammoni kompyuter ham tezda hal qiladimi?".
Garchi bu masalaning mavjudligi 1950-yillarda Jon Nesh va Kurt Godel tomonidan muhokama qilingan bo'lsa-da, ushbu muammoni 1971 yilda Stefan Kuk o'zining mashhur "Teoremalarni tayyorlash protseduralarining murakkabligi" nomli maqolasida rasmiy ravishda kiritgan. Rasmiy bayonotga va muammoni tushuntirishga sho'ng'ishdan oldin, avval mavzu bilan bog'liq ba'zi ta'riflarni ko'rib chiqamiz.

Tegishli atamalar va ta'riflar: -

• 
  Yuqoridagi noaniq bayonotda ishlatiladigan kompyuter so'zi Deterministik Turing Machine (DTM) ga tegishli. Oddiy so'z bilan aytganda, bu faqat bitta keyingi bosqichga o'tishni tanlashi mumkin bo'lgan mashina. Dallanmagan mashina [3]. Har bir mavjud kompyuter shunday ishlaydi.
  
• 
  Polinom - ba'zi kuchlarga va ularning koeffitsientlariga ko'tarilgan o'zgaruvchilardan tashkil topgan ibora. Masalan, ax² + bx + c shaklidagi ikkinchi darajali ko'paytma.
  
• 
  Algoritm vaqt murakkabligi - kirishning uzunligi funktsiyasi sifatida bajarilishi uchun algoritm olgan vaqt. Katta O belgi yordamida umumiy ifodalanadi. Masalan, 2n o'lchamdagi barcha elementlarni birma-bir bosib chiqarish uchun algoritm yozsak, uning vaqt murakkabligi O (n) bo'ladi.
  
• 
  Polinomial vaqt murakkabligi - algoritmning vaqt murakkabligi n ^ {O (1)}
  
• 
  P = Deterministik Turing mashinasi tomonidan ko'paytirilgan vaqt ichida echiladigan muammolar to'plami.
  
• 
  NP = noaniq bo'lmagan polinomik vaqt ichida yechilishi mumkin bo'lgan echimlar muammolarining to'plami (javob ha yoki yo'q) i.e ko'p bo'lmagan vaqt ichida noaniqsiz Turing Machine [4] tomonidan hal qilinishi mumkin.
  
• 
  Nondeterministic Turing Machine (NTM) - dallanadigan mashina. Agar hisoblashning keyingi bosqichi uchun ko'plab imkoniyatlar mavjud bo'lsa, ushbu mashina ularning barchasini bir vaqtning o'zida o'chirib qo'yishi mumkin. NTM-lar O (1) vaqtda ko'p variantlardan to'g'ri variantni taxmin qilishga qodir.
  

NPga alternativ ta'rif bu mumkin bo'lgan echim taqdim etilsa, DTM polinomik vaqt ichida uning to'g'riligini tekshirishga imkon beradigan qarorlar to'plamidir. Shuni ta'kidlash kerakki, barcha P muammolar NP ga ham tegishli, chunki agar muammo DTM tomonidan ko'p martali hal qilinsa, mumkin bo'lgan echimni tekshirish hal qilishdan osonroq bo'ladi. Shunday qilib, DTM ham ko'plik vaqt ichida ham tekshirishi mumkin edi. Shunday qilib, arzimas, P ⊆ NP i.e P NP ning pastki qismi.
Bugungi kunda mavjud bo'lgan barcha kompyuterlar DTM va NTM fikrlash tajribalarida ishlatiladigan sof nazariy kompyuter ekanligini bilish ham muhimdir. Professor Erik Demain aytganidek [1].
"Demak, bu (NTM) ancha kuchli model. Albatta, bunday ishlaydigan kompyuterlar yo'q, afsuski, men ko'proq qiziqayapman ”.

Ko'proq atamalar va ta'riflar: -

• 
  NP-qiyin - agar X ∈ NP X-ga tushadigan bo'lsa, X muammosi kamida NPda hal qilinadi, masalan NP-ning har bir muammosini hal qilish qiyin (agar P! = NP bo'lsa, unda X P ga tegishli bo'lmaydi).
  
• 
  Reduksiya - A muammoni kiritishlarni ko'paytma vaqt algoritmidan foydalanib, B muammosining ekvivalent kirishiga aylantirish jarayoni. Ekvivalent degani, A va B muammolari kirish va o'zgartirilgan kirish uchun bir xil javobni (Ha yoki Yo'q) berishi kerak. A dan B gacha qisqartirish algoritmining mavjudligi quyidagilarni nazarda tutadi:
  

1. Agar B ∈ P bo'lsa, u holda A ∈ P (ko'paytmali vaqt ichida A dan B gacha qisqartirishingiz mumkin va B polinomik vaqt ichida echishingiz mumkin. Buni birlashtirish A uchun ko'p vaqtli algoritmni beradi)
2. Agar B ∈ NP bo'lsa, unda A ∈ NP
3. Agar A NP-qattiq bo'lsa, B - NP-qattiq. A ko'paytirilgan vaqt ichida B ga kamayishi mumkin va agar B NP-qiyin bo'lmasa, u B B NP-NP-qiyin va bu A ∈ NP-NP-qattiq, bu farazga zid (A-NP-qiyin) degan ma'noni anglatadi.

• 
  NP-to'liqligi - agar X ∈ NP va X bo'lsa, NP-qiyin bo'lsa, X muammo NP-tugallanadi.
  

Muammo NP-tugaganligini isbotlash

Muammoning to'liqligini isbotlash 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Avval biz muammo NPga tegishli ekanligini ko'rsatishimiz kerak va keyin biz buni NP-qiyinligini ko'rsatishimiz kerak. Bosqichlarni quyidagicha izohlash mumkin:
1-qadam - X ∈ NP ni ko'rsatish. X uchun netereterministik algoritmni toping. Ammo amaliy usul, agar potentsial echim taqdim etilsa, X uchun ko'paytmali vaqt tekshiruvini o'tkazishdir.
2-qadam - X-ni ko'rsatish qiyin emas. Ma'lum NP-muammoni X-ga qisqartirish. Demak, biz ko'rgan 3-rasm orqali X bu NP-qiyin ekanligini anglatadi.


Bu masala qisqa P va NP murakkab sinfi tengmi?
P-sinfi deb kompyuter “tezda”(“Birzumda”) yechimi mumkin bo’lgan masalalar majmuiga aytiladi. Bunga arifmetik amallarning asosi (negizi) ro’yhatlarni saralash, jadval bo’yicha ma’lumotlarni izlash kiradi.
NP-sinfiga javobning to’g’riligini tezda tekshirish mumkin bo’lgan masala kiradi. Masalan: faraz qilaylik sizda qiymati 2,3,5,6 va 7 so’mlik tangalardan bittadan bor va siz narxi 21 so’m bo’lgan harid uchun qaytimsiz to’lashni hoxlamoqdasiz. Ulardan yig’indisi 21 so’m bo’lgan tangalarni yig’ib olish mumkinmi?
Bu masalaga javob olish uchun har hil variantni tanlash lozim, agar masala yechimini yo’qligini isbotlasmoqchi bo’lsak, umuman olganda barcha bo’lishi mumkin bo’lgan variantlardni tanlash lozim. Agar tangalar sonini bir necha usulda ko’paytirsak yechish mutlaqo nomuvofiq ko’rinishda bo’ladi. Bunda natijani oson tekshirish uchun shunchaki barcha “ming yillik masalasi” ning mohiyati quyidagicha (bunday) ifodalanadi (ta’riflanadi): P va NP sinflari tengmi? Agar masala yecvhimining to’g’riligini tekshirish oson bo’lsa, masalani o’zini yechish ham oson bo’lishi mumkinmi?
Ko’pchilik mutaxassislar javobning yo’qligi (salbiy)ga amindirlar, lekin buni hozircha hech kim isbotlay olgani yo’q agar P=NP bo’lib qolsa, unda insoniyatni kriptografiyaga (sirli belgi va ishoralar bilan yozish tizimi) keskin burilish ko’taradi.

NP-to’liqlik masalasi

Amaliy nuqtai nazardan qiziq bo‘lgan vazifalarning aksariyati, polinomial' (polinomial' vaqt mobaynida ishlovchi) algoritmlar. Ya'ni, n uzunlikdagi kirishda algoritmning ishlash vaqti doimiy k (kirish uzunligidan mustaqil) uchun O(nk) dan oshmaydi. Har bir masalada ushbu xususiyatni qondiradigan yechim algoritmi mavjud emas. Ba'zi masalalarni umuman biron bir algoritm yordamida hal qilib bo‘lmaydi. Bunday masalaning klassik misoli bu “to‘xtash muammosi” (berilgan dastur berilgan kirishda to‘xtashini bilish). Bundan tashqari, ularni hal qiladigan algoritm mavjud bo‘lgan masalalar mavjud, har qanday bunday algoritm uzoq vaqt ishlaydi – uning ishlash vaqti har qanday fiksirlangan k soni uchun O(nk) bo‘la olmadi.
Agar biz amaliy algoritmlar va faqat nazariy qiziqish algoritmlari o‘rtasida qo‘pol, ammo rasmiy chegara chizishni istasak, unda ko‘plikli vaqt ichida ishlaydigan algoritmlar sinfi birinchi o‘rinda turadi. NP -to‘liq deb nomlangan masalalar sinfini ko‘rib chiqamiz. Ushbu masalalar uchun hech qanday polinomial' algoritmlar topilmagan, ammo bunday algoritmlar mavjud emasligi isbotlanmadi. NP bilan bog‘liq muammolarni o‘rganish “P = NP” deb nomlangan savol bilan bog‘liq. Bu savol 1971 yilda berilgan va hozirda hisoblash nazariyasida eng qiyin masalalardan biri hisoblanadi.
Nima uchun dasturchi NP – tugallangan masalalar haqida bilishi kerak? Agar biron bir NP – to‘liqlik uchun uning to‘liqligini isbotlash mumkin bo‘lsa, uni deyarli hal qilib bo‘lmaydi deb hisoblash uchun asos bor. Bunday holda, uni aniq hal qiladigan tezkor algoritmni qidirishni davom ettirishdan ko‘ra, taxminiy algoritmni tuzishga vaqt sarflash yaxshiroqdir.
Polinom vaqti. Abstrakt masalalar
Yuqorida aytib o‘tilganidek, ko‘p jihatdan hal qilinadigan (polinomial) masalalar konsepsiyasi amalda yechilishi mumkin bo‘lgan masalalar g‘oyasini takomillashtirish hisoblanadi. Ushbu kelishuvni nima tushuntiradi? Birinchidan, amalda ishlatiladigan ko‘paytirilgan algoritmlar, odatda juda tez ishlaydi. Ikkinchidan, polinomial algoritmlar sinfini ko‘rib chiqish, bu sinfning hajmi ma'lum bir hisoblash modelini tanlashdan deyarli mustaqil bo‘lishidir. Masalan, tasodifiy tasodifiy kirish mashinasida (RAM) ko‘paytirilgan vaqt ichida yechilishi mumkin bo‘lgan masalalar sinfi T'yuring mashinalarida polinomal yechiladigan masalalar sinfiga to‘g‘ri keladi. Sinf parallel hisoblash modeli uchun bir xil bo‘ladi, prosessorlar soni, kirish uzunligi polinomi bilan cheklangan. Uchinchidan, polinomal yechiladigan masalalar sinfi tabiiy yopiqlik xususiyatlariga ega. Masalan, ikkita algoritmning tarkibikompozisiyasi ham polinomial vaqtli ishlaydi. Buning sababi, ko‘pxadlarning yig‘indisi, ko‘paytmasi va kompozisiyasi ko‘pxadrdir.
Quyida hisoblash masalasining abstrakt modelini keltirilgan. Buni abstrakt masala deb nomlaymiz, Q – ikkita to‘plam elementlari orasidagi ixtiyoriy binar munosabat: I – shartlar to‘plami va S – yechimlar to‘plami. Masalan, G=(V,E) yo‘naltirilmagan grafning berilgan ikkita uchlari orasidagi eng qisqa yo‘lni topish masalasida, shart (element I) uch element, graf va ikkita qirradan iborat va yechim (S element) – bu grafda kerakli yo‘lni tashkil etuvchi vertikallarning ketma-ketligi.
NP to‘liqligi nazariyasida faqat hal qilish masalalari ko‘rib chiqiladi – muayyan savolga “ha” yoki “yo‘q” deb javob berish kerak bo‘lgan masalalar. Rasman, I to‘plam shartlarini {0,1} to‘plamga to‘g‘ri keladigan funksiya sifatida ko‘rib chiqilishi mumkin. Masalan, G=(V,E) grafdagi eng qisqa yo‘lni topish masalasi bilan berilgan G=(V,E) graf yordamida ikkita tugun u, v∈V va natural k butun sonlar u va v tugunlari orasida undan katta bo‘lmagan hamda G grafda yo‘l bor yoki yo‘qligi masalasini yeching.
Optimallashtirish bilan bog‘liq masalalar bu – muayyan miqdordagi qiymatni maksimal darajada oshirish yoki minimallashtirish kerak bo‘lgan masalalardi. NP – to‘liqlik haqida savol berishdan oldin bunday masalalar, ularni hal qilish masalalariga aylantirilishi kerak. Shunday qilib, masalan, grafdagi eng qisqa yo‘lni topish masalasida optimallashtirish masalasini yechish masalasidan ruxsat berish masalasiga o‘tdik va yo‘l uzunligiga cheklov qo‘shdik. Agar transformasiyadan keyin NP – to‘liq masalasi yuzaga kelsa, unda asl muammoning qiyinligi ham belgilanadi. Ma'lumotlar taqdimoti
Kirish ma'lumotlarini (ya'ni I to‘plamning elementi) algoritmga kiritishdan oldin ularning qanday qilib “kompyuterga qulay” tarzda taqdim etilishi to‘g‘risida kelishib olish kerak. Dastlabki ma'lumotlar bitlar ketma-ketligi bilan kodlangan deb qabul qilamiz. Formal aytganda, S to‘plamining elementlarini ifodalash bu S dan e ni bitli satrlar to‘plamlariga tushishidir. Masalan, (0, 1, 2, 3,...) – butun sonlarni, odatda (0, 1, 10, 11, 100, ...) – bitli satrlar bilan ifodalanadi.
Taqdim qilingan ma'lumotlarni joylashtirb, mavhum masalani satrli ma'lumotga aylantiramiz, bu satirli ma'lumot uchun kirish ma'lumotlari, masalaning dastlabki ma'lumotlarini aks ettiruvchi bitli satir bo‘ladi. Kirish ma'lumotlari (bitli satr) n – uzunlikda bo‘lganida, algoritmning ishlash vaqti O(T(n)) – bo‘lsa, algoritm satirli masalani O(T(n)) vaqtda yechadi desak bo‘ladi. Agar k konstanta va O(T(n)) vaqt ichida bu masalani yechadigan algoritm mavjud bo‘lsa, satirli masala polinomial' deb ataladi. Murakkablik P sinfi – bu barcha satirli masalalar bo‘lib, polonomia' vaqt ichida yechilishi mumkin, ya'ni, O(n^k) vaqt ichida yechilishi mumkin, bu yerda k kirishga bog‘liq bo‘lmaydi.
Polinomial abstrakt masalasining konsepsiyasini aniqlashni istagan holda, biz turli xil ma'lumotlarni taqdim etish mumkinligiga duch kelamiz.
Xar bir taqdim qilingan e to‘plam uchun, I kirishlari bo‘lgan Q abstrakt masalaning satirli masalasini olamiz.
Biroq, amalda (asosi 1 bo‘lgan raqamli tizim kabi “qimmat” vakillik usullarini istisno qilsak), tabiiy vakillik usullari odatda ekvivalentdir, chunki ularni bir-biriga ko‘p jihatdan aylantirish mumkin. A polinomial algoritmi mavjud bo‘lsa, f:{0,1}*→{0,1}* funksiyasi polinimial vaqt ichida hisoblab chiqiladi, u har qanday x∈ {0,1}* uchun f(x) natijani beradi.
Ixtiyoriy abstrakt masala uchun I to‘plami sharitlarini ko‘rib chiqamiz. I to‘plamning е1 va е2 elementlari polinomial' bog‘langan deyiladi, agar polinomial' vaqtda hisoblash mumkin bo‘lgan ikkita f₁₂(e₁(i)) = e₂(i) va f₂₁(e₂(i)) = e₁(i), i ∈ I funsiyalar mavjud bo‘lsa. Bunday hollarda, polinomial' bog‘langan ikkita elementdan qaysi birini tanlash muhim emas.

P, NP, NP-complete (NP-to‘liklik masalalari) sinflar orasidagi munosabatlar, NP-hard (NP-murakkab masalalar), P≠NP va P=NP bo‘lgan xollarda.

NP- tuliklik masalasi — algoritmlar nazariyasida NP – sinfdagi «ha» yoki «yo‘k» javobli masalani shu sinfdagi boshka masalaga polinomial' vakt oralgida moslashtirish mumkin (yani, boshlangich ma'lumotlar xajmiga boglanganlik darajasi ma'lum polinimdan katta bulmagan amallar yordamida bajariladi).
Shunday qilib, NP -to‘liq masalalar, ma'lum ma'noda, NP sinfidagi “tipik” masalalar to‘plamini shakllantiradi: agar ularning ba'zilari uchun "tezkor" yechim algoritmi topilsa, NP sinfidagi har qanday boshqa masalani xuddi shu tarzda hal qilish mumkin.
Formal' ta'rif
Alifbo deganda har qanday cheklangan belgilar to‘plami tushuniladi (masalan, {0, 1} yoki {a, b, c}). Ixtiyoriy ∑ alifbosidan tuzilgan barcha so‘zlar to‘plami (yozilgan satirlar, ushbu alifboning belgilaridan tashkil topadi) ∑* bilan belgilanadi.
∑ alfavit yordamida yaratilgan ixtiyoriy L tili bu ∑^* to‘plamning L to‘plam ostisi, ya'ni L⸦∑^*.
L uchun tanib olish vazifasi berilgan so‘z L tiliga tegishli yoki yo‘qligini aniqlashdir.
∑ alifbo ustida va - ikkita til bo‘lsin. tiliga (Karp bo‘yicha) L₂ tiliga qisqartirish deyiladi, agar funksiyasi mavjud bo‘lsa, bu funksiyani polinomial' vaqt bilan hisoblash mumkin bo‘lsa, quyidagi xususiyatga yega: : x ∈ L₁, , agar va faqat agar . Karp bo‘yicha qisqartirish L₁≤_pL₂ bilan belgilanadi.
Agar NP-dan biron bir til unga qisqartirilsa, tili NP-to‘liq deb nomlanadi. Til NP-mukammal deb nomlanadi, agar u NP-qiyin bo‘lsa va shu bilan birga o‘zi NP sinfida bo‘lsa.
A masala B masalasiga qisqartirilganligi, A masala B masalasidan ko‘ra “murakkabroq” ekanligini anglatadi (chunki agar biz B masalani yechilishi, A masalanini ham yechilishini bildiradi). Shunday qilib, NP bilan bog‘liq qiyinchiliklar sinfga NP bilan bog‘liq masalalar va ular uchun "ancha qiyin" bo‘lgan masalalar kiradi (ya'ni NP bilan bog‘liq masalalarni kamaytirish mumkin bo‘lgan masalalar). NP sinf NP to‘liq masalalarni va ulardan "osonroq" bo‘lgan masalalarni o‘z ichiga oladi (ya'ni, NP-to‘liq masalalarga qisqartirishgan masalalar).
Ta'rifdan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar NP-to‘liq masalasi polinomial' vaqtda hal qiladigan algoritm topilsa, unda barcha NP-to‘liq masalalar P sinfga joylashtiriladi, ya'ni ular polinomial' vaqtda yechiladi.