Nyuton binomi. Kombinatorika elementlarining kelib chiqish tarixi

Kombinatorikaning asosiy elementlari

Kombinatorikaning eng asosiy 3 ta elementlari bo’lib, ular

1. 
   O’rin almashtirish
   
2. 
   O’rinlashtirish
   
3. 
   Guruhlash
   

Kombinatorikaga doir masalalarni yechish uchun to’plamlar mavzusini yaxshi o’zlashtirgan bo’lishi kerak. Kombinatorikaga doir masalalarni yechishda to’plamlarni bir-biridan elementlarining TARTIBI yoki TARKIBI bilan farq qilinayotganligini yaxshi ajratadigan bo’lish juda muhim rol o’ynaydi.


O’rin almashtirish

Ta’rif: n ta elementning o’rin almashtirilishi deb shunday to’plamlar soniga aytiladiki, bunda bir to’plam ikkinchini bir to’plamdan elementlarining TARTIBI bilan farq qiladi va to’plamlarning hammasida n ta element qatnashadi.

O’rin almashtirishlar 2 ta bo’lib, ular 1) takrorsiz(betakror), 2) takrorli. Shulardan 1-takrorsiz o’rin almashtirishni ko’ramiz. to’plam berilgan bo’lsin. Shu to’plamning o’zini har xil ko’rinishda yozib chiqamiz:

Ko’rinib turibdiki bu to’plamlar barchasi bitta to’plamni ifodalaydi, faqat ular elementlarining tartibi bilan farq qilib turibdi. Xuddi shunaqa to’plamlardan nechta yozish mumkin degan savolga javob topish uchun o’rin almashtirishlarni

hisoblash kerak.
Takrorsiz o’rin almashtirishlarni quyidagi formula bilan hisoblaymiz (isbotsiz keltiramiz).


1-masala. Dushanba kuni matematika, fizika, kimyo, rus tili darslari bor ularni necha xil usul bilan 1-4 soatlarga joylashtirish mumkin?


Yechilishi. Matematikani-M, Fizikani-F, Kimyoni-K, Rus tilini-R harflari bilan belgilaymiz. Shunda MRFK, FMRK, KMFR, RMFK, …… kabi to’plamlarga ega bo’lamiz. Ko’rinib turibdiki to’plamlar bir-birlaridan elementlarining tartibi bilan farq qilmoqda. Demak, xil dars jadvallar tuzish mumkin ekan.

Takrorli o’rin almashtirishlar

(2)

formula bilan hisoblanadi.

2-masala. 8 o’rindiqqa 3 kishi necha xil usul bilan o’tirishlari mumkin.
Yechilishi. 3 kishining ismlarini shartli ravishda 1,2,3 bo’sh qolgan o’rindiqlarni esa x deb belgilab olsak, 1x2x3xxx , 123xxxxx , xxxxx123, 213xxxxx, 321xxxxx,….. to’plamlarga ega bo’lamiz. Ko’rinib turibdiki to’plamlar bir-birlaridan elementlarining tartibi bilan farq qilmoqda, faqat takrorlangan elementlar qatnashmoqda. Bu to’plamlar sonini hisoblash uchun 2-formuladan foydalanamiz.


xil joylashtirish mumkin ekan.